四川省成都市双流县棠湖中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析

四川省成都市双流县棠湖中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 椭圆的焦距是2，则的值为
A．5或3 B．8 C．5 D．16
参考答案：
A
略
2. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）
A．B．1 C．﹣1 D．﹣
参考答案：
【考点】63：导数的运算．
【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，x=2代入求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）
∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，
解得f′（1）=﹣1，
∴f′（2）=2f′（1）+=﹣2+=﹣．
故选D．
3. 若随机变量X服从两点分布，且成功的概率，则和分别为（）
A. 0.5和0.25
B. 0.5和0.75
C. 1和0.25
D. 1和0.75
参考答案：
A
【分析】
先由随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，作出X的概率分布，然后再求E（X）和D （X）．【详解】∵X服从两点分布，
∴X的概率分布为
∴E（X）＝0×0.5+1×0.5＝0.5，
D（X）＝0.52×0.5+（1﹣0.5）2×0.5＝0.25．
故选：A．
【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用．
4. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（）
参考答案：
A
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】利用加权平均数计算公式求解．
【解答】解：设这100个成绩的平均数记为，
则==3．
故选：A．
5. 4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是（）
A ．0.5
元B ．1元C．4.4元D．8元
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x元、y元，根据条件列出不等式以及目标函数，利用简单线性规划即可求得结论
【解答】解：设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x元、y元，则，对应的区域如图
设1支水笔与1支铅笔的价格的差z=x﹣y，即y=x﹣z，则直线经过A（3，2）时使得z最大为3﹣
2=1，
所以1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是4；
故选：B．
【点评】本题考查利用简单线性规划解决实际应用问题，需要根据题意列出约束条件以及目标函数；着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划的应用等知识．
6. 如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是（）
A. 6
B.36
C. 60
D.120
参考答案：
D
略
7. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）
A．9 B．18 C．27 D．36
参考答案：B
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．
【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，
∵x+2x+160=430，
∴x=90，
即由比例可得该单位老年职工共有90人，
∵在抽取的样本中有青年职工32人，
∴每个个体被抽到的概率是=，
用分层抽样的比例应抽取×90=18人．
故选B．
8. 直线的倾斜角为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
9. 某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X位于区间（52，68]的概率是（）
A．0.6826 B．0.9544 C．0.9974 D．
0.3413
正态分布N
（μ，σ2
）的密度函数为f (x )
＝
e
参考答案： A 略
10. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则角B 的值
为 ( )
A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且
，则C 的离心率为_________.
参考答案：
略
12. “x >1”是“
”的____________条件(填充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要).
参考答案：
充分不必要 略
13. 已知向量.若
与共线，则实数
.
参考答案：
14. 在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是.
参考答案：
略
15. 已知等差数列{a n }中，有 成立.类似地，在等比数列{b n }中，有
成立.
参考答案：
略
16. 设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者
得到12支，则有 种不同的分法。

参考答案：
1270080
17. 已知，，若是的充分不必要条件，则a的取值范围为
______.
参考答案：
[0,5]
【分析】
由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，从而得且，列不等式求解即可.
【详解】，，
由题意是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，即，
于是且，得，经检验.
故答案为：.
【点睛】逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中是的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （8分）画出解不等式ax+b＞0（b≠0）的程序框图．
参考答案：
---------------8分
19. 定义g（x）=f（x）﹣x的零点x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1
（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数的不动点；
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）只有一个零点且b＞1，求实数a的最小值．
参考答案：
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．
【分析】（1）代入求出f（x）的表达式，根据零点的概念求出不动点；
（2）把动点问题转化为二次函数有解恒成立问题，求解即可；
（3）动点问题转化为二次函数有一解得出4a=，利用分离参数法得出4a==（b﹣1）
++2，由均值不等式得出答案．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣x﹣3
函数f（x）的不动点为3，﹣1；…
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，
则对于任意实数b，f（x）﹣x=0恒有两个不等的实数根
∴ax2+bx+b﹣1=0，△＞0恒成立，
∴b2﹣4a（b﹣1）＞0，
∴b2﹣4ab+4a＞0对任意实数b都成立，
∴△=16a2﹣16a＜0，
∴0＜a＜1…；
（3）g（x）=ax2+bx+b﹣1，函数g（x）只有一个零点，b＞1
则△=0，
∴b2﹣4ab+4a=0，
∴4a==（b﹣1）++2≥4，
当且仅当b=2时等号成立，
∵a≥1，
a的最小值为1．…
20. （本小题12分）若，证明
参考答案：
证明：由，得
展开得
即
所以
略
21. （本小题满分16分）
已知椭圆的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线轴，连结AQ并延长交直线于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。

参考答案：解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以，又椭圆的离心率得，即，由得，所以，
故所求椭圆方程为。

（6分）
（2）设，则，设，∵HP=PQ，∴
即，将代入得，
所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。

又A（－2，0），直线AQ的方程为，令，则，又B（2，0），N为MB的中点，∴，，
∴
，∴，∴直线QN与圆O相切。

（16分）
22. 已知表示椭圆，表示一个圆.
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若为真命题，求a的取值范围.
参考答案：
(1) (2) 或
【分析】
（1）由椭圆方程的性质求得命题进行求解即可．（2）利用圆的方程求得命题，利用p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系进行求解即可．
【详解】（1）且
的取值范围
（2）若为真，则
又为真时或
为真时的取值范围为或
【点睛】本题主要考查命题的真假应用，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．。