初三数学上《二次函数和反比例函数》全章复习与巩固—知识讲解(提高)+巩固练习

《二次函数和反比例函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.理解并掌握二次函数及反比例函数的概念；
2.会用描点法画出二次函数及反比例函数的图象，能从图象上认识函数的性质；
3.熟练记忆二次函数及反比例函数的性质，并用来解决问题；
4.会用待定系数法求二次函数及反比例函数的解析式；
5.能利用二次函数及反比例函数解决一些常见的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线的解析式中的a、b、c的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
.
4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成
的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、
，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
).
要点诠释：
求抛物线2
y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数
，当
时，得到一元二次方程
，那么一
元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
的图象
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
的解
要点诠释：
二次函数图象与x 轴的交点的个数由
的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点五、反比例函数的概念
一般地，形如k
y x
=
(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：
在k
y x
=中，自变量x 的取值范围是，k y x
=
()可以写成()的形式，也
可以写成
的形式.
要点六、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k
y x
=
中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 要点七、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象
反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无
限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点诠释：
观察反比例函数
的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又
是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①)0(≠=
k x k
y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k x k
y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③x
k
y x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.
注：正比例函数x k y 1=与反比例函数x
k y 2
=
，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大. （2）若点(a b ，)在反比例函数k
y x
=
的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
正比例函数
反比例函数
解析式
图 象 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
0k >，一、三象限； 0k <，二、四象限 0k >，一、三象限 0k <，二、四象限
增减性
0k >，y 随x 的增大而增大 0k <，y 随x 的增大而减小 0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小 0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大
（4）反比例函数y ＝(k ≠0)中k 的意义
①过双曲线x
k
y =
(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . ②过双曲线x k
y =(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2
k .
要点八、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【典型例题】
类型一、求二次函数和反比例函数的解析式
1.已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．
【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2
(3)2y a x =--，也就是
2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是
直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)． 【答案与解析】
解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，
∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2
-2(a ＞0)，即2
692y ax ax a =-+-，
设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则212364(92)
||6a a a x x ---==，
解得29
a =
． ∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =
--，即224
93
y x x =-． 解法二：∵抛物线的顶点为(3，-2)，
∴设抛物线解析式为2
(3)2y a x =--．
∵对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6， ∴抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．
把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2
-2，
解得29
a =
， ∴抛物线的解析式为22
(3)29
y x =--， 即224
93
y x x =
-． 解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)
设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得2
9
a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =
-，即224
93
y x x =-． 【总结升华】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：
【高清课程名称：二次函数复习
高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线2
442y mx mx m =-+-（m 是常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若
1
55
m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=m
m
a b x ，
224ac b 4m(4m 2)(4m)y 4a 4m ----==2216m -8m-16m ==-24m
∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，
∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．
∴22x m
==±
．
∵0m >，∴2x =±
∴2
m 是完全平方数． ∵155m <<， ∴22
105m <<， ∴2
m 取1，4，9，
22x m
==±
．
当
2
1m =时，2=m ； 当24m =时，21=m ； 当29m =时，29
m =． ∴m 的值为2或21或2
9
．
∴抛物线的解析式为6822
+-=x x y 或x x y 2212-=
或22810999
y x x =--． 2.已知12y y y =+， 1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于10．求
y 与x 间的函数关系式．
【思路点拨】由于1y 与x 成正比例，可设11y k x =，2y 与x 成反比例，可设2
2k y x
=
．将1y 、2y 代入12y y y =+，得2
1k y k x x
=+
，在y 与x 的关系式中有两个待定系数1k 、2k ，利用x 与y 的两对对应值，列出两个关于1k 、2k 的方程，解方程组可求出1k 和2k 的值，从而写出y 与x 的函数关系式． 【答案与解析】 解：设11y k x =，2
2k y x =
， 由题意得21k
y k x x
=+，将（2，10）与（3，10）代入
解出122,12k k ==， ∴122y x x
=+
【总结升华】注意正比例系数和反比例系数要用不同的1k 和2k 表示，不要混淆成一个. 举一反三：
【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例2】 【变式】已知反比例函数k
y x
=
与一次函数y ax b =+的图象都经过点P(2，－1)，且当1x = 时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.
【答案】∵双曲线k
y x
=
经过点P(2，－1)，∴2(1)2k xy ==⨯-=-． ∴反比例函数的关系式为2
y x
-=，∴当1x =时，2y =-．
当1x =时，由题意知2y ax b =+=，∴直线y ax b =+经过点(2，－1)和(1，2)，
∴21,2,a b a b +=-⎧⎨+=⎩ 解得3,5.a b =-⎧⎨=⎩
∴一次函数解析式为35y x =-+．
类型二、二次函数和反比例函数的图象及性质
3.函数y ax b =+和2
y ax bx c =++(0)a ≠在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
【答案】C ；
【解析】 ∵a ≠0，∴分a ＞0，a ＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．
若a ＞0，则y ＝ax+b 的图象必经过第一、三象限，2
y ax bx c =++的图象开口向上，可排除D ． 若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，2
y ax bx c =++的图象的对
称轴在y 轴的左侧，故B 不正确．
若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，2y ax bx c =++的图象的对
称轴在y 轴的右侧，故C 正确．
若a ＜0，则y ＝ax+b 的图象必经过第二、四象限，2
y ax bx c =++的图象开口向下，故A 不正确． 【总结升华】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a ，b 满足一致性，因此讨论a ，b 符号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a ，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．
4.如图所示，在反比例函数2
(0)y x x
=
>的图象上有点1234P P P P ，，，，
它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123++=S S S ________．
【答案】
32
； 【解析】由题意及图象可知，三个长方形的长都为1，设1P (1，1y )，2P (2，2y )，3P (3，3y )，4P (4，
4y )．代入2(0)y x x =
>可求得1y ＝2，2y ＝1，3y ＝23，4y ＝12，∴123143
1()2
S S S y y ++=⨯-=．
【总结升华】严格根据点在函数图象上，解出每个矩形的宽度，利用平移将阴影部分组合成一个大矩形，就可以求出123++S S S 的值. 类型三、二次函数与方程
5.如图所示，把一张长10cm ，宽8 cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成
一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm 2
，那么剪去的正方形的边长应为多少?
(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请说明理由；
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
【思路点拨】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子．用含字母的代数式表示长方体盒子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积的最大值.
【答案与解析】
(1)设剪去的正方形的边长为x cm ，则(10-2x)·(8-2x)＝48，即x 2
-9x+8＝0． 解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝1． 所以剪去的正方形的边长为1 cm ．
(2)有侧面积最大的情况．设此时剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2
， 则y 与x 的函数关系式为：y ＝2(10-2x)x+2(8-2x)x ．
即y ＝-8x 2
+36x ，改写为2
981842y x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭，所以当x ＝2.25时，y =最大40.5．
即当剪去的正方形的边长为2.25 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5 cm 2
；
(3)有侧面积最大的情况．
设剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2
．
若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：
1022(82)22x y x x -=-+⨯，即2
13169
666y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
．
所以当136x =
时，1696
y =最大． 若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：
822(102)22x y x x x -=-+⨯，即2
798633y x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭．
所以当73x =
时，98
3
y =最大． 比较以上两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大， 即当剪去的正方形的边长为
73cm 时，折成的有盖的长方体盒子的侧面积最大，最大面积为3
98cm 3
．
【总结升华】由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类讨论，以免漏解． 举一反三： 【变式1】抛物线
与直线
只有一个公共点，则b=________．
【答案】由题意得
把②代入①得.
∵抛物线与直线
只有一个公共点，
∴方程必有两个相等的实数根， ∴，∴
．
【变式2】二次函数
的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根；
(2)写出不等式的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】
(1)
(2).
(3).
(4)方法1：方程的解，
即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点
的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，
∴∴
∴，即，
∴.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，∴.
类型四、函数综合题
6.已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数
3
3
4
y x
=+的图象与y轴交于点A，点M在正比
例函数
3
2
y x
=的图象上，且MO＝MA，二次函数2
y x bx c
=++的图象经过点A、M．
(1)求线段AM的长；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数
3
3
4
y x
=+
的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．【答案与解析】
(1)一次函数
3
3
4
y x
=+，当x＝0时，y＝3，所以点A的坐标为(0，3)，
又∵ MO＝MA，
∴ M在OA的中垂线上，即M的纵坐标为
3
2
，又M在
3
2
y x
=上，当
3
2
y=时，x＝1，∴点M的坐标为
3
1,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
如图所示，
2
2
313
1
22
AM
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
．
(2)将点A(0，3)，
3
1,
2
M
⎛⎫
⎪
⎝⎭
代入2
y x bx c
=++中，得
3,
3
1.
2
c
b c
=
⎧
⎪
⎨
++=
⎪⎩
∴
5
,
2
3.
b
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
即这个二次函数的解析式为：2
5
3
2
y x x
=-+．
(3)如图所示，设B(0，m)(m＜3)，2
5
(,3)
2
C n n n
-+，
3
,3
4
D n n
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
．
则|AB|＝3-m ，213||4D C
DC y y n n =-=
-，5
||4
AD n =． 因为四边形ABCD 是菱形，所以||||||AB DC AD ==．
所以2
133,4
53.4
m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得113,0;m n =⎧⎨=⎩（舍去）221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩
将n ＝2代入2
5
32
y x x =-
+，得2C y =，所以点C 的坐标为（2，2）
． 【总结升华】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．
7.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+(k ≠0)的图象与反比例函数m
y x
=(m ≠0)的图象相交于A 、B 两点．
(1)根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 【答案与解析】
解：(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，
1
2
)，点B 的坐标为(－1，－1)． ∵ 反比例函数(0)m y m x =≠的图象经过点A(2，1
2
)，∴m ＝1．
∴ 反比例函数的解析式为：1
y x
=．
∵ 一次函数y kx b =+的图象经过点A 12,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B(－1，－1)， ∴ 12,21,k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩ 解得：1,2
1.2
k b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ ∴ 一次函数的解析式为1122
y x =
-． (2)由图象可知：当x ＞2或－l ＜x ＜0时一次函数值大于反比例函数值．
【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围即为所求. 举一反三：
【变式】如图所示，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数(0)m
y x x
=
>的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且27DBP S =△，1
2
OC CA =．
(1)求点D 的坐标；
(2)求一次函数与反比例函数的表达式；
(3)根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 【答案】解：(1)由一次函数3y kx =+可知：D(0，3)
(2)设P(a ，b )，则OA ＝a ，13OC a =
，得1,03C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 由点C 在直线3y kx =+上，得1303
ka +=，ka ＝－9， DB ＝3－b ＝3－(ka ＋3)＝－ka ＝9，BP ＝a ． 由11
9272
2
DBP S DB BP a =
=
=△， ∴a ＝6，∴3
2
k =-，b ＝－6，m ＝－36． ∴一次函数的表达式为332y x =-+，反比例函数的表达式为36
y x
=-．
(3) 根据图象可知：当x ＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．
《二次函数和反比例函数》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题
1.已知抛物线2
:310C y x x =+-，将抛物线C 平移得到抛物线C '．若两条抛物线C 、C '关于直线x ＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）． A ．将抛物线C 向右平移
5
2
个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛的线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位
2.如图是三个反比例函数x k y 1
=、x k y 2=、x
k y 3=在x 轴上方的图象，由此观察得到123k k k ，，的大小关系（ ）.
A ．123k k k >>
B ．321k k k >>
C ．231k k k >>
D ．312k k k >>
3.二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A ．0a < B ．abc ＞0 C ．a+b+c ＞0 D ．2
40b ac ->
4.在平面直角坐标系中，将抛物线2
23y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )
A ．2
(1)2y x =-++ B ．2
(1)4y x =--+ C ．2
(1)2y x =--+ D ．2
(1)4y x =-++ 5.如图所示，双曲线(0)k
y k x
=
>经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ．若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）．
A ．1y x =
B ．2y x =
C ．3y x =
D ．6
y x
= 6.如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)；
小明说：a ＝1，c=3；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7.已知一次函数y ax b =+的图象过点(-2，1)，则关于抛物线2
3y ax bx =-+的三条叙述： ①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x ＝l ；③当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3． 其中所有正确叙述的有( )．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 8.如图所示，反比例函数4y x =-
的图象与直线1
3
y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则△ABC 的面积为（ ）．
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
二、填空题
9．已知1y 与x 成正比例(比例系数为1k )，2y 与x 成反比例(比例系数为2k )，若函数12y y y =+的图
象经过点(1，2)，(2，
1
2
)，则1285k k +的值为________. 10．已知一元二次方程2
30x bx +-=的一根为-3．在二次函数2y x bx 3=+-的图象上有三点
14,5y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,6y ⎛⎫
⎪⎝⎭，y 1、y 2、y 3、的大小关系是 . 11．设有反比例函数1
k y x
+=，(1x ，1y )，(2x ，2y )为其图象上两点，若120x x <<，12y y >，则k
的取值范围是_______．
12．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝3x 2
不动，而把x 轴、y 轴分别向上，向右平移3个单位，那么在新坐标系下，此抛物线的解析式是 . 13．已知二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x ＝1和x
＝3时，函数值相等；③4a+b ＝0；④当y ＝-2时，x 的值只能取0，其中正确的有 .（填序号）
14．如图所示是一次函数1y kx b =+和反比例函数2m
y x
=
的图象，观察图象写出当12y y > 时，x 的取值范围为________．
15．如图所示，抛物线2
12y x =-+向右平移1个单位得到抛物线y 2．回答下列问题：
(1)抛物线y 2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S ＝________．
(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的开口方向________， 顶点坐标________．
16．已知二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m ≠l 的实数)．其中正确的结论有 (只填序号)．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，直线22y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，双曲线k
y x
=
在第一象限经过点D ．求双曲线的函数解析式．
18．如图所示，一次函数y x b =+的图象经过点B(－1，0)，且与反比例函数k
y x
=
(k 为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1，n )．求：
(1)一次函数和反比例函数的解析式；
(2)当1≤x ≤6时，反比例函数y 的取值范围．
19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42
++=bx ax y 经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交
于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存
在，请说明理由.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；
【解析】2
2349:31024C y x x x ⎛
⎫=+-=+- ⎪⎝⎭
，
∴其顶点坐标为349,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设C '顶点坐标为049,4x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭，由题意得03212x ⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭=， ∴072x =，∴C '的解析式为2
74924y x ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
．
由234924y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭到2
74924y x ⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭需向右平移5个单位，因此选C ．
2.【答案】B ；
3.【答案】C ；
【解析】由抛物线开口向下知a ＜0，由图象知c ＞0，02b
a
-
<，b ＜0，即abc ＞0，又抛物线与x 轴有两个交点，所以2
40b ac ->．
4.【答案】B ；
【解析】抛物线2
2
23(1)2y x x x =++=++，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，
开口向下． ∴旋转后的抛物线解析式为2
(1)4y x =--+．
5.【答案】B ；
【解析】设点E 的坐标为(a b ，)，则点D 的坐标为1,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ∴11
22
BD AB AD a a a =-=-
=．∵梯形ODBC 的面积为3， ∴
112322a a b ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
．∴332ab =．∴2k ab ==. 6.【答案】C ；
【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x ＝2；由小彬的条件，抛物线
过点(4，3)又过(0，3)点，∴对称轴为直线x ＝2；由小明的条件a ＝1，c=3,得到关系式
为2
3y x bx =++，过点(1，0)得b ＝-4，对称轴为4
221
x -=
=⨯；由小颖的条件抛物线被x 轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴 不是x ＝2．所以小颖说的不对.故选C.
7．【答案】C ；
【解析】①若过定点(2，1)，则有4231a b -+=．整理、化简，得-2a+b ＝1，与题设隐含条件相符；
②若对称轴是直线x ＝1，这时12b
a
--
=，2a-b ＝0，与题设隐含条件不相符； ③当a ＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为22
43()344a b b y a a ⨯⨯--==-．
由于2
0b ≥，0a <．∴ 2
04b a
-≥．∴ 3y =最小． 综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C ．
8．【答案】A ；
【解析】设点B 的坐标为(a b ，)，由对称性知点A 的坐标为()a b --，．
∴1
1
2(2)22
2
ABC S BC AC a b ab =
=⨯⨯-=-△．
∵点B(a b ，)在双曲线4
y x
=-上，
∴4
b a
=-．∴4ab =-．
∴2(4)8ABC S =-⨯-=△． 二、填空题 9．【答案】9；
【解析】由题意12
2121222
k k k k =+⎧⎪
⎨=+⎪⎩，解得113k =-，2
73k =，12859k k +=. 10．【答案】y 1＜y 2＜y 3.
【解析】设x 2
+bx-3＝0的另一根为x 2，则23
3c
x a
-=
=-，∴x 2＝1， ∴抛物线的对称轴为31
12
x -+=
=-，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大， 所以y 1＜y 3，y 1＜y 2＜y 3，也可求出b ＝2，分别求出y 1，y 2，y 3的值再比较大小．
11．【答案】1k >-；
【解析】由题意可判断函数图象在一、三象限，所以10k +>，得1k >-.
12．【答案】y ＝3(x+3)2
-3；
【解析】抛物线y ＝3x 2
的顶点为(0，0)，将x 、y 轴分别向上，向右平移3个单位，逆向思考，
即将(0，0)向下，向左平移3个单位，可得顶点为(-3，-3)，因此，新坐标系下抛物线的
解析式是y ＝3(x+3)2
-3．
13．【答案】②③； 【解析】由图象知，抛物线与x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为15
22
x -+=
=，
则22b
a
-
=，∴4a+b ＝0，故③是正确的； 又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，b ＝-4a ＜0， ∴ ①是错误的；又∵
13
22
+=，即x ＝1和x ＝3关于对称轴x ＝2对称，其函数值相等， ∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y ＝-2时，x 的值可取0或4． ∴ ④是错误的．
14．【答案】20x -<<或3x >； 【解析】由图象观察12y y >，实际是找图中一次函数的图象在反比例函数上方的部分. 15．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)；
【解析】抛物线2
12y x =-+向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部
分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y 2绕原点O 旋转180°，则抛物线y 2的顶点与点(1，2)关于原点对称．
16．【答案】③④⑤； 【解析】由题意可知a ＜0，c ＞0，02b
a
-
>，即b ＞0，∴abc ＜0．由图象知x ＝2在抛物线与x 轴两个交点之间，当x ＝-1时，a-b+c ＜0，∴b ＞a+c ．当x ＝2时，4a+2b+c ＞0．又由对称性知9a+3b+c ＜0，且12b a -
=，∴9302
b
b c -++<，
∴2c ＜3b ．当x ＝1时，y a b c =++最大，而m ≠1，当x m =时，21y am bm c =++，由1y y >最大知2
a b c am bm c ++>++，
∴2
()a b am bm m am b +>+=+，故③④⑤正确．
三、解答题 17. 【解析】
解：过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E
当x ＝0时，y ＝2
当 y ＝0时，－2x ＋2＝0得x ＝1
∴OB＝2 OA ＝1
∵四边形ABCD 是正方形，x 轴⊥y 轴 ∴AB＝AD
∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3
∵x 轴⊥y 轴，DE⊥x 轴 ∴∠BOA＝∠AED＝90° ∴△BOA≌△AED（AAS ） ∴OB＝AE ＝2，OA ＝ED ＝1 ∴OE＝3 ∴D（3，1） 把D （3，1）代入y ＝k
x
得3k = ∴y ＝
3x
. 18.【解析】
解：(1)将点B(－1，0)代入y x b =+得：0＝－1＋b ，∴ b ＝1．
∴ 一次函数的解析式是1y x =+．
∴ 点A(1，n )在一次函数1y x =+的图象上， 将点A(1，n )代入1y x =+得：n ＝2． 即点A 的坐标为(1，2)，代入k y x =得：21
k
=，解得：k ＝2． ∴ 反比例函数的解析式是2y x
=． (2)对于反比例函数2
y x
=
，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少， 而当x ＝l 时，y ＝2；当x ＝6时，1
3
y =，
∴ 当1≤x ≤6时，反比例函数y 的取值范围是1
23
y ≤≤．
19.【解析】
解：(1)设抛物线的解析式为2
y ax bx c =++(a ≠0)．
∵ 抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，
∴ 1640,4,420,a b c c a b c -+=⎧⎪
=-⎨⎪++=⎩ 解得1,21,4.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪
⎩
∴ 抛物线的解析式为2
142
y x x =
+-． (2)过点M 作MD ⊥x 轴于点D ． 设M 点的坐标为(m ，n)，则AD ＝m+4， MD n =-，2
142
n m m =
+-． ∴ AMD ABO DMBO S S S S =+-△△梯形
111
(4)()(4)()44222
m n n m =+-+-+--⨯⨯ 228n m =---
2124282m m m ⎛⎫
=-+---
⎪⎝⎭
2
4(40)m m m =---<<．
∴当2m =-时，4S =最大值． (3)满足题意的Q 点的坐标有四个，
分别是：(-4，4)、(4，-4)
、(22-+-
、(22--+． 20.【解析】
解：（1）∵抛物线42
++=bx ax y 经过A （－3,0），B （4,0）两点，
∴⎩⎨
⎧=++=+-.
04416,
0439b a b a
解得⎪⎩
⎪⎨
⎧=-=.
31,31b a ∴所求抛物线的解析式为43
1
312++-
=x x y （2）如图，依题意知AP ＝t ，连接DQ ，
由A （－3,0），B （4,0），C （0,4）， 可得AC ＝5，BC ＝24，AB ＝7. ∵BD＝BC ，
∴247-=-=BD AB AD ∵CD 垂直平分PQ ， ∴QD ＝DP ，∠CDQ=∠CDP. ∵BD ＝BC ，。