人大附中2019-2020学年上学期高一数学必修一模块试题

高一数学 期中&必修1试题 第1页 共4
人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学 必
修1模块考核试卷
说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共
50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．
Ⅰ卷 （共17题，满分100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 一、选择题（每题5分，共40分）
1．设集合{}|32X x x =∈-<<Z ，{}|13Y y y =∈-≤≤Z ，则X
Y =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}1,0,1-
C ．{}0,1,2
D ．{}1,0,1,2-
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A ．||
x y x
=
与1y =
B ．y =
1y x =-
C ．2
x y x
=与y x =
D ．321
x x
y x +=+与y x =
3．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（ ）
A ．1y x =-+
B ．2
45y x x =-+
C ．y =
D ．1y x
=
4．命题“对任意x ∈R ，都有2
0x ≥”的否定为（ ）
A ．对任意x ∈R ，都有2
0x < B ．不存在x ∈R ，使得2
0x < C ．存在0x ∈R ，使得200x ≥
D ．存在0x ∈R ，使得2
00x <
5．已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则
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1
[()]3
f f =（ ）
A ．13
-
B ．
13 C ．23
- D ．
2
3
6．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“
a b
d c
<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离（y ）与行走时间（x ）之间的函数关系的图
象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）
8．已知集合523M x x ⎧⎫
=∈--⎨⎬⎩⎭
R 为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（ ）
A ．30
B ．31
C ．510
D ．511
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
9．方程组32
2327x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解集用列举法表示为__________．
10．已知函数()2,02,0
x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2
f x x =的解集为__________．
11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费
用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 12．若函数()()2
212f x x a x =+-+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a
的取值范
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围是__________．
13．几位同学在研究函数()1x
f x x
=
+()x ∈R 时给出了下面几个结论： ①函数 的值域为 ；
②若 ，则一定有 ； ③ 在 是增函数；
④若规定 ，且对任意正整数n 都有： ，则
()1n x
f x n x
=
+对任意 恒成立．
上述结论中正确结论的序号为__________．
14．函数()2241f x x x =-+，()2g x x a =+，
若存在121
,[,2]2
x x ∈，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，
请将答案写在答题纸上的相应位置．）
15．设全集是实数集R ，{}2|2730A x x x =-+≤，{}
2|0B x x a =+<. （1）当4a =-时，求A
B 和A B ； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围.
16．已知二次函数()()2
2,f x x bx c b c =++∈R .
（1）已知()0f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤，求实数,b c 的值； （2）已知2
23c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，
且()()12118x x ++=，求实数b 的值；
（3）若()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间
()3,2--，()0,1内，求实数b 的取值范围.
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17．已知函数4
()f x x x
=+
. （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）已知函数()()()
,05,0,0f x x g x x f x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[)5,+∞，求实
数t 的取值范围.（只需写出答案）
Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）
四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：
则方程[()]1g f x x =+的解集为（ ） A ．{}1
B ．{}2
C ．{}1,2
D ．{}1,2,3
19．已知()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，且在(
4,0]-上是增函数，()(3)f a f <，则a
的取值范围是（
） A ．()3,3-
B
．()
(),33,-∞-+∞ C ．()4,3-- D ．()()4,33,4--
20．已知函数2
()25f x x ax =-+在[1,3]x ∈上有零点，则正数．．a 的所有可取的值的集合
为（ ）
A ．7
[,3]3
B ．)+∞
C ．
D ．(
五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
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21．已知函数(
)f x =则函数()f x 的最大值为__________，函数()f x 的
最小值点为__________．
22．关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ． （1）若()1g x x =+，则()f t =__________；
（2）若2,0,()2,0,
x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a ∈R ，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取
值范围是__________．
23．对于区间[]()a b a b <，，若函数()y f x =同时满足：
① ()f x 在[]a b ，上是单调函数；
② 函数()y f x =，[]x a b ∈，的值域是[]a b ，， 则称区间[]a b ，为函数()f x 的“保值”区间.
（1）写出函数2
y x =的一个“保值”区间为__________；
（2）若函数()2(0)f x x m m =+≠存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为__________．
六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答
案写在答题纸上的相应位置．）
24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求()1.2f ，()1.2f -的值；
（2）若函数()()122x x f x x +⎡⎤⎡⎤
=-∈⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
R ，求()f x 的值域； （3）若存在m ∈R 且,m ∉Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数,若函数
()a
f x x x
=+是Ω函数，求a 的取值范围.
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人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习
& 必修1模块考核试卷答案20191108
一卷
一、选择题（每题5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分） 9．
(){}3,7- 10．{}1,1- 11．30 12．()3,0- 13．①②③④ 14．[5,0]-
三、解答题（每题10分，共30分）
15． 解：（1）因为1|
32A x x ⎧
⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，-------------------1‘ 当4a =-时，{}|22B x x =-<<--------------------2‘
所以1|22A
B x x ⎧⎫
=≤<⎨⎬⎩⎭
-------------------------3‘
{}|23A B x x =-<≤----------------------------4‘
（2）1|32A x x x ⎧⎫
=<
>⎨⎬⎩⎭
或ð----------------------5‘ 因为()
A
B B =ð，所以B A ⊆ð------------------6‘
当B =∅即0a ≥时，满足B A ⊆ð-----------------7‘ 当B ≠∅即0a <时，-----------------------------8‘
12≤
，解得1
04
a -≤<-----------------------9‘
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综上，实数a 的取值范围为1,+4⎡⎫
-
∞⎪⎢⎣⎭
---------------10‘ 16． 解：（1）法1：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’
所以，120,
120.
b c b c -+=⎧⎨
++=⎩- -----------------------2’
解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘
法2：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’
由韦达定理，得-112-11b
c +=-⎧⎨⨯=⎩
，--------------2‘
解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘
（2）因为223c b b =++，()220f x x bx c =++=，所以222230x bx b b ++++=
因为1x 、2x 是关于x 的方程222230x bx b b ++++=的两根， 所以22448120b b b ∆=---≥即3
2
b ≤-
-------------------4‘ 所以122
12223
x x b x x b b +=-⎧⎨
=++⎩----------------------------------5‘
因为()()12118x x ++=，所以12127x x x x ++=，所以22237b b b -+++=----------6‘ 所以24b =，所以2b =或2b =-，因为3
2
b ≤-
，所以2b =-----------------------7‘ （3）因为()10f =，所以12c b =----------------------8‘
设()()()2
211g x f x x b x b x b =++=++--，则有
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()()()()
3020
0010g g g g ->⎧⎪
-<⎪⎨
<⎪⎪>⎩-------------------------------------------9‘ 解得
1557b <<，所以b 的取值范围为15,57⎛⎫
⎪⎝⎭
.---------------------------10‘ 17． 解：（1）因为函数4
()f x x x
=+
的定义域为 所以()(),00,x ∈-∞+∞时，()(),00,x -∈-∞+∞，
（或写“函数4
()f x x x
=+
的定义域关于原点对称”） 因为4
()()f x x f x x
-=--
=-， 所以()f x 是奇函数.----------------------------------------------3‘
（2）函数()f x 在区间(0,2]上是减函数；----------------------------------------------4’
证明：任取(]12,0,2x x ∈，且1202x x <<≤-------------------------------------------5’
()()
()()12121212
4x x x x f x f x x x ---=
-----------------------------------------------------6’ 因为1202x x <<≤
所以220x ≥>，120x >>，所以124x x >，所以1240x x -<--------------------7’ 又因120x x -<，120x x >
所以()()()()12121212
40x x x x f x f x x x ---=
>，
所以()()12f x f x >----------------------------------------------------------------------------8‘
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所以函数()f x 在区间(0,2]上是减函数. （3）实数t 的取值范围为[]0,1--------------10‘
二卷
四、选择题（每题6分，共18分） 18．C 19．D 20．C
五、填空题（每题6分，共18分）
21
．3,1- 22．1，（1，+∞） 23．[01]，，311044⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
，
， 六、解答题（本题共14分）
24． 解：（Ⅰ）()1.21f = --------------------------2分
()1.22
f -=- --------------------------4分 （Ⅱ）方法1：因为
11
222
x x +-=， 所以，只可能有两种情况：
（1）存在整数t ，使得1122x x t t +≤
<<+，此时122x x t +⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，()0f x =； （2）存在整数t ，使得
122x x t +<≤，此时11,22x x t t +⎡⎤⎡⎤
=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，()1f x =. 综上，()f x 的值域为{0,1}. --------------------------------------------------------------9分 方法2：
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------------------9‘
（Ⅲ） 当函数()a
f x x x
=+
是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾.
若0a <，由于都在(0,)+∞单调递增，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 同理可证：()f x 在(,0)-∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，
所以此时()a
f x x x
=+
不是Ω函数. 当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]
a a m m m m +
=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，
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因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，
所以2[][]([]1)m a m m <<+.
当0m <时，[]0m <，
因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，
所以2[][]([]1)m a m m >>+.
记[]k m =, 综上，我们可以得到：a 的取值范围为
0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+}. -------14分。