高考数学(四海八荒易错集)专题16圆锥曲线的综合问题文

专题16 圆锥曲线的综合问题
1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.
33 B.23 C.2
2
D ．1 答案 C 解析 如图，
2．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2
＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则
|AB ||CD |的值为________． 答案
116
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
3x －4y ＋4＝0，
x 2
＝4y
得x 2
－3x －4＝0，
∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝1
4
，y D ＝4.
直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)， ∴|AF |＝y A ＋1＝5
4，|DF |＝yD ＋1＝5，
∴
|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝1
16
. 3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在
椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；
(2)在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)， 所以a 2
－b 2
＝4.①
因为点B (2，2)在椭圆C 上， 所以4a 2＋2
b
2＝1.②
由①②解得，a ＝22，b ＝2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4＝1.
(2)方法一 因为椭圆C 的左顶点为A ， 则点A 的坐标为(－22，0)．
因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 2
4
＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－
y 0)．
假设在x 轴上存在点P (t,0)，使得∠MPN 为直角，则MP →·NP →
＝0. 即t 2
＋－22k 1＋1＋2k 2×－22k 1－1＋2k
2
＝0，
即t 2
－4＝0，解得t ＝2或t ＝－2.
故存在点P (2,0)或P (－2,0)，无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角． 方法二 因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－22，0)．
因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 2
4＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)，则点F (－x 0，－y 0)．
所以直线AE 的方程为y ＝
y 0
x 0＋22
(x ＋22)．
因为直线AE 与y 轴交于点M ， 令x ＝0得y ＝
22y 0
x 0＋22
，
即点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，
22y 0x 0＋22.
同理可得点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，
22y 0x 0－22.
假设在x 轴上存在点P (t,0)，使得∠MPN 为直角，则MP →·NP →
＝0.
故存在点P (2,0)或P (－2,0)，无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角．
4．设圆x 2
＋y 2
＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围． 解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，
故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.
又圆A 的标准方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.
由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 2
3＝1(y ≠0)．
(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －，
x 24＋y
23
＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2
－12＝0.
则x 1＋x 2＝8k 2
4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2
－124k 2＋3，
所以|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝
k 2＋
4k 2
＋3
.
当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．
5.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23
＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2
＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2
－3＝a
2，
所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.
于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
3＝1，
抛物线C 2的方程为y 2
＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN |
|MQ |
＝2，
则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝k x －
，
可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0，
则x 1＋x 4＝2k 2
＋4
k
2，x 1x 4＝1，
所以|PN |＝1＋k 2
·
x 1＋x 4
2
－4x 1x 4＝
＋k
2
k 2
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝1，y ＝k x －，
可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2
－12＝0，
则x 2＋x 3＝8k 2
3＋4k 2，x 2x 3＝4k 2
－123＋4k
2，
易错起源1、范围、最值问题
例1、如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且
PQ ⊥PF 1.
(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜4
3，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
解 (1)由椭圆的定义，
2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝
＋2
2
＋－2
2
＝23，
即c ＝3，从而b ＝a 2
－c 2
＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 2
4＋y 2
＝1. (2)如图，
由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2
＋|PQ |2
＝1＋λ2
|PF 1|.
由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2
)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a
1＋λ＋1＋λ2
， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a
λ＋1＋λ2
－1＋λ＋1＋λ
2
.
由勾股定理得
|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝(2c )2
＝4c 2
，
进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53
.
【变式探究】如图，已知椭圆：x 2
4＋y 2
＝1，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线
段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E ，F 两点．
(1)若ED →＝6DF →
，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．
解 (1)依题设得椭圆的顶点A (2,0)，B (0,1)， 则直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0. 设直线EF 的方程为y ＝kx (k >0)．
由点D 在线段AB 上，知x 0＋2kx 0－2＝0， 得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝10
71＋4k 2
，
化简，得24k 2
－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38
.
(2)根据点到直线的距离公式，知点A ，B 到线段EF 的距离分别为h 1＝2k 1＋k
2
，h 2＝
11＋k
2
，
又|EF |＝41＋k
2
1＋4k 2
， 所以四边形AEBF 的面积为
S ＝12
|EF |(h 1＋h 2)＝
＋2k 1＋4k
2
【名师点睛】
解决范围问题的常用方法：
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 【锦囊妙计，战胜自我】
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解． 易错起源2、定点、定值问题
例2、椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2
，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆
C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解 (1)由e ＝c a ＝1
2
，得a ＝2c ，
∵a 2
＝b 2
＋c 2
，∴b 2
＝3c 2
，
则椭圆方程变为x 24c 2＋y 2
3c
2＝1.
又由题意知
＋c
2
＋12＝10，解得c 2
＝1，
故a 2
＝4，b 2
＝3，
即得椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y
2
3
＝1，
得(3＋4k 2
)x 2
＋8mkx ＋4(m 2
－3)＝0.
则⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝64m 2k 2
－
＋4k
2
m 2－
，
x 1
＋x 2
＝－8mk 3＋4k 2，
x 1
·x 2
＝m 2
－
3＋4k
2
.①
又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2
x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2
＝
m 2－4k 2
3＋4k
2
. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0，
∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0， ∴
m 2－4k 23＋4k 2＋m 2－3＋4k 2＋16mk
3＋4k
2＋4＝0，
∴7m 2＋16mk ＋4k 2
＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，
由①，得3＋4k 2
－m 2
>0，②
当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0.
【变式探究】已知抛物线：y 2
＝2px (p >0)的焦点F 在双曲线：x 23－y 2
6
＝1的右准线上，抛物线与直线l ：
y ＝k (x －2)(k >0)交于A ，B 两点，AF ，BF 的延长线与抛物线交于C ，D 两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若△AFB 的面积等于3，求k 的值； (3)记直线CD 的斜率为k CD ，证明：
k CD
k
为定值，并求出该定值． 解 (1)双曲线：x 23－y 2
6＝1的右准线方程为：x ＝1，
所以F (1,0)，则抛物线的方程为：y 2
＝4x . (2)设A (y 214，y 1)，B (y 22
4
，y 2)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，
y ＝k x －得ky 2
－4y －8k ＝0，
Δ＝16＋32k 2
>0，y 1＋y 2＝4k
，y 1y 2＝－8.
S △AFB ＝12×1×|y 1－y 2|＝
12
y 1＋y 2
2
－4y 1y 2
＝2
1
k 2
＋2＝3，解得k ＝2.
(3)设C (y 23
4，y 3)，则FA →＝(y 2
14－1，y 1)，FC →
＝(y 2
34
－1，y 3)，
【名师点睛】
(1)动线过定点问题的两大类型及解法
①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t ＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
(2)求解定值问题的两大途径
①由特例得出一个值此值一般就是定值→
证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关
②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．易错起源3、探索性问题
例3、如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)．
(1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程；
(2)过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)把Q (1,2)代入y 2
＝2px ，得2p ＝4，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知 x 1＋x 2＝2k 2
＋4
k
2，x 1x 2＝1.
又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 2
1－x 2.
因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ， 即
y 1x 1－1＝y 2
x 2－1
＝k .
所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 2
1－x 2
＝
y 1
x 1－1＋y 2x 2－1－x 1＋x 2－x 1x 2－x 1＋x 2＋1
＝2k －
2k 2
＋4
k
2
－1－2k 2
＋4k
2＋1
＝2k ＋2， 即k 1＋k 2＝2k ＋2.
又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.
即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．
【变式探究】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22
，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →
＝
－1.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →
为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
2
＝1，y ＝kx ＋1，
得(2k 2
＋1)x 2
＋4kx －2＝0，
其判别式Δ＝(4k )2
＋8(2k 2
＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－2
2k 2＋1，
从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2
)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1
＝－2λ－k2＋－2λ－
2k2＋1
＝－λ－1
2k＋1
－λ－2.
【名师点睛】
解决探索性问题的注意事项：
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
1．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足( )
A．a2>b2.1
a <
1 b
C．0<a<b．0<b<a 答案 C
2．已知椭圆x 24＋y 2
b
2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|
＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )
A ．1 B. 2 C.3
2 D. 3
答案 D
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2
a
＝3，可求得b 2
＝3，即
b ＝ 3.
3．已知直线AB 与抛物线y 2
＝2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA →·CB →取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )
A ．CM ⊥A
B B ．CM ⊥CB
C ．CM ⊥CA
D ．CM ⊥l
答案 D
解析 如图所示，
CA →
·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →
)
＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14
AB →2
，
当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值，只有当CM ⊥l 时，|CM →
|取得最
小值，故选D.
4．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，
BC ，AC 的中点分别为M ，N ，Q ，且M ，N ，Q 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3.若直线AB ，BC ，AC 的斜率之和为－
1，则1y 1＋1y 2＋1
y 3
的值为( )
A ．－12p
B ．－1p
C.1p
D.12p
答案
B
即⎩⎪⎨⎪⎧
p y 1＝y A －y B x A －x B
＝k AB ，p y 2
＝
y B －y
C x B
－x C
＝k BC
，p y 3
＝y A －y C x A
－x C
＝k AC
，
所以1y 1＋1y 2＋1y 3＝－1p
.
5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →
的最大值
为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8 答案 C
解析 由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，
则y 2
＝3(1－x 20
4)(－2≤x 0≤2)．
OP →
·FP →
＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2
＝x 2
＋x 0＋3(1－x 20
4)＝14
(x 0＋2)2
＋2.
又因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →
取得最大值，最大值为6，故选C.
6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象
限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，记m ＝k 1k 2k 3，则m 的取值范围为________．
答案 (0,22)
∴0<k 3<2，∴0<m ＝k 1k 2k 3<2 2.
7．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →
.若双曲线x 2a
2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨
迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 设P (x ，y )，由题设条件，
得动点P 的轨迹为(x －1) (x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0， 即x 2
＋(y －2)2
＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．
又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即bx ±ay ＝0，
由题意，可得2a
a 2＋b
2
>1，即2a
c
>1， 所以e ＝c
a
<2， 又e >1，故1<e <2.
8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2
＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．
答案 (0,2)
解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝1
2x ，则在点A 处的切线
方
9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值． (1)解 由已知c a ＝
32，1
2
ab ＝1. 又a 2
＝b 2
＋c 2
，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明 由(1)知，A (2,0)，B (0,1)． 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 20
4＋y 2
0＝1.
当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0
x 0－2
(x －2)，
令x ＝0得y M ＝－2y 0
x 0－2.
从而|BM |＝|1－y M |＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1
x 0
x ＋1. 令y ＝0得x N ＝
－x 0
y 0－1
.
∴|AN |·|BM |＝4. 故|AN |·|BM |为定值．
10．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
3
＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左，右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l
与椭圆M 交于C ，D 两点．
(1)求椭圆方程；
(2)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；
(3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． 解 (1)因为F (－1,0)为椭圆的焦点， 所以c ＝1，又b 2
＝3，所以a 2
＝4， 所以椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y ＝x ＋1，
和椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3
＝1，
y ＝x ＋1，
消掉y ，得到7x 2
＋8x －8＝0，
所以Δ＝288>0，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－8
7，
所以|CD |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝247
.
(3)当直线l 无斜率时，直线方程为x ＝－1， 此时D (－1，32)，C (－1，－3
2
)，
△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0.
当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，
和椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3
＝1，
y ＝k x ＋，。