贵州省遵义航天高级中学高二数学下学期期中试题 文

遵义航天高级中学2014—2015学年度第二学期半期考试
高二数学（文科）试卷
第I 卷（选择题）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}42|<≤=x x A ，{}x x x B 2873|-≥-=，则A ∪B 等于（ ）．
A ．{}43|<≤x x
B ．{}3|≥x x
C ．{}2|>x x
D ．{}2|≥x x 2．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-
3．如果函数()sin()(0)
6f x x π
ωω=+>的最小正周期为π，则ω的值为（ ） A ．1
2 B ．1 C ．2 D ．4
4．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）
A ．﹣7
B ．﹣4
C ．1
D ．2
5．椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上，焦距为4,离心率为2
2,则该椭圆的方程为（ ）
A ．2213216x y +=
B ．221128x y +=
C ．22184x y +=
D ．22
1124x y +=
6．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ
θ=-+⎧⎨
=⎩的（ ）．
A ．内部
B ．外部
C ．圆上
D ．与θ的值有关
7．执行程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ） A ．120 B ．720 C ．1440 D ．5040
8．曲线3
4y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ）
A.74y x =+
B.72y x =+
C.4y x =-
D.2y x =-
9．观察式子：2
13122+
< ，221151233++< ，22211
17
1234
4+++< ，……则可归纳出式子（
2n ≥）（ ）
A.
2221112112321n n n ++
++•••+<- B. 22211121
1232n n n -+++•••+< C. 22211121123n n n -+
++•••+< D. 22211121123n n n ++++•••+<
10．设
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，
若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = （ ）
A ．5
B ． 6
C ． 7
D ．8
11．不等式
)0(02)2(2
<≥++-a x a ax 的解集为 （ ）
A.]1,2[a
B.]2,1[a
C.),1[]2,(+∞-∞Y a
D.)
,2[]1,(+∞-∞a Y
12．下列四个图中，函数
1
1
110++•=
x x n y 的图象可能是（ ）
第II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13．命题“0R x ∃∈,
3202
0=-+x x ”的否定形式为 ；
14． 已知
2
a =u u r ，
3
b =u u r ，,a b r r
的夹角为60°，则2a b -=
r r _____.
15．不等式2)1(5
2
≥-+x x 的解集为 .
16．下列四种说法
①在ABC ∆中，若A B ∠>∠，则sin sin A B >；
②等差数列{}n a 中，134,,a a a
成等比数列，则公比为12；
③已知0,0,1a b a b >>+=，则23a b +
的最小值为5+； ④在ABC ∆中，已知cos cos cos a b c
A B C ==
，则60A ∠=︒.
正确的序号有 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -= （1）求B cos 的值；
（2）若2=⋅BC BA ，且，求c a 和的值.
18．（本题满分12
分）已知直线的参数方程为2x t y =+⎧⎪⎨
=⎪⎩
(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为
2cos21ρθ=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的弦长．
19．（本题满分12分）某校高二年级的一次数学考试中，为了分析学生的得分情况，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：
（1）求出表中n M ,的值；
（2）为了了解某些同学在数学学习中存在的问题，现从样本中分数在(]40,60中的6位同学
中任意抽取2人进行调查，求分数在
(]40,50和(]50,60中各有一人的概率．
20．（本题满分12分）三棱柱
111
ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=o
，
1
AB BC BB ==，M 是
11
A B 的中点，N 是
1
AC 与
1A C
的交点.
（Ⅰ）求证：//MN 平面
11
BCC B ；
（Ⅱ）求证：MN ⊥平面1ABC ．
21．（本题满分12分）已知椭圆与双曲线11242
2=-x y 的焦点相同，且它们的离心率之和等于514
.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点)1,1(M 作一条弦AB ，使该弦被点M 平分，求弦AB 所在直线方程.
22.(本题满分12分)已知函数2
1()ln ()2f x x a x a R =
-∈．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）设()()2g x f x x =+，若()g x 在[1,]e 上不单调且仅在x e =处取得最大值，求a 的取值范围．
A
A 1
B 1
C 1
B
C
M
N
遵义航天高级中学2014——2015学年度第二学期半期考试 高二数学（文科）答案 选择题
1-5 DDCAC 6-10 ABDCD 11-12 AC 填空题 13、R x ∀∈,
322≠-+x x 14
15、]3,1()1,21
[Y - 16、①③④
17、（1）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 则R B A R C B R 2cos sin 6cos sin 2-=B C cos sin 故B C B A C B cos sin cos sin 3cos sin -= 可得B A B C C B cos sin 3cos sin cos sin =+ 即()B A C B cos sin 3sin =+
因此得B A A cos sin 3sin =，0sin ≠A Θ，得31
cos =
B
解：由2=⋅,可得2cos =B ac ，
又
31
cos =
B ，故6=ac ，由B ac c a b cos 2222-+=，得1222=+c a ，()02
=-∴c a
所以6==c a .
18、（1）由2cos21ρθ=得222(cos sin )1ρθθ-=，
2222cos sin 1ρθρθ-=，
∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴x2－y2=1． （2）消去参数t 可得，直线l 的方程为
－2) 将
(x －2)代入x2－y2=1得 2x2－12x+13=0
解得
x1=62+，
x2=62
1212||x x x x -=-=
19、 （1）100， 0．34；（2）
8
15P =
．
试题分析：（1）由频率总数频数
=求得M ,利用各频率之和为1求得n ；（2）列出基本事件，利
用古典概型个概率公式进行求解．
解题思路:古典概型往往与频率分布表、频率分布直方图、抽样方法相结合在一起进行考查．
试题解析：（1）由频数表，可知02.02
=M ,解得100=M ；
由111.038.011.004.002.0=+++++n 0.02M =得0.34n =； （2）六个人可记为,,,,,a b A B C D 任选两个人的各种情形：
,,,,ab aA aB aC aD ；,,,bA bB bC bD ；
,,AB AC AD ；,BC BD ；CD 共15种，
其中符合两组中各有一人的情形有8种，8
15P =
．
20、证明：（Ⅰ）连结
1B C
因为M 是11A B 的中点，N 是
1
AC 与
1A C
交点,
所以N 是1A C
的中点.
所以
1//MN B C
又因为MN ⊄平面11
BCC B ，
1B C ⊂
平面
11
BCC B
所以//MN 平面
11
BCC B
A 1
B 1
C 1
A
B C
M N
（Ⅱ）因为
1BB ⊥
底面ABC ，所以
1
AB BB ⊥
又AB BC ⊥，所以AB ⊥平面11BB C C ，
1AB B C
⊥
由正方形
11BB C C
，可知
11B C C B
⊥
由（Ⅰ）知1//MN B C
，所以MN AB ⊥，1MN C B
⊥
因为
1,AB C B ⊂平面
1ABC ，
1AB C B B
=I
所以MN ⊥平面1
ABC
21、（Ⅰ）由题意知，双曲线的焦点坐标为)4,0(),4,0(-，离心率为
4
22e =
=，
设椭圆方程：)0(122
2
2>>=+b a b x a y ，则4=c
54
25144=-===
∴a a c e ，5=∴a ，
91625222=-=-=∴c a b ，
∴椭圆方程为：19252
2=+x y .
（Ⅱ）解法一：设),(),,(2211y x B y x A ，
M Θ为弦AB 的中点，2,22121=+=+∴y y x x ， 由题意：⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(1925
)1(192522
222
12
1x y x y ，)2()1(-得
9))((25))((2121
2121x x x x y y y y -+-=-+， 925
)(9)(2521212121-=++-=--=
∴y y x x x x y y k AB ，
此时直线方程为：
)1(925
1--
=-x y ，即034925=-+y x ，
故所求弦AB 所在的直线方程为034925=-+y x .
解法二：由题意可知，直线斜率必存在.设所求直线方程为：)1(1-=-x k y ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-1925)1(12
2x y x k y ，得0225)1(9)(18)259(2222=--+-++k x k k x k ，（*）
设
),(),,(2211y x B y x A ， M Θ为弦AB 的中点，2,22121=+=+∴y y x x ，
2259)(182221=+-=+∴k k k x x ，
925
-
=∴k ， 故所求弦AB 所在的直线方程为：
)1(925
1--
=-x y ，即034925=-+y x .
22、（1）若0a ≤：则()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a >：则()f x
在
上单调递减，
)+∞上单调递增；（2）实数a 的取值范围是
25
(3,2]
22e e +-． 试题解析：（1）∵2
1()ln 2f x x a x
=-，∴2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>，∴若0a ≤：则()
f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a >：则()f x
在
上单调递减，)+∞上单调递增；（2）∵()()2g x f x x =+，
∴22'()2(0)a x x a
g x x x x x +-=-+=>，设
2
()2(0)h x x x a x =+->，∵()g x 在[1,]e 上不单调，
∴()g x 在(1,)e 上存在零点，∴2(1)0
32()0h a e e h e <⎧⇒<<+⎨
>⎩，又∵()g x 在x e =处取得最大
值，
∴只需()(1)g e g ≥，即
25222e a e ≤+-，综上所述，实数a 的取值范围是25
(3,2]
22e e +-．。