21版： 双曲线（步步高）

§8.6双曲线
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a
2＋b2实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段
B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲
线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；
当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响．∵e ＝c
a
＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，
故当a >b >0时，1<e <2；当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)；当0<a <b 时，e > 2.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2
n
＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y
n ＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 题组二 教材改编
2．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率
为( )
A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y
b ＝0，即bx ±ay
＝0， ∴2a ＝bc
a 2＋b
2
＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝
c 2
a 2
＝5，∴e ＝ 5. 3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，C 1与C 2的离心
率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0
答案 A
解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2
a ＝
32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±1
2x ，即x ±2y ＝0. 4．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案 x 215－y 2
15
＝1
解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
a 2＝±1(a >0)，
把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 2
15＝1.
题组三 易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程x 23－t ＋y 2
t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命
题中错误的是( ) A ．若C 为椭圆，则1<t <3 B ．若C 为双曲线，则t >3或t <1 C ．曲线C 可能是圆
D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则1<t <2 答案 AD
解析 若t >3，则方程可变形为y 2t －1－x 2
t －3＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若t <1，则方
程可变形为x 23－t －y 2
1－t ＝1，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若2<t <3，则0<3－t <t －1，故方
程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；若1<t <2，则0<t －1<3－t ，故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；若t ＝2，方程x 23－t ＋y 2t －1＝1即为x 2＋y 2＝1，它表示圆，综上，
选AD.
6．已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为__________________． 答案 x 216－y 248＝1或y 216－x 2
48
＝1
解析 由题意知a ＝4，e ＝c
a ＝2，∴c ＝8，
∴b 2＝c 2－a 2＝64－16＝48.
∵双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1或y 216－x 2
48
＝1.
7．P 是双曲线x 216－y 2
81＝1上任意一点，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，且|PF 1|＝9，则|PF 2|
＝________. 答案 17
解析 由题意知a ＝4，b ＝9， c ＝a 2＋b 2＝97，
由于|PF 1|＝9<a ＋c ＝4＋97，故点P 只能在左支上， ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， ∴|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.
双曲线的定义
例1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 答案
x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1) 解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .
根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，
所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，
所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为
x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1)． (2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______．
答案 2 3
解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝1
2，
∴|PF 1|·|PF 2|＝8，
∴12F PF S △＝1
2
|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.
本例(2)中，“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→
＝0”，则△F 1PF 2的面积为
________． 答案 2
解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→
，
∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，
∴12F PF S △＝1
2
|PF 1|·|PF 2|＝2.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．
跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线
x 2－
y 2
4
＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________． 答案 12
解析 由题意，得|PF 2|－|PF 1|＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2. ∵|PF 1|＋|QF 1|＝|PQ |＝4， ∴|PF 2|＋|QF 2|－4＝4， ∴|PF 2|＋|QF 2|＝8.
∴△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝8＋4＝12.
(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34
解析 ∵由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，
则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝(42)2＋(22)2－422×42×22
＝3
4.
双曲线的标准方程
1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y ＝±2
2x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
2
＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 2
8＝1 C.x 24－y 2
8
＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 2
8＝1 答案 D
解析 设双曲线方程为x 22m －y 2
m ＝1(m ≠0)，
又2a ＝4，∴a 2＝4， 当m >0时，2m ＝4，m ＝2； 当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.
故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 2
8
＝1.
2．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5
2x ，且与椭
圆x 212＋y 2
3＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 2
10＝1 B.x 24－y 2
5＝1 C.x 25－y 2
4＝1 D.x 24－y 2
3
＝1 答案 B 解析 由y ＝
52x ，可得b a ＝52
.① 由椭圆x 212＋y 2
3
＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 2
5
＝1.故选B.
3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若
以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 27－y 2
9＝1 C.x 28－y 2
8＝1 D.x 212－y 2
4
＝1 答案 A
解析 因为渐近线y ＝b
a x 与直线x ＝a 交于点A (a ，
b )，
c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，
b 2＝12，因此双曲线的标准方程为
x 24－y 2
12＝1. 4．经过点P (－3,27)和点Q (－62，－7)的双曲线方程为________． 答案 y 225－x 2
75
＝1
解析 设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，
解得⎩⎨⎧
m ＝－175
，
n ＝－125，
∴双曲线方程为y 225－x 2
75
＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2
n 2＝λ(λ≠0)，再根
据条件求λ的值．
注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，其中当m >0，n >0，且m ≠n 时表示椭圆；当mn <0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论． ②常见双曲线设法
(i)已知a ＝b 的双曲线可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ii)已知过两点的双曲线可设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)；
(iii)已知渐近线为x m ±y n ＝0的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2
n
2＝λ(λ≠0)．
双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例2 (1)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1
5，则m 等于
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 D
解析 由已知，取顶点⎝⎛⎭⎫0，1
3，渐近线3y －mx ＝0，则顶点到渐近线的距离为132＋m 2＝1
5
，解得m ＝4.
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－
y 2
b 2
＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是____________． 答案 y ＝±2x 解析 因为双曲线
x 2－
y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16
b
2＝1，得b ＝2，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 命题点2 离心率
例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.
2
2
B ．1 C. 2 D ．2 答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c
a
＝ 2.
(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝1
3，则
C 的离心率为( ) A.
52 B.62 C.7
2
D ．2 答案 B
解析 ∵a >b >0，∴渐近线y ＝b
a x 的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝1
3
.
∴cos 2α2＝23，sin 2α2＝13，tan 2α2＝12，
∴b 2a 2＝1
2，∴c 2－a 2a 2＝12， ∴e 2＝32，∴e ＝62
.
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心
率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°
答案 D
解析 由题意可得－b
a ＝tan 130°，
所以e ＝1＋b 2
a
2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝
1|cos 130°|＝1
cos 50°
.
(4)(2019·全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为
直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 A
解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c
2
4
，①
将x 2＋y 2＝a 2，② ①－②得x ＝a 2
c
，
则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2
的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2
c
，所以|PQ |＝
2
a 2－
⎝⎛⎭
⎫a 2
c 2. 由|PQ |＝|OF |，得2
a 2－
⎝⎛⎭
⎫a 2
c 2＝c ， 整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，
解得e ＝2，故选A. 思维升华 求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2
a
2直接求e .
②列出含有a ，b ，c 的等式(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．
(2)焦点在x 轴上的双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b
a ＝c 2－a 2a ＝
c 2
a 2
－1＝e 2－1.
跟踪训练2 (1)(2019·汉中模拟)若双曲线x 2－
y 2
m 2
＝1(m >0)的焦点到渐近线的距离是4，则m 的值是( )
A ．2 B. 2 C ．1 D ．4 答案 D 解析 双曲线
x 2－
y 2
m 2
＝1(m >0)的焦点设为(c ,0)， 当双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1时，
渐近线方程设为bx －ay ＝0，可得焦点到渐近线的距离 d ＝
|bc |
b 2＋a 2
＝b ， 故由题意可得b ＝m ＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点，则其离心率的
取值范围是( ) A.()1，5 B.⎝
⎛⎭⎫1，
52 C.()5，＋∞ D.⎝⎛⎭
⎫5
2，＋∞ 答案 C
解析 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，得1a 2－4
b 2＝1，
即b 2
a 2＝
b 2＋4， 所以e ＝c
a
＝
1＋b 2
a
2＝b 2＋5>5，所以e > 5. (3)(2019·天津)已知抛物线
y 2＝4x
的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的
两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D. 5
答案 D
解析 由题意，可得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a .由|AB |＝4|OF |可得2b a
＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 5.。