中考数学易错题专题复习方程组与不等式组20

方程（组）与不等式（组）
易错点1：运用等式性质2时，注意除数不能为零；解方程（组）的基本思想：消元降次.
易错题1：已知方程组
23
26
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，则x+y的值为…………………………………（）
A.-3
B.0
C.2
D.3
错解：C
正解：D
赏析：本题错误的原因是在解方程组的过程中出现了错误，且没有检验就计算x+y.一般做法是：先用代入法或加减法求得方程组的解，如用代入法：由①得，y＝3－2x③，把③
代入②，得x＋2(3－2x)＝6，解得x＝0，把x＝0代入③，得y＝3，∴
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,再求x+y
的值.若将两个方程相加：①＋②，得3x＋3y＝9，再方程两边同除以3，得x＋y＝3，这样可直接求得结果，计算简便且不易出错.
易错点2：解一元二次方程的有关问题时忽略二次项系数不为零的条件，在用韦达定理时忽略△≥0的条件，从而出错.
易错题2：若关于x的一元二次方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是___________________.
错解：a≥﹣1
正解：a≥﹣1且a≠0
赏析：错误的原因是忽略了二次项系数a≠0的条件.首先计算判别式△＝[2(a＋2)]2－4a2＝8a＋8，接下来由方程有两个实数根，得△≥0，∴8a＋8≥0，解这个不等式，得a ≥﹣1，又∵二次项系数a≠0，∴实数a的取值范围是a≥﹣1且a≠0.注意，计算判别式△时要仔细，否则也易出错.
易错点3：解分式方程时，第一步去分母时易出错；忘记检验.
易错题3：解分式方程
3
4
22
x
x x
+=
--
，去分母后，得………………………………（）
A.3－x＝4(x－2)
B.3＋x＝(x－2)
C.3(2－x)＋x(x－2)＝4
D.3-x＝4
错解：D
正解：A
赏析：错误的原因是去分母时，没有父母的项没有乘以最简公分母x－2.解分式方程的第一步去分母时有两点易出错，一是分数线既有括号又有除号的作用，二是没有分母的项漏乘最简公分母；第二步去括号时，注意括号前面是“﹣”号时，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里的每一项都要改变符号；第三步移项时，不论是从左边移到右边，还是从右边移
到左边，移动的项都要改变符号；第四步合并同类项，按合并同类项法则进行；第五步系数化为1时，注意符号的处理，粗心易出错.最后别忘了检验，代入最简公分母检验即可，若是增根，应舍去.
易错点4：运用不等式性质3时，容易忘记改变不等号的方向.
易错题4：解不等式：21
43
x x -+
≥.
错解：去分母，得3(2－x)≥4(1＋x), 去括号，得6－3x≥4＋4x，
移项，得﹣3x－4x≥4－6，
合并同类项，得﹣7x≥﹣2，
系数化为1，得x≥2
7
.
正解：去分母，得3(2－x)≥4(1＋x), 去括号，得6－3x≥4＋4x，
移项，得﹣3x－4x≥4－6，
合并同类项，得﹣7x≥﹣2，
系数化为1，得x≤2
7
.
赏析：造成出错的原因在最后一步系数化为1时，不等号方向没有改变.运用不等式的性质解不等式时，和解一元一次方程的步骤相同，但原理是用不等式的基本性质，在第一步去分母和最后一步系数化为1时会用到不等式性质3，特别是最后一步，一定要改变不等号的方向.
易错点5：求不等式（组）有解无解时忽略相等的情况.
易错题5：若关于x的一元一次不等式组
20
x
x a
-
⎧
⎨
-
⎩
＜①
＞②
无解，则a的取值范围是……（）
A.a≥2
B.a＞2
C.a≤﹣2
D.a＜﹣2
错解：B
正解：A
赏析：错误的原因是没有考虑界点值a＝1的情况.由给定的解（解集）确定系数的取值范围是解不等式（组）的易错点，一般方法是先解出每个不等式，如本题，解不等式①，得x＜2,解不等式②，得x＞a，再根据不等式组无解的情况——“大大小小无处找”，结合解集在数轴上的表示确定字母系数的大致范围a＞2，然后再验证各界点值是否符合条件，如本题验证a是否可以等于2，经验证a可以等于2，故正确答案是A.
易错点6：在数轴上表示不等式（组）的解集时，空心圈与实心点及方向的表示易出错.
易错题6：把不等式组
21
30
x
x
+
⎧
⎨
-
⎩
＞①
≥②
的解集表示在数轴上，正确的是………………（）
3 A
B
C
D
错解：A
正解：D
赏析：本题主要出错是解集的表示方法，在数轴上表示不等式（组）的解集要注意两点：一是方向：解集中不等号为大于或大于等于的，其表示方向向右，解集中不等号为小于或小于等于的其方向向左；二是空心圈与实心点：解集中不等号含等于的应用实心点表示，不含等于的应用空心圈表示.本题中，先求得不等式组的解集：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤3，再根据“大小小大中间找”的方法得出不等式组的解集为﹣1＜x≤3，∴把这个解集在数轴上表示正确的是D.
易错点7：利用函数图象求不等式（组）和方程（组）的解（解集）时找不准关键点.
易错题7：如图，已知一次函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式2x＋b＞kx－3
的解集是____________.
错解：x＜4
正解：x＞4
赏析：出错的原因是不知道怎样在坐标系中由图象的位置关系来确定不等式的解集.通常以交点为界，分左右两侧观察，图象位于上方所对应的函数值较大.本题中，两个图象交于点P（4，﹣6），∴当x＝4时，两函数值相等，即2x＋b＝kx－3，当x＞4时，即交点右侧，y＝2x＋b的图象位于y＝kx－3的图象的上方，∴2x＋b＞kx－3，当x＜4时，即交点左侧，y＝2x＋b的图象位于y＝kx－3的图象的下方，∴2x＋b＜kx－3，故答案为x＞4.
易错点8：熟练掌握各种方程（组）与不等式（组）的解法及其应用.
易错题8：解方程组：2()134123()2(2)3x y x y
x y x y -+⎧-=-⎪
⎨⎪+--=⎩①②
.
错解：将原方程组化简整理，得55153x y x y -=-⎧⎨
-+=⎩③④
，③＋④，得4x ＝2，∴x ＝
1
2
，把x ＝12代入④，得y ＝710，∴12
7
10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 正解：将原方程组化简整理，得511153x y x y -=-⎧⎨
-+=⎩③④
，由④，得x ＝3－5y ⑤，把⑤代入
③，得5(3－5y )－11y ＝﹣1，解得y ＝1，把y ＝1代入⑤，得x ＝2，∴2
1
x y =⎧⎨
=⎩.
赏析：本题错解的原因是化简方程①时出现了错误，但没有认真检验也是造成错解的原
因. 解复杂的方程组第一步是将原方程组化简整理成一般形式111
222
a x
b x
c a x b x c +=⎧⎨+=⎩，然后再考虑
用代入法或加减法来解，若有未知数的系数为1或﹣1时，可用代入法来解，若有相同未知
数的系数相同或互为相反数时，可用加减法来解.
易错题9：2014年12月26日，西南真正意义上的第一条高铁——贵阳至广州的高铁将开始试运行.从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km ，高铁开通后，高铁列车的行程约为860km ，运行时间比特快列车所用的时间减少了16h.若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度.
错解：设特快列车的平均速度为x km/h ，
由题意，得
1800860
162.5x x
=+， 解得x ≈86.
答：特快列车的平均速度约为86km/h. 正解：设特快列车的平均速度为x km/h ，
由题意，得， 解得x ＝91.
经检验，x ＝91是原分式方程的解且符合题意. 答：特快列车的平均速度为91km/h.
赏析：本题在解分式方程时出现了错误，且没有检验.列分式方程解应用题时，首先解方程要仔细，在去分母或化简时极易出错，同时既要检验求得的解是否是所列分式方程的解，又要检验是否符合题意.
易错练
1.三角形的两边长分别为3和7，第三边长是一元二次方程x2－10x＋24＝0的根，则第三边长为……………………………………………………………………………………………（）
A.4或6
B.4
C.6
D.无法确定
2.若不等式组
1
360
x m
x
-
⎧
⎨
-
⎩
＞
≤
有解，则m的取值范围是……………………………………（）
A.m＞1
B.m≥1
C.m＜1
D.m≤1
3.已知
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程组
8
1
mx ny
nx my
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
的解，则2n－m的平方根是______.
4.已知关于x的分式方程
2
1
11
a
x x
+=
--
的解是非负数，则a的取值范围是_________.
5.小华带10元钱去买中性圆珠笔和橡皮（两种文具都买），中性圆珠笔每支2元，橡皮每块1元，则他最多能买____________支中性圆珠笔.
6.解不等式：2171
1
36
x x
+-
-≥，并把解集在数轴上表示出来.
7.解方程组：
231
341
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
①
②
.
8.随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销量逐年下降.我市2012年销售烟花爆竹10万箱，到2014年烟花爆竹的销量下降为3.6万箱.求我市2012年到2014年烟花爆竹销量的平均下降率.
参考答案
3.±2 解析：把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组，得
28
21
m n
n m
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
，解得
2
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
±2.
4.a≥1且a≠2 解析：解方程，得x＝a－1，∵x≥0，∴a－1≥0，∴a≥1，又∵原方程可
化为
2
1
1
a
x
-
=
-
，由a－2≠0，得a≠2，∴a≥1且a≠2.
5.4 解析：设中性圆珠笔买x支，∵两种文具都要买，∴2x＜10，∴x＜5，∵x取最大整数，∴x＝4，此时2×4＋1×2＝10，∴中性圆珠笔最多能买4支.
6.解：去分母，得2(2 x＋1)－(7x－1)≥6,
去括号，得4x＋2－7x＋1≥6，
移项，得4x－7x≥6－1－2，
合并同类项，得﹣3x≥3，
系数化为1，得x≤﹣1.
把这个解集在数轴上表示如图：
7.解：①×4＋②×3，得17x＝1，∴x＝
1
17
.①×3－②×2，得17y＝5，∴y＝
1
17
.∴
1
17
5
17
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
.
又解：①＋②，得5x－y＝0，∴y＝5x③，把③代入①，得x＝
1
17
.把x＝
1
17
代入③，得。