【数学】河南省开封市高三第三次模拟试题(文)(解析版)

河南省开封市高三第三次模拟数学试题
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈，{2,8,10,12,14}B =，则集合A B ⋂中元素的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C 【解析】{|32A x x n ==+，}n N ∈，{2B =，8，10，12，14}，
{28A
B ∴=，，14}，
则集合A B ⋂中的元素的个数为3， 故选：C ．
2.设复数1z i =+，则z
z
=（ ） A. i - B. i C. 2i - D. 2i
【答案】A
【解析】21(1)21(1)(1)2
z i i i
i z i i i ---=
===-++-. 故选：A
3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）
A. 该地区在该月2日空气质量最好
B. 该地区在该月24日空气质量最差
C. 该地区从该月7日到12日AQI 持续增大
D. 该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关 【答案】D
【解析】对于选项A, 由于2日的空气质量指数AQI 最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；
对于选项B, 由于24日的空气质量指数AQI 最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；
对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日AQI 持续增大，所以该选项正确； 对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成正相关，所以该选项错误. 故选：D
4.“0a b >>”是“22a a b b +>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先考虑充分性.
2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,
=
))()=()(1)a b a b a b a b a b +-+--++（（， 因为0a b >>，所以()(1)0a b a b -++>， 所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”的充分条件. 再考虑必要性.
2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,
=
))()=()(1)0a b a b a b a b a b +-+--++>（（， 不能推出0a b >>. 如：a=-3,b=-1.
所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”的非必要条件. 所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”充分不必要条件. 故选：A
5.已知函数2
()21
x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，则(1)f =（ ） A. 53
-
B. 13
C. 23
D.
32
【答案】B
【解析】由题得2
(0)0,0,1,2
f a a =∴-
=∴= 经检验，当a=1时，函数f(x)是奇函数. 所以21(1)1213
f =-=+. 故选：B
6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，510a =-，则1a =（ ） A. -3 B. -2
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】由题得11119967,2,3+410
a d a d
a d a d +=+⎧∴==-⎨=-⎩.
故选：C
7.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
B. 6π
C. 9π
D. 24π
【答案】B
【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ABCD -．底面ABCD 为矩形，
的
其中PD ⊥底面ABCD ．
1AB =，2AD =，1PD =．
则该阳马的外接球的直径为PB =
∴
该阳马的外接球的表面积为：246ππ⨯=．
故选：B ．
8.如图所示的程序框图是为了求出满足
111
1100
23n
+++⋯+<的最大正整数n 的值，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
A. “100?S <”和“输出1i -”
B. “100?S <”和“输出2i -”
C. “100?S ”和“输出1i -”
D. “100?S ”和“输出2i -” 【答案】D
【解析】由于程序框图是为了求出满足111
110023n
+++⋯+< 的最大正整数n 的值， 故退出循环的条件应为100S ，
由于满足111
110023n
+++⋯+后，（此时i 值比程序要求的i 值多1），又执行了一次1i i =+，
故输出的应为2i -的值． 故选：D ．
9.若实数x ，y 满足221x y +=，则x y +的最大值是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】由题得22x y +≥=(当且仅当x=y=-1时取等)
所以2112,224
x y x y +-+≥∴≥∴≥，
所以x+y≤-2.
所以x+y 的最大值为-2. 故选：B
10.如图，在正方形ABCD 中分别以A ，B 为圆心、正方形的边长为半径画BD 弧，AC 弧，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A.
6π
-
B.
3
2π
-
C. 12
π
D.
6
π
【答案】A
【解析】如图所示，设正方形的边长为1，
因为AB =AE =BE =1,所以∠ABE =
3
π, 所以弓形AFE
的面积为
2211166ππ⋅⋅-=. 所以阴影部分ADFE
的面积为
211(12612ππ
π⋅⋅--=-，
所以所有阴影部分的面积为2
)41226
ππ
-=-（.
由几何概型的概率公式得此点取自阴影部分的概率是2616
π
π-.
故选：A
11.已知2ln3a =，3ln 2b =，6
c e
=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >>
【答案】C
【解析】由题得ln 9,ln8a b ==， ∴a b >． 又622ln 23ln 23(ln 2)=3e c a e e e
--=
-=-⋅， 由于22ln 2ln ln 2e e e -=-，
如图在坐标系中画出函数2y x =和函数2x
y =的图象，
可得在区间(2,4)内函数2y x =的图象总在函数2x
y =图象的上方，
∵(2,4)e ∈， ∴22e e >， ∴2ln ln 2e e >，
∴22ln 2ln ln 20e e e -=->， ∴0c a ->，因此c a >， ∴c a b >>． 故选C ．
12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||
2πωϕ⎛⎫
> ⎪⎝
⎭，4
x π=-为()f x 的零点，4x π
=为()y f x =图象的对称轴，且1117,3636x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭
，|()|1f x <，则ω的最大值为（ ） A. 5 B. 4
C. 3
D. 2
【答案】C 【解析】因为4
x π
=-
为()f x 的零点，
所以111,(),14
x k k Z k π
ωϕπωϕπ+=∈∴-+=，（）,
因为4
x π
=
为()y f x =图象的对称轴，
所以222+
,(),+2242
x k k Z k πππ
ωϕπωϕπ+=∈∴+=，（）
（1）+（2）得1
212)2=),224
k k k k πππ
ϕπϕ+++∴=+（（， 因为||=2
4
π
π
ϕϕ≤∴±
，.
(2)-(1)得
2121=),2)121()2
2
k k k k n n Z π
π
ωπω-+∴=-+=+∈（（,
当=5ω时，如果()sin(5)4f x x π
=+
，
令11
5,,42520
x k k Z x k πππππ+=+∈∴=+
， 当k =2时，x =91117203636
πππ∈（，）,与已知不符.
如果()sin(5)4
f x x π
=-，
令13
5,,42520
x k k Z x k ππ
πππ-
=+
∈∴=+，
当k =1时，x =
71117
203636
πππ∈（，）,与已知不符. 如果=3ω，如果()sin(3)4
f x x π
=+，
令11
3,,42312
x k k Z x k πππππ+=+∈∴=+，
当k =1时，x =
51117
123636
πππ∈（，）,与已知不符. 如果()sin(3-)4
f x x π
=，
令111117
3-
,,4
2343636
x k k Z x k π
π
πππππ=+
∈∴=+∉（，），与已知相符. 故选：C 二、填空题.
13.设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且//a b ，则x =________. 【答案】1
【解析】由题得2x -(x +1)=0, 所以x =1. 故答案为：1
14.若实数x ，y 满足约束条件33,
1,0,x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
，则z x y =+的取值范围是________.
【答案】[2,)+∞
【解析】由x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
作出可行域如图，
化目标函数z x y =+为y x z =-+，
由图可知，当直线y x z =-+过点A 时直线在y 轴上的截距最小，
由331x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得3(2A ，1)2，
z 有最小值为2．
故答案为：[2，)+∞
15.已知ABC △中，5AB =，7AC =，23
ABC π
∠=
，则该三角形的面积是________.
【解析】由题得2
1492525(),32
a a a =+-⋅⋅⋅-∴=
所以三角形的面积为
1235sin 23π⋅⋅⋅
故答案为：
4
16.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的右顶点为A ，以A 为圆心，
b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若||MN b =，则C 的离心率为________.
【答案】
3
【解析】由题得双曲线的渐近线方程为0.bx ay -= 由题得△AMN 是等边三角形，边长为b. 所以点A
,ab c e c a ==∴==
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （I ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .
解：（I ）设{}n a 的公比为q ，由题意(
)12
1(1)216a q a q q +=⎧⎪
⎨++=-⎪⎩， 解得2q =-，12a =-，故(2)n
n a =-.
（Ⅱ）(2)n
n n b na n ==-，
123(2)2(2)3(2)(2)n n T n =-+⋅-+⋅-++-，
23412(2)2(2)3(2)(2)n n T n +-=-+⋅-+⋅-+
+-，
两式相减得123
13(2)(2)(2)(2)(2)n n n T n +=-+-+-+
+---，
121(2)3(2)1(2)
n n n T n +⎡⎤---⎣⎦
=
----，
1(31)(2)2
99
n n n T ++-=--.
18.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，D 在平面ABEF 上的射影为
EF 的中点ADF
的正三角形，直线AD 与平面ABEF 所成角为4
π
.
（I ）求证：EF AD ⊥；
（Ⅱ）若22EF CD AB ==，且//AB EF ，求该五面体的体积.
（I ）证明：记EF 的中点为O ，连接OD ，OA ，
由D 在平面ABEF 上的射影为EF 中点，得OD ⊥平面ABEF ，
∴OD OF ⊥，OD OA ⊥，又DF DA =，OD OD =，
∴ODF ODA ≅，∴OF OA =.
由直线AD 与平面ABEF 所成角为4
π，易得OAD 4π∠=，
又由DF DA ==
OD OA OF 1===
，又AF =
得OF OA ⊥. 由OF OD ⊥，OF OA ⊥，OD OA O ⋂=，
得EF ⊥平面OAD ，AD ⊂平面OAD ，
∴EF AD ⊥.
（Ⅱ）解：由（I ），EF ⊥平面OAD ，
∵AB//EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ，
∴AB//平面EFDC ，平面ABCD ⋂平面EFDC CD =，
∴AB//CD ，CD //OE ，由题意OF OE CD AB 1====，
∴棱柱OAD EBC -为直棱柱. ∵111111326F OAD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 1111122OAD EBC V -⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
， ∴该五面体的体积为：112623
F OAD OAD EBC V V --+=+=. 19.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值65x =，标准差 2.2s =，以频率值作为概率的估计值.
（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行判定（P 表示相应事件的概率）：①()0.6826P x s X x s -<+；②(22)0.9544P x s X x s -<+；③(33)0.9974P x s X x s -<+.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁.试判断设备M 的性能等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在(2,2)E x s x s -+之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件认定为“突变品”.从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率.
解：（I ）62.867.2x s x s -=+=，260.6x s -=，269.4x s +=，358.4x s -=，371.6x s +=，由图表知，80()0.800.6826100P x s X x s -<≤+=
=>， 94(22)0.940.9544100
P x s X x s -<≤+=
=<，98(33)0.980.9974100P x s X x s -<≤+==<， 所以该设备M 的级别为丙级. （Ⅱ）样品中直径尺寸在(2,2)x s x s -+之外的零件共6件，直径尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件共2件，分别记为A ，B ，C ，D ，a ，b ，其中a ，b 为直径尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，从样本的“次品”中随意抽取两件，所有情况共15种：
{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,}a ，{A,}b ，{B,C}，{B,D}，{B,}a ，{B,}b ， {C,D}，{C,}a ，{C,}b ，{D,}a ，{D,}b ，{},a b ，
至少有一件“突变品”的所有情况共9种：
{A,}a ，{A,}b ，{B,}a ，{B,}b ，{C,}a ，{C,}b ，{D,}a ，{D,}b ，{},a b ， 记从样本的“次品”中随意抽取两件，至少有一件“突变品”为事件Y ， 则93()155
P Y ==. 20.已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>
边三角形.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过C 的右焦点F 作斜率为k 的直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线:4l x =与x 轴交于点E ，M 为线段EF 的中点，过点B 作直线BN l ⊥于点N .证明：A ，M ，N 三点共线.
解：（I ）记椭圆C 的焦距为2c
，则2222,122
,
a c c
b a b
c =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩
解得2a =
，b =1225.∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=. （Ⅱ）(1,0)F ，设直线5()25f x -≤-≤的方程为(1)=-y k x ，
代入椭圆方程，得()
22223484120k x k x k +-+-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 易知5,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()24,N y ，1152
AM y k x =-，223MN y k =，
()()2112115523213122y x y k x x k x ⎛⎫⎛⎫--=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()2212122282440258803434k k k x x x x k k k ⎛⎫-=-++=-+=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
, ∴AM MN k k =，∴A ，M ，N 三点共线.
21.已知函数()x f x e a =-，()(1)g x a x =-，（常数a R ∈且0a ≠）.
（Ⅰ）当()g x 与()f x 的图象相切时，求a 的值；
（Ⅱ）设()()()h x f x g x =⋅，若()h x 存在极值，求a 的取值范围.
解：（Ⅰ）设切点为()
00,x A x e a -，()x f x e '=， 所以过A 点的切线方程为()000x x y e a e x x -+=-，即0000x x x y e x x e e a =-+-，
所以0000x x x e a e x e a a
⎧=⎪⎨--=-⎪⎩，解得a e =. （Ⅱ）依题意，()()(1)x h x a x e a =--，()
()x h x a xe a '=-，
当a ＞0时，令()x x xe a ϕ=-，则()(1)x x x e ϕ'=+， 令()0x ϕ'>，1x >-，令()0x ϕ'<，1x <-，
所以，当(-1)x ∈-∞，
时，()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，()x ϕ单调递增 若()h x 存在极值，则min 1()(1)0x a e ϕϕ=-=--<，即(0,)a ∈+∞，
又(0,)a ∈+∞时，()
()10a a a e ϕ=->，
所以，(0,)a ∈+∞时， ()x ϕ在(1,)-+∞存在零点1x ，且在1x 左侧()0x ϕ<，在1x 右侧()0x ϕ>，
即()h x '存在变号零点.
当a ＜0时，当(-1)x ∈-∞，时，()x ϕ单调递增；当(1,)x ∈-+∞时，()x ϕ单调递减. 若()h x 存在极值，则max 1()(1)0x a e ϕϕ=-=-->，即1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
， .
又1
,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()
()10a a a e ϕ=->， 所以，1
,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时， ()x ϕ在(1,)-+∞存在零点2x ，且在2x 左侧()0x ϕ>，在2x 右侧()0x ϕ<，
即()h x '存在变号零点.
所以，若()h x 存在极值，1,0(0,)a e ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭
.
22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），在以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=（a R ∈且0a ≠）.
（I ）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知()1,A ρθ是直线l 上的一点，
2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
是曲线C 上的一点， 1R ρ∈，2R ρ∈，若||||OB OA 的最大值为2，求a 的值. 解：（I ）消去参数t ，得直线l
10y -+=，
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，
得直线l
的极坐标方程为sin )10ρθθ-+=，即1sin 32
πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭. 曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=（a R ∈且0a ≠），即sin a ρθ=，
由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为220x y ay +-=.
（Ⅱ）∵()1,A ρθ在直线l 上，2,6B πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
在曲线C 上，
∴11sin 32πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，2sin 6a πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， ∴21||2sin sin ||63OB a OA ρππθθρ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 2sin cos sin 2||663a a a πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ∴2a =，2a =±.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1|f x x =-.
（I ）求函数()(1)y f x f x =-+的最大值；
（Ⅱ）若()
2(|2|3)(2)1f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()(1)y f x f x =-+可化为|1|||y x x =--， 由|1||||(1)|1x x x x --≤--=， 10x x -<≤即0x ≤时“=”成立，
所以原函数取得最大值为1.
（Ⅱ）函数()|1|f x x =-在[1,)+∞上单调递增，
∵|2|31a -+>，2(2)11a -+≥，()
2(|2|3)(2)1f a f a -+>-+， ∴2|2|3(2)1a a -+>-+，
即(|2|1)(|2|2)0a a -+--<，
所以|2|2a -<， ∴01260.3U U V V R I A
--==. 即实数a 的取值范围是(0,4).。