湖南省师大附中11-12学年度高二数学上学期第一次段考 文

湖南师大附中2011—2012学年度上学期期中考试高二数学理试题
（时量 120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆x y 22+4=4的离心率是(A)
A.
2 B. 4
2 C. 34 D. 1
2
【解析】A
2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C ）
A. 命题“若2
1x =，则1x =”的否命题为“若2
1x =，则1x ≠”；
B. 命题“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”；
C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；
D. “1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件.
【解析】 A 为假命题，“若2
1x =，则1x =”的否命题应为“若2
1x ≠，则1x ≠”； B 为假命题，“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定应为“2
,10x R x x ∀∈+-≥”；C 正确； D 为假命题，“1x =-”是“2
560x x --=”的充分不必要条件.选C.
3. 样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（D ）
65【解析】D
4已知命题:p x R ∃∈，使sin x =
命题:q x R ∀∈，都有2
10x x ++>，给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题，②命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，③命题“p q ⌝∨”是真命题，④命题“p q ∧⌝”是假命题.其中正确的个数是（B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确，选B. 5．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表
根据上表可得回归方程a x b y ˆˆ+=中的b 为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为
（ C ）
A. 72.0万元
B. 67. 7万元
C.65.5万元
D.63.6万元
【解析】由表可计算2745324=+++=
x ,424
54
392649=+++=y ,因为点)42,27(在回
归直线a x b y
ˆˆˆ+=上,且b ˆ为9.4，所以42 =9.4×a ˆ2
7+, 解得a ˆ= 9.1,故回归方程为1.94.9ˆ+=x y
, 令x =6得=y ˆ65.5,选C. 6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线
22
11312
x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（D ） A. 22y x = B. 24y x = C ．210y x = D. 220y x =
【解析】设抛物线方程为2
2(0)y px p =>，因为双曲线
22
11312
x y -=的右焦点是(5,0)，则52
p
=，即10p =，所以抛物线方程为220y x =，选D. 7．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为(B) A ．2
B ．6
C ．3
D ．8
【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22
003(1)4
x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++
=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=2
0034
x x ++，，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值2
22364
++=，选B
8．已知抛物线2
2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线
m
x y +=对称，且
21
21-=⋅x x ，则m 等于（ A ）
A ．23
B ．2
C ．2
5
D ．3
【解析】2221212121211
1,2(),2
AB y y k y y x x x x x x -=
=--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)
在直线y x m =+上，即
2121
2121,222
y y x x m y y x x m ++=++=++ 2
2
2
21212121213
2()2,2[()2]2,23,2
x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==选A 二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)
9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为
4
π. 【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为
4
π. 10. 双曲线y 2
-4x 2
=64上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则P 到它的另个焦点的距离等于为 17 . 【解析】17
11. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .
【解析】10 列表分析12. 已知定圆221:(2)49C x y ++=定圆222:(2)1C x y -+=动圆M 与圆1C 内切和2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ______
【解析】
22
11612
x x += 13．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22
=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使
MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ______
【解析】()2,2
14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2
(1)a a >的点的轨
迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212
a . 其中，所有正确结论的序号是____②__③_____ 【解析】22
2
2
2(,),1)(1)x y x
y x y a 设曲线上任意点P 曲线C 如果经过原点，
1a =，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线C 关于原点对称 ②对;
三角形12F F P 的面积
12S =12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF =2
2
a ③对.
15. 若双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的一条渐近线与抛物线C 2：y 2
= 2px (p >0)的一
个交点在x 轴上的射影在抛物线C 2的焦点的右侧，则双曲线C 1的离心率的取值范围
是 .
【解析】取双曲线C 1的一条渐近线方程y =
x a
b
与抛物线C 2的方程y 2 = 2px 联立，求得两交点的横坐标分别为0，222b pa ，依题意有2
22b
pa >2p ，故b 2<4a 2
，所以e <5，故其离心率的取值范围是(1, 5).
三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知0>a ,设命题:p 函数x
a y =在R 上单调递减，
:q 设函数⎩
⎨
⎧<≥-=)2(,2)
2(,22a x a a x a x y , 函数1>y 恒成立,
若p ∧q 为假, p ∨q 为真,求a 的取值范围. 【解析】若p 是真命题, 则10<<a 若q 是真命题,即1min >y ，又a y 2min = ∴21a > ∴q 为真命题时1
2
a >
； 又∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假, 则2
1
0≤<a ; 若p 假q 真, 则1≥a
故a 的取值范围为10,2
a ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
或[)1,+∞
17．（本小题满分12分）
已知动圆M 过定点F(2,0)，且与直线2x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程
(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于A,B 两点，求AB 【解析】
(1)依题意知动圆圆心M 的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为28y x = (2) 依题意直线AB 的方程为y=x-2,代入方程y 2
=8x 得x 2
-12x+4=0,得1212x x += 故AB =12416x x ++= 18．（本小题满分12分）
对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这
M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如
下：
（1）求出表中,M p 及图中a 的值；
（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
【解析】（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，
10
0.25M
=， 所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.
40.1040
m p M =
==. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以24
0.12405a =
=⨯.
（2）因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，
设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b
2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，
而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为114
11515
P =-=. 19．（本小题满分12分）
P 为椭圆
22
12516
x y +=上任意一点，12,F F 为左、右焦点，如图所示． (1)若1PF 的中点为M ，求证:11
52
MO PF =-
(2)若0
1260F PF =，求|PF 1|·|PF 2|之值；
(3)椭圆上是否存在点P ，使PF 1→·PF 2→
＝0，若存在， 求出P 点的坐标，若不存在，试说明理由
【解析】(1)证明：在△F 1PF 2中，MO 为中位线， ∴|MO |＝|PF 2|2＝2a －|PF 1|2＝a －|PF 1|2＝5－1
2|PF 1|.
(2)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10，
∴|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝100－2|PF 1|·|PF 2|，
在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|
2
2|PF 1|·|PF 2|
，
∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36，∴|PF 1|·|PF 2|＝643
. (3)设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 20
16
＝1.①
易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)，
PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，
∵PF 1·PF 2=0，∴x 2
0－9＋y 2
0＝0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．
已融化的区域冰川区域
边界线
P1(-14,-3)
P2(-5,9)
A (-4,0)
B (4,0)
20．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）。

考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10km 的区域。

(1)求考察区域边界曲线的方程：
(2)如图所示，设线段12PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。

问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？
21．（本小题满分13分）
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=与双曲线2212x y -=有3
A ,
B 分别是椭圆
C 的左顶点和右顶点. 点S 是椭圆C 上位于x 轴上
方的动点.直线AS ，BS 分别与直线l ：10
3
x =
分别交于M ，N 两点. (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 延长MB 交椭圆C 于点P ，若PS AM ⊥，试证明2
MS MB MP =⋅.
(3) 当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在点T ，使得TSB ∆的面积为
1
5
？若存在确定点T 的个数，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由已知得椭圆C 的交点为()(
)
3,0,
3,0-，
3c ∴=，又3
2
c e a =
=
，2,1a b ∴==，椭圆的方程为2
214
x y +=. (2) 直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而
1016(,)33k M 由22
(2)
1
4
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2)14k x k --⋅=+得2
1
2
2814k x k -=+，从而12414k y k =+ 即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B ，从而222164416,,,141433k k k BS BM k k ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 222164416,,0141433k k k BS BM k k ⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅= ⎪
⎪++⎝⎭
⎝⎭， BS BM ∴⊥，又因为PS AM ⊥，由射影定理可得2MS MB MP =⋅.
(3) 1(2)410
3y x k
x ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴- 故161
||33k MN k =
+
又16116180,||233333
k k k MN k k >∴=+≥⋅= 当且仅当
16133k k =，即14
k =时等号成立
1
4
k ∴=
时，线段MN 的长度取最小值83
此时BS
的方程为6420,(,),||555
x y s BS +-=∴=
要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于
15，只须T 到直线BS
的距离等于4
，所以T 在平行于BS 且与BS
距离等于
4
的直线l 上。

设直线':0l x y t ++=
4=解得32t =-或52t =- w.
当32t =-时，由223021
4
x y x y ⎧
+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2
51250x x -+=
由于440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同的交点；
当52t =-时由225021
4
x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2
520210x -+=，由于200∆=-<故直线l '与椭圆没有交
点.
综上所述，当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上仅存在两个不同的点T ，使得TSB ∆的面积为
15
.。