北师大版高考数学(文)大一轮复习---第七章 7.4--(附答案)

§7.4基本不等式及其应用
最新考纲考情考向分析
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.
1．基本不等式：ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛
⎭⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2
4
.(简记：和定积最大)
知识拓展
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；
若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )． (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；
若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．
(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1
x
的最小值是2.( × )
(2)函数f (x )＝cos x ＋
4
cos x
，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × )
(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y
x ≥2”的充要条件．( × )
(4)若a >0，则a 3＋1
a
2的最小值为2a .( × )
(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b
2≥ab 有相同的成立条件．( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编
2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C
解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y
2
≥xy ，
即xy ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22
＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.
3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25
解析 设矩形的一边为x m ，
则另一边为1
2
×(20－2x )＝(10－x )m ，
∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤x ＋(10－x )22
＝25，
当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.
题组三 易错自纠
4．“x >0”是“x ＋1
x ≥2成立”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 答案 C
解析 当x >0时，x ＋1
x
≥2
x ·1x
＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1
x ≥2成立”的充要条
件，故选C.
5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2
的最小值为( )
A ．0
B.12 C ．1
D.32
答案 A
解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋
12
－2
≥2
⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12
－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，即x ＝12
时等号成立． ∴函数的最小值为0.故选A.
6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
答案 D
解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1
x ＝5，
所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝1
5⎝
⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥1
5
(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x
y
，即y ＝2x 时，“＝”成立，
故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 通过配凑法利用基本不等式
典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23
解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝4
3， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2
3时，取等号．
(2)函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为________．
答案 23＋2
解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3
x －1
＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1
＝(x －1)＋3
x －1
＋2≥23＋2.
当且仅当x －1＝3
x －1
，即x ＝3＋1时，等号成立．
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
典例 (2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
答案 C
解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1
b ＝1，所以a ＋b
＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2b a ·a
b
＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．
跟踪训练 (1)若对任意x ≥1，不等式x ＋
1
x ＋1
－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是
__________． 答案 ⎝
⎛⎦⎤－∞，12 解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )＝x ＋1＋1
x ＋1－2在[0，
＋∞)上是增加的，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝1
2，因此对任意x ≥1，不等
式x ＋1x ＋1
－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝1
2，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1
y
的最小值为________．
答案
23＋2
3
解析 y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋2
3
≥2
y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x
3y
，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1
y 的最小值为23＋23
.
题型二 基本不等式的实际应用
典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入
成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝1
3x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，
C (x )＝51x ＋10 000
x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的
商品能全部售完．
(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，
L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2
＋10x －250 ＝－1
3
x 2＋40x －250；
当x ≥80时，
L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250 ＝1 200－⎝
⎛⎭⎫
x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨
⎧
－1
3
x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝
⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.
(2)当0<x <80时，L (x )＝－1
3
(x －60)2＋950.
对称轴为x ＝60，
即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；
当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝
⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－210 000＝1 000(万元)，
当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，
综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．
思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30
解析 一年的总运费为6×
600x ＝3 600x
(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．
总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭
⎫3 600
x ＋4x 万元． 因为3 600
x ＋4x ≥2
3 600
x
·4x ＝240， 当且仅当3 600
x
＝4x ，即x ＝30时取得等号，
所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
题型三 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
典例 (1)(2018届山东、湖北重点中学调研)已知函数f (x )＝lg x ，若a >b >0，有|f (a )|＝|f (b )|，则a 2＋(b i )2a －b (i 是虚数单位)的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
答案 C
解析 因为f (x )＝lg x ，由|f (a )|＝|f (b )|，可得a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，得ab ＝1，
所以a 2＋(b i )2a －b ＝a 2－b 2a －b
＝a ＋b ＝a ＋1a >2，故选C.
(2)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1
b 2的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 答案 D
解析 由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，故有
4a 2＋b 2＝1，∴4a 2＋b 2＝1，∴1a 2＋1
b
2
＝⎝⎛⎭⎫1a 2
＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2
a 2＋4a 2
b 2≥5＋4＝9，当且仅当b 2
a 2＝4a 2
b 2时，等号成立，∴1a 2＋1
b 2的最小值为9.
命题点2 求参数值或取值范围
典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m
a ＋3
b 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24 答案 B
解析 由3a ＋1b ≥m
a ＋3b
，
得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a
b ＋6. 又9b a ＋a
b
＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭
⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立，
∴m ≤12，∴m 的最大值为12.
(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11
x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范
围是________． 答案 ⎣⎡⎭
⎫－8
3，＋∞ 解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，
即x 2＋ax ＋11x ＋1
≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8
x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝17
3
.
∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝
173
， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83
， ∴a ≥－8
3
，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，c ＝3ab ，则ab 的最小值为________． 答案 1
3
解析 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，
可知sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，
∴2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，
化简得－2sin B cos C ＝sin B ，
∵sin B >0，∴cos C ＝－1
2
，
∵c ＝3ab ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
即9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
∴ab ≥13，则ab 的最小值为13
.
(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y ＝a 1－
x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1
n 的最小值为________．
答案 4
解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，∴A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上(m ，n >0)，
∴m ＋n ＝1(m ，n >0)，∴1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m
n ≥2＋2n m ·m
n
＝4，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴1m ＋1
n
的最小值为4.
利用基本不等式求最值
典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2
y
＝1，则x ＋y 的最小值是________．
(2)函数y ＝1－2x －3
x (x <0)的值域为________．
错解展示
(1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2
y
≥2
2xy
， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42，
∴x ＋y 的最小值为4 2.
(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3
x ≤1－2 6.
∴函数y ＝1－2x －3
x
(x <0)的值域为(－∞，1－26]．
错误答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错
解析 (1)∵x >0，y >0，
∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋2y
＝3＋y x ＋2x
y
≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，
∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.
(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3
x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3
－x
＝1＋26，当且仅当x
＝－
62时取等号，故函数y ＝1－2x －3
x
(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)．
答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)
纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．
1．(2017·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由a >b >0，可知a 2
＋b 2
>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 2
2
，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故
必要性不成立，故选A.
2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋1
4>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1
x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C
解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·1
2
＝x ，
所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，当且仅当x ＝1
2
时，等号成立，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，
而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，
故选项B 不正确；
由基本不等式可知，选项C 正确；
当x ＝0时，有1
x 2＋1
＝1，故选项D 不正确．
3．(2018·青岛质检)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b 的最小值是( )
A.72 B ．4 C.9
2 D ．5 答案 C
解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫
1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝12⎣⎡⎦⎤5＋
⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝
⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92
， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝2，b a ＝4a
b ，
a >0，
b >0，
即a ＝23，b ＝4
3
时取等号，
即1a ＋4b 的最小值是9
2
. 4．(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2
b
的最小值为( )
A ．4
B ．2 2
C ．8
D ．16 答案 B
解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2
b ≥2
1a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b
，即a ＝
2
2
，b ＝2时等号成立．故选B. 5．若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4
解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2
b
≥2
2
ab
，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧
1a ＝2b
，1a ＋2b ＝
ab ，
即a ＝42，b ＝24
2时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.
6．(2018·平顶山一模)若对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥1
5
B ．a >15
C ．a <15
D ．a ≤1
5
答案 A
解析 因为对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，
所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x x 2＋3x ＋1max ，
而对任意x ∈(0，＋∞)，
x x 2＋3x ＋1＝1
x ＋1x
＋3
≤
1
2x ·1
x
＋3＝1
5， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥1
5
.
7．已知2a ＋4b ＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为_______________．
解析 2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝2≥22a ＋2b ，2a ＋2b ≤1＝20，a ＋2b ≤0，当a ＝2b 时等号成立，所
以a ＋2b 的最大值为0.
8．(2017·襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2
y 的最小值为________．
答案 92
解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，
∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2，
∴
1x ＋1＋2y ＝12
[(x ＋1)＋2y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1
x ＋1＋2y
＝52＋12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2y x ＋1
＋2(x ＋1)y ≥52＋1
2
×22y x ＋1
·2(x ＋1)y ＝92，
当且仅当⎩⎪⎨
⎪⎧
2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，
x ＋2y ＝1，
即⎩⎨⎧
x ＝－1
3，
y ＝2
3
时取等号，
故
1x ＋1＋2y
的最小值为9
2.
9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]
解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 2
2
，
∴6－(x 2
＋4y 2
)≤x 2＋4y 2
2
，
∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．
又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，
即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12
(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．
综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.
10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 答案 2 20
解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，
则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2
x
(k 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，
∴运费与仓储费之和为⎝
⎛⎭⎫5x ＋20
x 万元， ∵5x ＋20
x ≥2
5x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20
x
，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20
万元．
11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1
y
的最小值．
解 (1)∵x >0，y >0，
∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .
∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，
当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．
因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝2，
此时xy 有最大值10.
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.
(2)∵x >0，y >0，
∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y
20
＝120⎝
⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥1
20⎝⎛⎭
⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋210
20，
当且仅当5y x ＝2x
y
时，等号成立．
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1010－20
3，y ＝20－4103.
∴1x ＋1
y 的最小值为7＋21020
. 12．某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2. (1)求f (x )的解析式，并写出其定义域； (2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 解 (1)因为t 1＝9 000x ，
t 2＝ 3 0003(100－x )＝1 000100－x
，
所以f (x )＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000
100－x
，
定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N ＋}．
(2)f (x )＝9 000x ＋1 000
100－x
＝10[x ＋(100－x )]⎝ ⎛⎭
⎪⎫
9x ＋1100－x
＝10⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
10＋9(100－x )x ＋x 100－x ， 因为1≤x ≤99，x ∈N ＋，
所以9(100－x )x >0，x
100－x
>0，
所以9(100－x )x ＋x
100－x
≥2
9(100－x )x ·x
100－x
＝6， 当且仅当9(100－x )x ＝x
100－x
，即当x ＝75时取等号．
即当x ＝75时，f (x )取得最小值．
13．(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9
b －1
的最小值为( )
A ．16
B ．9
C ．6
D ．1 答案 C
解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1
b ＝1，
∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1
a
>0，
∴b >1，a >1，
则
1a －1＋9b －1≥29
(a －1)(b －1)
＝2
9ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9
b －1
的最小值为6，
故选C.
14．(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线
mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2
n 的最小值为________．
答案 8
解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，
由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，
可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.
∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．
15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2
z 的最大值是
( )
A ．0
B ．1 C.9
4 D ．3
答案 B
解析
xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x
－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x
＋1y －2z ＝－1y 2＋2
y
＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 答案 27
解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1
a －1
.
又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6
a －1＋1＝6(a －
1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1
＋15
≥2
6(a －1)×6a －1
＋15＝27，
当且仅当6(a －1)＝6
a －1
(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。