湖南2017届高三9月考理数精选

一、选择题：
1. 若2
(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，其中a R ∈，则21a i
ai
++等于（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1
D ．1或i 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意21010
a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-，21a i ai ++21(1)21(1)(1)2i i i
i i i i ++====--+．故选B ．
考点：复数的概念，复数的运算． 2. 设A ，B 是两个集合，则“A
B A =”是“A B ⊆”的（ ）
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】
考点：充分必要条件． 3. 设0.3
1.7
a =，3log 0.2
b =，5
0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a << 【答案】D 【解析】 试题分析：因为0.3
1.7
1>，3log 0.20<，500.21<<，所以a c b >>．故选D ．
考点：指数函数与对数函数的性质．
4. 从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．
17 B ．37 C ．47 D ．6
7
【答案】A 【解析】
试题分析：这7个点中只有中心到三边中点的距离小于1，因此所求概率为2731
7
P C =
=．故
选A ．
考点：古典概型．
5. 在等差数列{}n a 中，已知51012a a +=，则793a a +=（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．30 【答案】C
考点：等差数列的通项公式．
6. 已知6(1)ax +的二项展开式中含3
x 项的系数为5
2
，则a 的值是（ ） A ．
18 B ．14 C ．1
2
D ．2 【答案】C 【解析】
试题分析：6(1)ax +6(1)ax =+，含3x 的项为336()C ax 3336C a x =，因此33
652C a =
，1
2
a =．故选C ．
考点：二项式定理的应用． 7. 三角函数()sin(2)cos 26
f x x x π
=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）
A 2π
B π
C 2
π
D π 【答案】D 【解析】 试题分析：
()sin(2)cos 26f x x x π=-+sin cos 2cos sin 2cos 266ππx x x =-+3cos 222x x =
)3πx =-22
π
T π==．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A ωx φ=+的性质．
【名师点睛】简谐运动的图象对应的函数解析式：()sin()
f x A ωx φ=+（[0,),0,0x A ω∈+∞>>为常数）．其中物理意义如下：A 是振幅，ωx φ+为相位，φ为初相，周期2πT ω=
，频率为12ωf T π
==．
8. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．4
3
B．2 C．4 D．
6
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥A BCDE
-，如图，则
11
[(12)2]22
32
V=⨯⨯+⨯⨯=．故选B．
A
考点：三视图，体积．
【名师点睛】本题考查三视图，棱锥的体积，解题的关键是由三视图还原出原来的几何体，在由三视图还原出原来的几何体的直观图时，由于许多的几何体可以看作是由正方体（或长方体）切割形成的，因此我们可以先画一个正方体（或长方体），在正方体中取点，想图，连线得出直观图，这样画出直观图后，几何体中的线面关系、线段长度明确清晰，有助于快速解题．
9. 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】
考点：程序框图．
10. 已知1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A 1
B ．2．2
D 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意12F M F M ⊥，2MF c =，则12M F a c =-，所以2
2
2
(2)(2)c a c c +-=，
解得1c
e a
=
=．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．
11. 设22(2,cos )a λλα=+-，(,
sin )2
m
b m α=+，其中λ、m 、α为实数，若2a b =，
则
m
λ
的取值范围是（ ）
A ．(,1]-∞ B. C ． D ． 【答案】
B 【解析】
考点：向量的平行．
【名师点睛】在变形过程中，由于认识的不同，理解思路的不同，还可以有如下解法：
由2a b =得22
22cos 2sin λm λαm α+=⎧⎪⎨-=+⎪⎩①②
，由②得22
cos 2sin m λαα-=+ 2sin 2sin 1αα=-++2(sin 1)2α=--+，∴222m λ-≤-≤，即2222m λλ-≤≤+，又
112m λ=
+，如图，点(,)m λ构成的图形是线段AB ，其中31(,)24A -，(2,2)B ，而m
λ
表示线段AB 上的点与原点连线斜率（与m 轴交点斜率不存在除外）的倒数，所以61m
λ
-≤
≤．
12. 定义在(0,)2
π
上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >成立.
则有（ ）
A
()()63f ππ< B 3()2cos1(1)6
f f π
>
C ．2()()4
6
f π
π<
D ()()43
f ππ
<
【答案】A 【解析】
考点：导数与单调性．
【名师点睛】对于已知条件是既有'()f x 又有()f x 的不等式，一般要构造一个新函数()g x ，使得'()g x 可通过此条件判断正负，从而确定单调性，例如我们常常构造函数()()x g x e f x =，
()()x f x g x e =
，()()
g x xf x =，()
()f x g x x
=，要根据不等式的形式要确定新函数，如本题()()cos g x f x x =．判断出新函数单调性后，可利用此单调性得出不等关系，从而得出结论． 二、填空题：
13. 若过点（0,2）的直线l 与圆22(2)(2)1x y -+-=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是______. 【答案】5[0,][
,)6
6
π
π
π 【解析】
试题分析：设直线l 方程为2
y kx =+1
≤
得
33
k -
≤≤
，当tan k [θ=∈时，5[,)
6πθπ∈，当tan [0,θk =∈时，[0,]6πθ∈．所以倾斜角范
围是5[0,][
,)66
π
π
π． 考点：直线与圆的位置关系，直线的倾斜角．
14. 已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
，则
2z x y =+的最大值是_________.
【答案】9 【解析】
考点：简单的线性规划．
15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且523n n S n a =-+，*
n N ∈，则数列{}n a 的通项公式是n a =_________.
【答案】1
53()16
n -+
【解析】
试题分析：∵523n n S n a =-+①，∴当2n ≥时，11(1)523n n S n a --=--+②，①－②得
1155n n n a a a -=-+，1651n n a a -=+，∴16(1)5(1)n n a a --=-，即15
1(1)6
n n a a --=-，又
1111523a S a ==-+，14a =，113a -=，
从而{1}n a -是等比数列，所以1
513()6
n n a --=⨯，即1
53()16
n n a -=⨯+．
考点：数列的通项公式．
【名师点睛】已知数列的和n S 与项n a 的关系(,)0n n f S a =，求数列的通项公式，一般再写出一个等式：当2n ≥时，11(,)0n n f S a --=，然后两式相减得11(,)(,)0n n n n f S a f S a ---=，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，可以得到数列{}n a 的递推公式，再由递推公式变形求通项公式，比较简单的这个递推公式经过简单的变形就可求出通项（如本题），稍微复杂的可能要象刚才一样把递推式再写一次（用1n -代n ）后相减，得出简单的关系，从而得出结论．
16. 已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为2的正三角形，SC 为球O 的直径，且4SC =，则此三棱锥的体积为________.
【答案】
3
【解析】
考点：棱锥与外接球，棱锥的体积．
【名师点睛】在多面体的外接球中，关键问题是找出球心位置．这里要用到一个结论，即球的截面的性质：球的截面圆的圆心与球心连线与截面圆垂直．因此三棱锥S ABC -的球心O 一定在过ABC ∆的外心且与平面ABC 垂直的直线上，在计算时还可用到公式：设球半径为R ，截面圆半径为r ，球心到截面圆所在平面的距离为d ，则222R r d =+． 三、解答题 ：
17. （本小题满分12分）
已知ABC ∆是半径为2的圆的内接三角形，内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且
2cos cos cos a A c B b C =+.
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若2218b c +=，求ABC ∆的面积.
【答案】（Ⅰ）3
A π
=； 【解析】
试题分析：（Ⅰ）已知边角关系，要求角，可以利用正弦定理化“边”为“角”，再由两角和的正弦公式变形即可求得A 角；（Ⅱ）有了角A ，又有外接圆半径，同样由正弦定理可求得边a ，从而由余弦定理可得,b c
（Ⅱ）由1cos 2A =
得：sin 2
A =，
由（Ⅰ）得4sin a A ==∵2222os a b c bc A =+-，∴222
18126bc b c a =+-=-=，
∴11sin 622ABC S bc A ∆=
=⨯=
…………………………12分 考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积． 18. （本小题满分12分）
某班50位学生在2016年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间
是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. （Ⅰ）求图中x 的值；
（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望
.
【答案】（Ⅰ）0.018x =；（Ⅱ）12
． 【解析】 取值有0,1,2；
92
2126(0)11C P C ξ===；9
11
3212
9(1)22C C P C ξ===
；232121(2)22C P C ξ===，
∴69110121122222
E ξ=⨯
+⨯+⨯=.………………12分 考点：频率分布直方图，随机变量的数学期望． 19. （本小题满分12分）
如图，在直二面角E AB C --中，四边形ABEF 是矩形，2AB =
，AF =ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3PF =. （Ⅰ）证明：BF ⊥面PAC ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；
. 【解析】
试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知：4FB =
，cos cos PFA ∠=∠，
PA
∵2223912PA PF AF +=+==,∴PA BF ⊥. ∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF
平面ABC AB =，
AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面ABEF .
∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥. ∵PA
AC A =，∴BF ⊥平面PAC .………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB 、AC 、AF 两两互相垂直，以A 为原点，AB 方向为x 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C
，F .
设二面角A BC P --的平面角为θ，由题中条件可知(0,
)2
π
θ∈，
则00cos |
|||||1n m n m θ++
===+
∴二面角A BC P --的余弦值为7
.………………12分
考点：线面垂直的判断，二面角．
【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．当然如果图形中已经有棱的垂面了，二面角的平面角已经出现了，因此直接用定义求二面角即可，没必要再用向量法求解．
20. （本小题满分12分）
已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段12PP 、34P P 的中点分别为1M 、2M .
（Ⅰ）求线段12PP 的中点1M 的轨迹方程；
（Ⅱ）求12FM M ∆面积的最小值；
（Ⅲ）过1M 、2M 的直线l 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）2
2(1)(1)y x x =->；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直线l 恒过定点(3,0).
【解析】
试题解析：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ， 设直线12PP 的方程为(1)y k x =-,
0k ≠. 联立2(1)
4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2222
2(2)0k x k x k -++=.
22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>.
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则112212()12M x x x k =
+=+， 112(1)M M y k x k =-=，∴112
112
M M x y =+.
（Ⅲ）当1k ≠±时，由（Ⅱ）知直线l 的斜率为：2'1k k k =
-， 所以直线l 的方程为: 222(21)1k y k x k k
+=---,即2(3)0yk x k y +--=，（*） 当3x =，0y =时方程（*）对任意的(1)k k ≠±均成立，即直线l 过点(3,0).
当1k =±时，直线l 的方程为：3x =，也过点(3,0).
所以直线l 恒过定点(3,0).……………………12分
考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题．
21. （本小题满分12分） 设函数21()ln (0)2
f x x x mx m =+->. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求()f x 的零点个数；
（Ⅲ）证明：曲线()y f x =没有经过原点的切线.
【答案】（Ⅰ）02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；2m >时，12
m x =，
2x =()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减；（Ⅱ）有且仅有一个零点；（Ⅲ）证明见解析．
【解析】
试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211'()x mx f x x m x x
-+=+-=. 令'()0f x =，得210x mx -+=.
当240m ∆=-≤，即02m <≤时，'()0f x ≥，
∴()f x 在(0,)+∞内单调递增.
当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得，
1x =2x =120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内，'()0f x >，在12(,)x x 内，'()0f x <，
∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减.………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，
∴()f x 最多只有一个零点. 又∵1()(2)ln 2
f x x x m x =-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <；
当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点
.
（Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())(0)x f x x >处的切线经过原点， 则有()'()f x f x x =，即21ln 12x x mx x m x x
+-=+-， 化简得：21ln 10(0)2
x x x -+=>.（*） 记21()ln 1(0)2g x x x x =-+>，则211'()x g x x x x
-=-=， 令'()0g x =，解得1x =.
当01x <<时，'()0g x <，当1x >时，'()0g x >， ∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122
x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线.………………12分 考点：导数与单调性，函数的零点，导数的几何意义．
【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:
求定义域→求导数f'(x )→求f'(x )=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x )在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性
当f (x )不含参数时,也可通过解不等式f'(x )>0(或f'(x )<0)直接得到单调递增(或递减)区间.
2．导数的几何意义
函数y=f (x )在x=x 0处的导数f'(x 0)的几何意义是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0) .
3．零点存在定理：函数()f x 在[,]a b 上有定义，若()()0f a f b <，则()f x 在(,)a b 上至少有一个零点．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G .
（Ⅰ）证明：DAO FBC ∠=∠；
（Ⅱ）证明：AE BE =.
【答案】证明见解析．
【解析】
试题解析：（Ⅰ）连接FC ，OF ，
∵AB AF =，OB OF =，
∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.
∵BC 是O 的直径， ∴CF BF ⊥，
∴//OG CF ，∴AOB FCB ∠=∠，
∴90DAO AOB ∠=-∠，90FBC FCB ∠=-∠，
∴DAO FBC ∠=∠.………………5分
考点：垂径定理，三角形全等的判定与性质．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2)θπ∈.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点D 是曲线C 上一动点，求点D 到直线:32
x l y t ⎧=+⎪⎨
=-+⎪⎩t 为参数，t R ∈）的最短距离.
【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=；（Ⅱ）1．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由公式222,cos ,sin ρx y ρθx ρθy =+==可化极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）曲线C 是圆，把直线的参数方程化为普通方程后，求出圆心到直线的距离d ，d r -就是所求距离的最小值．
试题解析：（Ⅰ）由2sin ρθ=，[0,2)θπ∈.
得22sin ρρθ=，即2220x y y +-=；……………………4分
（Ⅱ）由直线:32
x l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩50y +-=. 由（Ⅰ）知曲线C 为圆：2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=，
所以圆心坐标为（0,1），
圆心到直线50l y +-=的距离为2
d ==. ∴D 到直线l 的最短距离为1.……………………10分
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()||5f x x a x =-+.
（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集；
（Ⅱ）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(,6][4,)-∞-+∞．
【解析】
试题解析：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+，
∴|1|553x x x ++≤+，
∴|1|3x +≤，∴42x -≤≤.
∴不等式()53f x x ≤+的解集为.……………………5分
（Ⅱ）若1x ≥-时，有()0f x ≥，
∴||50x a x -+≥，即||5x a x -≥-，
∴5x a x -≥-或5x a x -≤，∴6a x ≤或4a x ≥-， ∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-或4a ≥.
∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞.……………………10分 考点：绝对值不等式．。