人教版初二(上)数学第29讲：全等三角形的判定(1)(学生版)——研究

三角形全等的判定（1）
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1、理解全等三角形的判定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS ；
2、能运用判定方法判定两个三角形全等；
3、经理探索判定方法判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.
1．SSS
____________的两个三角形全等（简称SSS ）．
这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理． 2.利用SSS 证明三角形全等
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
如下图，已知：△ABC 与△DEF 的三条边对应相等，求证：△ABC ≌△DEF ．
证明：在△ABC 与△DEF 中，
,
,,AB DE AC DF BC EF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．
3.利用SSS 作一个角等于已知角
用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，说明'''A O B =AOB ∠∠
的依据是
_________．
4．边角边定理
三角形全等判定方法2：______和它们的______分别相等的两个三角形全等．（简称SAS ） 符号语言：
在△ABC 与△DEF 中，
AB DE
B E B
C EF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．
图示：
5．探索边边角
两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等． 6．ASA
_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ． ▲如下图，已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．
求证：△ABD ≌△ACE ．
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD （相等的角加同一个角仍相等） 即∠BAD ＝∠CAE 在△ABD 和△ACE 中，
∠D=∠E （已知） AD=AE （已知）
∠BAD ＝∠CAE （等量相加）
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
7．AAS
______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．
▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．
求证：△ACD≌△ABE．
证明：在△ACD和△ABE中．
∠C=∠B（已知）
∠A=∠A（公共角）
DC=EB（已知）
∴△ACD≌△ABE（AAS）．
1、先证明对应边相等，再证全等（利用中点、等量相加等）
【例1】如图所示，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：△ABC≌△FED．
练1.如图，已知AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．
2．先利用SSS证明三角形全等，继而证明边（角）相等，或求边（角）
【例2】如图所示，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2．
练2.如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人
师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？为什么？
练3.如图所示，已知：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB ∥DE.
练4.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.
练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.
3．利用SAS直接证明三角形全等
【例3】如图所示，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC ≌△DEF．
练6．（2014秋•天元区期末）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（）
A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以练7．如下图所示，已知∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC．
4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等
【例4】（2015春•启东市校级月考）如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．
练8．（2014•房山区二模）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．
练9．（2014•永春县质检）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．
求证：△AEC≌△BDC．
5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等
【例5】（1）（2014•十堰）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=
∠C．
（2）（2015春•鼓楼区校级月考）如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．
练10．（2014秋•涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）
A．50° B.30°C．80°D．100°
练11．（2014春•锦州校级期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，若∠_____=∠______，则△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．
6．先用ASA证全等，再证边角相等
【例6】如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO ＝DO．
练12.如图所示，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.
7．先用AAS 证全等，再证边角相等
【例7】如图所示，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．
练13.如图所示，C ，F 在BE 上，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ，BF ＝EC ．求证：AB ＝DE ．
8．灵活选用证明方法证（判断）全等
【例8】如图所示，已知∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，要证△ABC ≌△DEF ，若要以“ASA”为依据，还缺条件_________；以“SAS”为依据，还缺条件_________；以“AAS”为依据，还缺条件_________.
练14.如图所示，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且∠B ＝∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）.
A.AD ＝AE
B.∠AEB ＝∠ADC
C.BE ＝CD
D.AB ＝
AC
A
B
C F
E
D D
C
B
A
O 1 2
3 4
练15.如图所示，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点F ，E ，BF ＝DE ，∠B ＝∠D ，求证：AE ＝CF.
练16．如图，将△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，再过点O 任意画一条与AC ，BD 都相交的直线MN ，交点分别为M 和N ．试问：线段OM ＝ON 成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．
练17．如图所示，直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上，AC ＝BC ，现过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，E.
1．如图所示，AB ∥CD ，OB ＝OD ，则由“ASA”可以直接判定△______≌△___________.
A
C
D F
E B
l
D
C E
F A
B
B
A C
D
E
2．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，则CH 的长是___________．
3．如图所示，已知点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．
4．如图所示，已知∠B ＝∠E ，∠BAD ＝∠EAC ，AC ＝AD ，求证：AB ＝AE.
5.（2014•厦门校级一模）如图，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，AB=CD ，EC=DF ，EC ∥DF ．求证：△ACE ≌BDF ．
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1.已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC 。

求证：
BF=DE
C E
B F D
A
2.已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。

求证：AG平分∠BAC
3．如图，AB=CD，AD=BC，O是BD上任意一点，边O点的直线分别交AD，BC于M，N点，求证：∠1=∠2。

4．如图，已知AC//FD，AF//CD，FB//EC。

求证：△AFB≌△DCE。

5．如图，已知AD//BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C。

求证：DE=EC。

6．已知：如图，在△ABC中，延长AC边中线BE到G，使EG=BE，延长AB边中线CD到F，使DF=CD。

求证：G，A，F在同一直线上。

7．已知：如图，在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 相交于点O 。

求证：AE+CD=AC 。

8．如图，EA 平分∠CAB ，且AB=AC+BD ，E 为CD 中点，求证：BE 平分∠ABD 。

9．（2014年理工附期中）已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB=EC ，∠
ABE=∠ACE 。

求证：∠BAE=∠CAE 。

证明 在△AEB 和△AEC 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=.,,AE AE ACE ABE EC EB
∴△AEB ≌△ACE 。

（第一步）
∴∠BAE=∠CAE 。

（第二步）
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出正确过程。

课程顾问签字： 教学主管签字：。