高中物理万有引力与航天真题汇编(含答案)

高中物理万有引力与航天真题汇编(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．
(1)求卫星B 的运行周期．
(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1)3
2
()
2B R h T gR +=2
3
()t gR R h ω=
-+ 【解析】 【详解】
（1）由万有引力定律和向心力公式得()
()2
2
24B Mm
G
m R h T R h π=++①，2
Mm G mg R =②
联立①②解得：()
3
2
2B R h T R g
+=
（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得()
2
3
B gR R h ω=
+
代入④得
()
203
t R g
R h ω=
-+
2．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求：
（1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R
m
-(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l
在最高点：2
22mv F mg l += ① 在最低点：2
11mv F mg l
-= ② 由机械能守恒定律，得
221211222
mv mg l mv =⋅+ ③ 由①②③，解得1
2
6F F g m
-= （2）
2
GMm
mg R = 2GMm R =2
mv R
两式联立得：12()6F F R
m -（3）在星球表面：2
GMm
mg R = ④ 星球密度：M
V ρ=
⑤ 由④⑤，解得12
8F F GmR
ρπ-=
点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的
卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度．
3．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。

已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）同步卫星距离地面的高度h。

【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】
（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G
解得地球质量为：M=；
（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：；
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．
4．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0，万有引力常量为G．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M；b．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、m2的质
点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2
（2）23
02
4r M GT π=；22GM R c '＝
【解析】 【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT
π= b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
解得
2
2GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c '=
5．利用万有引力定律可以测量天体的质量． （1）测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ．若忽略地球自转的影响，求地球的质量． （2）测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星球A 和B ，如图所示．已知A 、B 间距离为L ，A 、B 绕O 点运动的周期均为T ，引力常量为G ，求A 、B 的总质量．
（3）测月球的质量
若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T 1，月球、地球球心间的距离为L 1．你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质量．
【答案】（1）2
gR G
；（2）2324L GT π；（3）23
21214L gR GT G π-． 【解析】 【详解】
（1）设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m ，忽略地球自转的影响，则有
2Mm G mg R =解得：M =2
gR G
； （2）设A 的质量为M 1，A 到O 的距离为r 1，设B 的质量为M 2，B 到O 的距离为r 2， 根据万有引力提供向心力公式得：
2
121
122()M M G M r L T
π=， 2
122
222()M M G
M r L T π=， 又因为L =r 1+r 2
解得：23
122
4L M M GT
π+=； （3）设月球质量为M 3，由（2）可知，23
1
32
14L M M GT π+=
由（1）可知，M =2
gR G
解得：23
2
132
14L gR M GT G
π=-
6．2019年4月，人类史上首张黑洞照片问世，如图，黑洞是一种密度极大的星球。

从黑洞出发的光子，在黑洞引力的作用下，都将被黑洞吸引回 去，使光子不能到达地球，地球上观察不到这种星体，因此把这种星球称为黑洞。

假设有一光子（其质量m 未知）恰好沿
黑洞表面做周期为T 的匀速圆周运动，求：
(1)若已知此光子速度为v ，则此黑洞的半径R 为多少？ (2)此黑洞的平均密度ρ为多少？（万有引力常量为G ） 【答案】（1）R =2vT π
（2）23GT πρ=
【解析】 【详解】
(1)此光子速度为v ，则2vT R π= 此黑洞的半径：2vT
R π
=
(2)根据密度公式得：
343
M M V R ρπ=
=
根据万有引力提供向心力，列出等式：22
24GMm R
m R T
π= 解得：23
2
4R M GT π=
代入密度公式，解得：23GT
πρ=
7．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6倍，半径约为地球半径的2倍．若某人在地球表面能举起60kg 的物体，试求：
（1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？ （2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？ 【答案】（1）40kg （23 【解析】 【详解】
（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举起的物体重力相同，故有：
22
GM m GM m
mg m g R R ''行地地行
地行＝＝＝； 所以，2221
260406
R M m m kg kg M R '⋅⋅⨯行地行地＝
＝＝；
（2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有：2
2 GMm mv R R
＝
所以，v =
；所以， v v 行地；
8．已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。

将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

忽略地球自转影响。

（1）求地面附近的重力加速度g ； （2）求地球的第一宇宙速度v ；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。

【答案】（1）2GM g R =
（2）v =3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

【解析】 【详解】
（1）设地球表面的物体质量为m , 有
2Mm
G
mg R = 解得
2
GM
g R =
（2）设地球的近地卫星质量为m '，有
22Mm G m R R
''=v 解得
v =
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

设太阳质量为M '，地球绕太阳运动的轨道半径为r 、周期为T ，根
据2
224M M G M r r T
π'=可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求
得太阳的质量。

9．如图所示，为发射卫星的轨道示意图．先将卫星发射到半径为r 的圆轨道上，卫星做匀速圆周运动．当卫星运动到A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道．沿椭圆轨道运动到远地点B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为3r 0的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的A 点时的速度大小为v ，卫星的质量为m ，地球的质量为M ，万有引力常量为G ，则：
(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大? (2)卫星在B 点变速时增加了多少动能?
【答案】（10GM r 03GM r （2）2
0618
GMm mv r -
【解析】 【分析】 【详解】
（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力提供向心力，得：
2
2Mm v G m r r
=， 当r =r 0时，v 10
GM
r ， 当r =3r 0时，v 20
3GM
r ， （2）设卫星在椭圆轨道远地点B 的速度为v B ，据题意有：r 0v =3r 0v B 卫星在B 点变速时增加的动能为△E k =
22
21122
B mv mv -， 联立解得：△E k =2
0618GMm mv r -
10．2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内的冯·卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。

设搭载探测器的轨道舱绕月球运行半径为r ，月球表面重力加速度为g ，月球半径为R ，引力常量为G ，求： （1）月球的质量M 和平均密度ρ； （2）轨道舱绕月球的速度v 和周期T .
【答案】（1）G
gR M 2
=， 34g RG ρπ=
（2）2
gR v r
=32
2r T gR π=
【解析】 【详解】
（1）在月球表面：002
Mm m g G R =，则G
gR M 2
= 月球的密度：2343/34M gR g
R V G GR
ρππ===
（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：2
2Mm v G m r r
=
解得：v =
22r T v π⋅==。