山西省太原市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

山西省太原市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一元二次方程()20x x -=的根为（ ）
A ．0x =
B ．2x =
C ．10x =，22x =
D ．10x =，22x =-
2．如图，直线a ∥b ∥c ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线c 上，线段AC ，BD 分别交直线b 于点E ，F ，则下列线段的比与AE AC
一定相等的是（ ）
A ．CE AC
B ．BF BD
C ．BF F
D D ．AB CD 3．中国人民银行于2021年9月10日起陆续发行中华人民共和国成立70周年纪念币一套.该套纪念币共7枚，均为中华人民共和国法定货币.任意掷两枚质量均匀的纪念币，恰好都是国徽一面朝上的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．34
. 4．已知四边形ABCD 中，AB BC CD DA ===，对角线AC ，BD 相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D = C ．90ABC ∠=︒
D ．ABC BAC ∠=∠ 5．根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm ，高192cm ，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6．若一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）
A ．2
B ．2±
C ．8±
D ．± 7．如图，矩形ABCD 中，连接AC ，延长BC 至点
E ，使BE AC =，连接DE ，若40BAC ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
8．目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x ，则根据题意可得方程（ ）
A ．10000(12)10926x +=
B ．210000(1)10926x +=
C ．210000(12)10926x +=
D ．10000(1)(12)10926x x ++= 9．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A ．16
B ．18
C ．112
D ．116
10．如图，点E ，F 分别是正方形ABCD 内部、外部的点，四边形ADFE 与四边形BCFE 均为菱形，连接AF ，BF ，有如下四个结论：①EF AB =；②120AEF ∠=︒；③EF
垂直平分DC ；④12
ABF ADFE S S =菱形△；其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①③
二、填空题
11．已知1(0)2019
a c
b d b d ==+≠，则a
c b
d ++的值为______. 12．对某品牌的一批酸奶进行质量检验，检验员随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验有198瓶合格若在这批酸奶中任取一瓶，恰好取到合格品的概率约为_____.
13．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2(2)x n +=，则n 的值为______.
14．如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上，若正方形EFGH
与正方形ABCD AE BE （AE BE <）的值为_____.
15．已知菱形纸片ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点将该纸片折叠，使点B 与点E 重合，折痕交AD ，BC 边于点M ，N ，连接ME ，NE.请从下面A ，B 两题中任选一题作答，我选择A ．如图1，若60A ∠=︒，则ME 的长为______；B ．如图2，若90A ∠=︒，则ME 的长为_____.
三、解答题
16．解下列方程：
（1）24410x x +-=； （2）(21)2(21)x x x -=-
17．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章.在2021年获得“共和国勋章”
的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士.如图是四位院士（依次记为A，B，C，D）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A，B，C，D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学根据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率.
A．B．C．D．
，延长CD到点E，使DE=CD，18．如图，已知菱形ABCD，延长AD到点F，使DF AD
顺次连接点A，C，F，E，A．求证：四边形ACFE是矩形.
19．方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD 与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
20．为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，区推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打.
（1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？
（2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作组织“丰收节”采摘活动收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元；如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元求参加此次“丰收节”采摘的人数.
21．阅读下列材料，完成相应的任务：
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点、……怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段MN ，用尺规在MN 上求作点P ，使
13
PM MN =.
小颖的作法是：
①作射线MK （点K 不在直线MN 上）；
②在射线MK 上依次截取线段MA ，AB ，使2AB MA =，连接BN ；
③作射线AC BN ∥，交MN 于点P 点P 即为所求作的点.
小颖作法的理由如下：
∵AC BN ∥（作法），∴AM PM AB PN
= ∵2AB MA =（已知），12
AM PM AB PN ==（等量代换） ∵PM PN MN =＋（线段和差定义），∴13PM MN =
（等量代换，等式性质） 数学思考：（1）小颖作法理由中所缺的依据是：________________________________. 拓展应用：（2）如图，已知线段a ，b ，c ，求作线段d ，使::a b c d =
a. b. c.
22．如图，已知菱形ABCD 中，5AB =，点E 是BC 边上的一点（不与B ，C 重合），以BE 为边构造菱形BEFG ，使点G 落在AB 的延长线上，连接BD ，GE ，射线FE 交BD 于点H.
（1）求证：四边形BGEH 是平行四边形；
（2）请从下面AB 两题中任选一题作答，我选择______题.
A ．若四边形BGEH 为菱形，则BD 的长为_____.
B ．连接H
C ，CF ，BF ，若6B
D =，且四边形BHCF 为矩形，则CF 的长为______. 23．综合与实践探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是直线AC 上的一个动点（点E 与点C ，O ，A 都不重合），过点A ，C 分别作直线BE 的垂线，垂足分别为F ，G ，连接OF ，OG.
（1）初步探究：
如图1，已知四边形ABCD 是正方形，且点E 在线段OC 上，求证AF BG =； （2）深入思考：请从下面A ，B 两题中任选一题作答，我选择_______题.
A ．探究图1中OF 与OG 的数量关系并说明理由；
B ．如图2，已知四边形ABCD 为菱形，且点E 在A
C 的延长线上，其余条件不变，探究OF 与OG 的数量关系并说明理由；
（3）拓展延伸：请从下面AB 两题中任选一题作答，我选择_______题.
如图3，已知四边形ABCD 为矩形，且4AB =，60BAC ∠=︒.
A ．点E 在直线AC 上运动的过程中，若BF BG =，则FG 的长为________.
B ．点E 在直线A
C 上运动的过程中，若OF BC ∥，则FG 的长为________.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据因式分解法解方程，即可得到答案.
【详解】
解：∵()20x x -=，
∴0,20x x =-=，
∴0x =或2x =；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题的关键.
2．B
【分析】 根据平行线分线段成比例，即可得到
C
BF BD AE A =. 【详解】
解：∵a ∥b ∥c ， ∴
C
BF FD AE E =， ∴C BF BD AE A =； 故选择：B.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
3．C
【分析】
根据等可能事件的可能性，计算概率即可得到答案.
【详解】
解：掷一枚质量均匀的纪念币，恰好是国徽一面朝上的概率是1
2
，
∴掷两枚质量均匀的纪念币，恰好都是国徽一面朝上的概率是：111 224⨯=；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了等可能事件的概率，解题的关键是熟练掌握求概率的方法. 4．A
【分析】
根据菱形的判定和性质，即可得到答案.
【详解】
解：在四边形ABCD中，AB BC CD DA
===，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC BD
⊥；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质. 5．B
【分析】
根据相似矩形的性质，对应边之比相等即可得到答案.
【详解】
解：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则
A、2401605
2881926
==，故A符合标准；
B、16051205
,
28891928
==，故B不符合标准；
C、144961
2881922
==，故C符合标准；
D、96641
2881923
==，故D符合标准；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了相似图形的性质，解题的关键是熟练掌握相似图形对应边的比相等.
6．D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式0∆=，即可得到答案
【详解】
解：∵一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，
∴24120m ∆=-⨯⨯=，
解得：m =±
故选择：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值. 7．A
【分析】
连接BD ，与AC 相交于点O ，则BD=AC=BE ，得△BDE 是等腰三角形，由OB=OC ，得∠OBC=50°，即可求出∠E 的度数.
【详解】
解：如图，连接BD ，与AC 相交于点O ，
∴BD=AC=BE ，OB=OC ，
∴△BDE 是等腰三角形，∠OBC=∠OCB ，
∵40BAC ∠=︒，∠ABC=90°，
∴∠OBC=904050︒-︒=︒，
∴
11
(18050)13065 22
E
∠=⨯︒-︒=⨯︒=︒；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.
8．B
【分析】
根据题意，找出等量关系列出方程，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，设此款理财产品每期的平均收益率为x，则
2
10000(1)10926
x
+=；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是找到等量关系，列出方程. 9．C
【分析】
根据题意，由列表法得到投放的所有结果，然后正确的只有1种，即可求出概率.
【详解】
解：由列表法，得：
∴共有12种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果为1种，
∴投放正确的概率为：
1
12 P=；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是正确求出所有等可能的结果数. 10．D
【分析】
根据菱形和正方形的性质，即可得到EF AD AB ==；由△DCF 是等边三角形，得到
∠FDC=60°，则150AEF ADF ∠=∠=︒；由△CDF 是等边三角形，AD ⊥CD ，AD ∥EF ，即可得到EF 垂直平分DC ；延长FE ，交AB 于点G ，则12
ABF S AB FG =•△，12
ADFE S EF AG AB EF =•=
•菱形，由2FG EF ≠，即可判断. 【详解】 解：根据题意，在正方形ABCD ，菱形ADFE ，菱形BCFE 中，
∴EF AD AB ==，故①正确；
∵AE BE AB ==，
∴△ABE 是等边三角形，△DCF 是等边三角形，
∴∠AEB=60°，∠FDC=60°
∴∠ADF=90°+60°=150°，
∴150AEF ADF ∠=∠=︒，故②错误；
∵AD ⊥CD ，AD ∥EF ，
∴EF ⊥CD ，
∵△DCF 是等边三角形，
∴EF 垂直平分DC ；故③正确；
延长FE ，交AB 于点G ，
∵EF ⊥CD ，AB ∥CD ，
∴EF ⊥AB ，
∴12ABF S AB FG =•△，12
ADFE S EF AG AB EF =•=•菱形， ∵2FG EF ≠， ∴12
ABF ADFE S S ≠菱形△，故④错误； ∴正确的结论有：①③.
故选择：D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质.
11．12019
【分析】 由等比性质，
(0)a c a c b d b d b d +==+≠+，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，∵a c b d
=， ∴a c a c b d b d
+==+， ∴
12019
a c
b d +=+； 故答案为：12019. 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是熟练掌握等比性质.
12．99100
【分析】
根据求概率的公式，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验有198瓶合格，
∴198********
P =
=； 故答案为：99100. 【点睛】
本题考查了求简单事件的概率，解题的关键是熟记求概率公式.
13．7
【分析】
根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.
【详解】
解：∵2430x x +-=，
∴243x x +=，
∴2447x x ++=，
∴2(2)7x +=，
∴7n =；
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.
14．12
【分析】
根据题意，由AAS 证明△AEH ≌△BFE ，则BE=AH ，根据相似比为EH AB =令，AB=3k ，设AE=a ，AH=3k a -，在直角三角形AEH 中，利用勾股定理，即可求出a 的值，即可得到答案.
【详解】
解：在正方形EFGH 与正方形ABCD 中，
∠A=∠B=90°，EF=EH ，∠FEH=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠AHE=∠BEF ，
∴△AEH ≌△BFE （AAS ），
∴BE=AH ，
∵3
EH AB =，
令，AB=3k ，
在直角三角形AEH 中，设AE=a ，AH=AB-AE=3k a -，
由勾股定理，得222AE AH EH +=，
即222(3))a k a +-=，
解得：a k =或2a k =，
∵AE BE <，
∴AE k =，
∴2BE k =， ∴122
AE k BE k ==； 故答案为：
12
. 【点睛】 本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE 和BE 的长度.
15．A. 【分析】
（1）连接BD ，BE ，则△BCD 是等边三角形，则BE ⊥CD ，由BE ⊥MN ，得到MN ∥CD ，则∠BNM=∠NCE=∠ENM=60°，得到△CNE 是等边三角形，则CN=CE=2，得到N 为BC 中点，M 为AD 中点，连接AO ，则ME=
12
AC CO =，由OD=2，CD=4，利用勾股定理求出CO ，即可得到答案；
（2）连接BM ，由折叠性质，得到BM=EM ，在Rt △ABM 中，222AM AB BM +=，在Rt △EDM 中，222MD DE EM +=，设AM x =，则4DM x =-，根据等量关系，即可求出x ，然后求出ME 的长度.
【详解】
解（1）如图，连接BD，BE，AC，
在菱形ABCD中，∠NCE=∠BAD=60°，BC=CD，∴△BCD是等边三角形，
∵点E是CD中点，
∴BE⊥CD，
由折叠的性质，得到BE⊥MN，
∴MN∥CD，
∴∠BNM=∠NCE=∠ENM=60°，
∴∠ENC=∠NCE=∠NEC=60°，
∴△CNE是等边三角形，
∴CN=CE=2，
∴点N是BC的中点，
∴点M是AD的中点，
∴ME=1
2
AC CO
=，
∵在Rt△ODC中，
11
42
22
OD BD
==⨯=，CD=4，
由勾股定理，得CO=，
∴ME=
故答案为：
（2）如图，连接BM，
由折叠的性质，得BM=EM ，
∵∠A=90°，则四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=∠A=90°，AB=AD=4，
在Rt △ABM 和Rt △EDM 中，由勾股定理，得：
222AM AB BM +=， 222MD DE EM +=，
设AM x =，则4DM x =-，
∴22224(4)2x x +=-+， 解得：12
x =， ∴AM=12
，
∴BM =
==，
∴ME =
. 【点睛】 本题考查了四边形折叠问题，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，得到边的关系和角的关系.本题难度较大，是中考常考题.
16．（1）112x -=，212
x -=；（2）112x =，22x = 【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；
（2）先移项整理，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案.
【详解】
（1）解：这里4a =，4b =，1c =- ，
∴2
444(1)1616320∆=-⨯⨯-=+=> ，
∴x == ，
∴1x =2x =； （2）解：(21)2(21)0x x x ---=，
∴(21)(2)0x x --=，
∴210x -=或20x -=， ∴112
x =，22x =. 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，灵活运用公式法，因式分解法解方程是解题的关键. 17．1P 4
=
(抽到同一位院士). 【分析】
根据题意先列出表格，得出共有16种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．
【详解】
解：所有可能的结果如下：
由表格可知，一共有16种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中小明和小华抽到同一
位院士的结果有4种， ∴41P 164=
=(抽到同一位院士). 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率.
18．见解析.
【分析】
由对角线互相平分的四边形为平行四边形，得ACEF 为平行四边形，再由ABCD 为菱形，得到AD=CD ，进而得到AE=CF ，利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证.
【详解】
解：∵DF AD =，DE CD = ，
∴四边形ACFE 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD CD =，
∴DF AD DE CD ===，
∴DF AD DE CD +=+，
即AF CE =，
∴ACFE □是矩形.
【点睛】
此题考查了矩形的判定，以及菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解本题的关键．
19．（1）相似，相似比为
12
；（2）如图，四边形MNPQ 即为所求，见解析. 【分析】
（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；
（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
【详解】
解：（1）相似；
根据题意，四边形ABCD 中，AB =
BC=1，CD=2，四边形EFGH 中，EF =
FG=2，GH=4，EH=
∴AB BC CD AD
EF FG GH EH ===1224===， ∴四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，相似比为：12
.
（2，则四边形MNPQ 的各边为：
MN=2，，PQ=，
如图，四边形MNPQ 即为所求.
.
【点睛】
本题考查了相似四边形的性质，以及画相似图形，解题的关键是掌握相似四边形的对应边的比相等.
20．（1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名；（2）参加此次“丰收节”采摘的人数为30人.
【分析】
（1）设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x 名根据题意，找等量关系列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设参加此次“丰收节”采摘的人数为y 人，根据题意，先确定y>20，然后列出方程，解方程求出y 的值即可.
【详解】
解：（1）设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x 名， 根据题意，得：1(1)282
x x -=.
解得：18x =，27x =-（不符合题意，舍去）；
∴参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名.
（2）设参加此次“丰收节”采摘的人数为y 人，
∵2002040004500⨯=<，
∴20y > ；
根据题意，得[2005(20)]4500y y --=.
解得：1230y y ==.
∴参加此次“丰收节”采摘的人数为30人.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目的等量关系，列出方程. 21．（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）答案不唯一，如图，线段DE 即为所求作的线段，见解析.
【分析】
（1）根据平行线分线段成比例，即可得到答案；
（2）作两条射线，在一条射线上截取AB=a ，BC=b ，在另一条射线上截取AD=c ，连接BD ，
过点C 作CE ∥BD ，交点为E ，则DE=d 为所求线段.
【详解】
解：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）答案不唯一；
如图，线段DE 即为所求作的线段
【点睛】
本题考查的是作图——基本作图，熟知平行线分线段成比例的作法是解答此题的关键． 22．（1）见解析；（2）A.5 ，B.3.
【分析】
（1）由菱形的性质，得到()11802BGE BEG EBG ︒∠=∠=-∠，()11802
ABD A ︒∠=-∠，则得到ABD BGE ∠=∠，得到BD ∥EG ，又BG ∥HE ，即可得到结论成立；
（2）A 、由四边形BEFG 是菱形，则BG=BE ，由四边形BGEH 为菱形，则BG=BH=EH ，得△BEH 是等边三角形，则∠CDH=∠EHB=60°，得到△BCD 是等边三角形，则BD=CD=5； B 、如图，连接HC ，CF ，BF ，且四边形BHCF 为矩形，则CH ⊥BD ，点H 为对角线AC 与BD 的交点，此时CF=BH=
12BD ，即可得到答案. 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD BC ∥，AB AD =，
∴A EBG ∠=∠，ABD ADB ∠=∠， ∴()11802
ABD A ︒∠=-∠， ∵四边形BEFG 是菱形，
∴BG BE =，BG EF ∥， ∴()11802
BGE BEG EBG ︒∠=∠=-∠， ∴ABD BGE ∠=∠，
∴BD ∥EG ，
∵BG EF ∥，
∴BG HE ∥，
∴四边形BGEH 是平行四边形；
（2）A 、解：∵四边形BEFG 是菱形，
∴BG=BE ，
∵四边形BGEH 为菱形，
∴BG=BH=EH ，
∴BH=EH=BE ，
∴△BEH 是等边三角形，
∠BHE=60°，
∵HE ∥DC ，
∴∠BDC=60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴BD=DC=AB=5；
故答案为：5.
B 、解：如图，连接H
C ，CF ，BF ，
∵四边形BFCH 是矩形，
∴CH ⊥BD ，CF=BH ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴点H 是BD 的中点，
∴BH=116322
BD =⨯=， ∴CF=3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定，以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学特殊四边形的判定和性质，正确作出辅助线进行解题.
23．（1）见解析；（2）A. OF OG =，理由见解析；B. OF OG =. 理由见解析；（3）A.
B.或
【分析】
（1）根据题意，AF ⊥BE ，CG ⊥BE ，90ABF CBG ∠+∠=︒，90ABF BAF ∠+∠=︒，则BAF CBG ∠=∠，利用AAS 证明ABF BCG ≌△△，即可得到答案；
（2）A ．由（1）知AB BC =，AF BG =，然后得到OB=OA ，由OBE EAF ∠=∠，得到OAF OBG ≌△△，即可得到OF=OG ；
B ．延长GO 交FA 的延长线于点H ，找到条件，证明OAH OCG ≌△△，
然后得到OH=OG=OF ； （3）A ．根据矩形的性质，得到△ABO 是等边三角形，然后得到∠ABF=30°，则
122
AF AB ==，由勾股定理，求出BF 和BG 的长度，即可得到FG. B ．根据题意，由OF BC ∥，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到△AFB 和△BCG 是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出BF 和BG 的长度，然后求出FG 的长度即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC =，90ABC ∠=︒，
∴90ABF CBG ∠+∠=︒，
∵AF BE ⊥，CG BE ⊥，
∴90AFB BGC ∠=∠=︒，
∴90ABF BAF ∠+∠=︒，
∴BAF CBG ∠=∠，
∴ABF BCG ≌△△，
∴AF BG =；
（2）A.解：OF OG = ；
理由如下：如图1，连接OB ，
由（1）知90ABC ∠=︒，AB BC =，AF BG =，
∵点O 是AC 的中点， ∴12
OB AC OA ==，BO AC ⊥， ∴90BOC ∠=°，
∴90OBE OEB ∠∠=︒＋，
∵90AFE ∠=︒，
∴90EAF AEF ∠∠=︒＋，
∴OBE EAF ∠=∠，
∴OAF OBG ≌△△，
∴OF OG =；
B.解：OF OG =.
理由如下：延长GO 交FA 的延长线于点H ，
∵AF BE ⊥，CG BE ⊥，
∴90AFE CGE ∠=∠=︒，
∴FH CG ∥，
∴OAH OCG ∠=∠，OHA OGC ∠=∠，
∵点O 是AC 的中点，
∴OA OC =，
∴OAH OCG ≌△△，
∴OH OG =， ∴12
OG GH =， ∵90HFG ∠=︒， ∴12
OF GH =， ∴OF OG = ；
（3）A 、解：如图：连接OB ，
在直角三角形ABC 中，OA=OB=OC ，
∵∠BAC=60°，
∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，
∵BF=BG，
∴点B是FG的中点，
∴OB∥AF，
∴∠BAF=60°，
∵∠AFB=90°，
∴∠ABF=30°，
∴
11
42
22
AF AB
==⨯=，
∴BF==
∴BG=
∴FG==；
故答案为：
B．解：①如图，OF∥BC，则OF⊥AB，
∵点O为AC中点，
∴点H为AB的中点，即AH=BH，
∴△ABF是等腰三角形，则AF=BF，
∵∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠ABF=45°，
∴sin 454BF AB =•︒==
同理：△BCG 是等腰直角三角形，tan 60BC AB =•︒=
∴sin 45BG BC =•︒==
∴FG BF BG =+=；
②如图，OF ∥BC ，延长OF 交AB 于点I ，
由①可知，△ABF 是等腰直角三角形，BF =
△BCG 是等腰直角三角形，BG =，
∴FG BG BF =-=
综合上述，FG 的长度为：或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形，构造等边三角形进行解决问题.本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通.。