高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题附解析

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题附解析
一、三角函数与解三角形多选题
1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是
（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角A 、C 、B 成等差数
列
C ．ABC 的外接圆半径为3
D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】
本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =
ABC
S =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2
C =
，则π
3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据
2sin c R C =
即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14
B =求出CD 长，D 错误. 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =
设2a t =，3b t =，()0c t =>，
因为ABC
S =△，所以=
解得2t =，则4a =，6b =，c =
故ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以π
3C =
，π2ππ233
A B C +=-=
=， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；
C 项：因为π3C =
，所以sin C =
由正弦定理得2
sin 3c R C =
==
，R =C 错误；
D 项：由余弦定理得222cos
214
a c
b B a
c +-===
，
在BCD △中4BC =，BD =
由余弦定理得2cos
14B ==
，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222
cos 2a c b B ac
+-=，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC 是钝角三角形
C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC 外接圆半径为
7
【答案】ACD 【分析】
由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】
解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；
由c 为最大边，可得222222
1625361
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，
即C 为锐角，选项B 描述不准确；
2222222536163
cos 22564
b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，
291
cos 22cos 121cos 168
A A C =-=⨯
-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；
若6c =
，可得
2sin 7c R C
=
==
，
ABC
外接圆半径为
7
，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.
3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若sin sin a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 B ．若
cos cos a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4
C π
∠=
【答案】ACD 【分析】
多项选择题，一个一个选项验证：
对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断； 对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角
形；
对于C ：利用三角函数化简得
tan A tan tan B C ++sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断
cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断； 对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】
对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；
对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=， ∴若
cos cos a b
B A
=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =，
∴22A B =或22A B π+=
∴
ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，
∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，
， ∴tan A tan tan B C ++
sin sin sin =cos cos cos A B C
A B C
++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A C
A B C ++
sin sin =
cos cos cos C C
A B C
+
11=sin cos cos cos C A B C ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭
sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
.
∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，
∴
ABC 为钝角三角形. 故C 正确；
对于D ：∵sin cos a b C c B =+，
∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4
C π
.
故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．
4．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+<<< ⎪⎝
⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成
立，3y f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于原点对称
B ．函数()f x 的最小正周期为π
C ．函数()f x 的图象关于直线2
x π=
对称
D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 【答案】BD 【分析】
由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数可得
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】
因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫
=+=± ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±
⎪⎝⎭
，得()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数，
所以
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ②.
由①②可得
()(),3
12
2
k k k k ωπ
ωπ
π
π''-
=--
∈Z ，
即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)3
3
k k k k π
π
ϕππ=+
=-
'∈'Z ，得3πϕ=，
所以2n 2)3(si f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，
由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22
T π
π=
=，所以B 正确；
2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，所以C 不正确；
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，k ∈Z ，得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ，所以D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立”得到“
212f π⎛⎫
=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”
后，能根据“3y f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
为奇函数”得到“()3k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ”.
5．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦
【答案】BC 【分析】
首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】
()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1sin 462
g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π上单调递增，
故C 正确；,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小
值-1，当23
3
x π
π
-=
时，函数取得最大值
2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦
.
故选：BC 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
6．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）
A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0
B ．该函数图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦上单调递增
D ．()2cos 3
6x f x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】
根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，
若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，
23
T ππ
ω∴=
=， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛
⎫-
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则sin 16πϕ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭.
0ϕπ<<，56
6
6π
π
πϕ∴-
<-
<
，则62
ππϕ-=，23π
ϕ∴=，
()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x π
πππππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，D 选项正确；
对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫
=+== ⎪
⎝⎭
，A 选项正确； 对于B 选项，由
()36x k k Z ππ
π+
=∈，解得()1
32
x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；
对于C 选项，当71,23x ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
时，3618x ππππ-≤+≤，
所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
上不单调，C 选项错误.
故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只
需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把
ω化为正数．
7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6
x π
=
对称
C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点
【答案】ABD 【分析】
借助于()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T π
ω
=
求周期；
对于B ：利用图像观察，也可以根据()26
f π
=判断；
对于C ：利用图像观察，也可以根据()13
f π
=否定结论；
对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】
对于A ：函数()y f x =的周期222
T π
π
πω
==
=故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 226
6
6f π
π
π⎛⎫
=⨯
+
= ⎪⎝
⎭，∴()f x 的图像关于直线6
x π
=对称，故B 正确；
对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13
3
66
f π
π
ππ⎛⎫
⎛⎫
=⨯
+
== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令
()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间
(0,)π上有两个零点，故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：
（1）画出图像，利用图像分析性质；
（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.
8．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．23
ϕπ=
B ．()f x 的最小正周期为π
C ．()f x 的图象关于直线12
x π
=对称
D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】BCD 【分析】
利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，研究对称轴和对称中心. 【详解】
由图可知2sin 3ϕ=3
sin 2
ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3
π
ϕ=，A 项错误；
因为()2sin 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，所以结合图像，由五点法得
3
3
ωπ
π
π+
=，解得2ω=，则
()f x 的最小正周期2T π
πω
=
=，B 项正确；
将12x π
=代入2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，得
2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以()f x 的图象关于直线12
x π
=对称，C 项正确﹔
将56x π=
代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
二、数列多选题
9．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ）
A ．数列{}n a 是等差数列
B ．12n n a
C ．22222123213n n a a a a -+++
+= D ．1223341
11111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD
【分析】
利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误.
【详解】
对任意的n *∈N ，21n n S a =-.
当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，
上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，
所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B 选项正确； ()22
1124n n n a --==，所以，22221231441143n n n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，
122334
11111111111111112233411
n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确.
故选：BCD.
【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ）
A ．512a =
B ．公差3d =
C ．()261n S n n =+
D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64n n + 【答案】BCD
【分析】
根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，
再利用裂项求和即可判断选项D.
【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，
对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；
对于选项C ：()()2222132612
n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭
()611132322324
n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n n a f n =-类型，可采用两项合并求解.。