数学九年级上册 期末试卷(Word版 含解析)

数学九年级上册 期末试卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A ．
13
B ．
512
C ．
12
D ．1
3．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
4．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( ) A ．5
B ．2
C ．5或2
D ．2或7－1
5．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；
④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知2x ＝3y （x ≠0，y ≠0），则下面结论成立的是（ ） A ．
23
x y = B ．
32=y x
C ．
23
x y = D ．
23=y x
7．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，
2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >>
9．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
10．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根
11．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，，则:ADE ABC S S ∆∆=
（ ）， A ．
19
B ．
14
C ．
16
D ．
13
12．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1＝0
B ．x 2+x +1＝0
C ．x 2+1＝0
D ．x 2+2x +1＝0
二、填空题
13．如图，已知正六边形内接于O ，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为
______.
14．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．
15．关于x 的方程2
()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，
0a ≠），则关于x 的方程2(3)0a x m b +++=的解是________．
16．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm ．
17．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．
19．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．
20．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．
21．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在
O 中，如图，点
A 、
B 在圆上，边B
C 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒
22．把函数y ＝2x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_____．
23．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又
进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．
24．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均分 方差 众数 中位数
甲组 8
9
乙组
53
8
8
（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．
三、解答题
25．已知二次函数2
18
y x bx c =++（b 、c 为常数）的图像经过点()0,1-和点()4,1A . （1）求b 、c 的值；
（2）如图1，点()10,C m 在抛物线上，点M 是y 轴上的一个动点，过点M 平行于x 轴的直线l 平分AMC ∠，求点M 的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P 是抛物线上的一动点，以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点，若PEF ∆的面积为26P 的坐标. 26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价x 、月销售量y 、月销售利润w （元）的部分对应值如下表： 售价x （元/件） 40 45 月销售量y （件） 300 250 月销售利润w （元）
3000
3750
注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价） （1）①求y 关于x 的函数表达式；
②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m 的值为 ．
27．(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD 、CE 是△ABC 的高，M 是BC 的中点，点B 、C 、D 、E 是否在以点M 为圆心的同一个圆
上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上”，在连接MD 、ME 的基础上，只需证明 ．
(2)初步思考：如图②，BD 、CE 是锐角△ABC 的高，连接DE ．求证：∠ADE ＝∠ABC ，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)
(3)推广运用：如图③，BD 、CE 、AF 是锐角△ABC 的高，三条高的交点G 叫做△ABC 的垂心，连接DE 、EF 、FD ，求证：点G 是△DEF 的内心．
28．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ，且FB 与AD 相交于点G ． （1）求证：∠D ＝∠F ；
（2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP ，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．）
29．计算
（10
2020318(1)2⎛⎫+- ⎪⎝⎭
（2）2430x x -+=
30．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，D 在线段AB 的延长线上，且CA=CD ，BC=BD ． （1）求证：CD 与⊙O 相切；
（2）若AB=8，求图中阴影部分的面积．
31．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED 绕点E 顺时针旋转得到A ED ''△，A′E 交AD 于P ， D′E 交CD 于Q ，连接PQ ，当点Q 与点C 重合时，AED 停止转动． （1）求线段AD 的长；
（2）当点P 与点A 不重合时，试判断PQ 与A D ''的位置关系，并说明理由； （3）求出从开始到停止，线段PQ 的中点M 所经过的路径长．
32．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，点A 在x 轴的正半轴上，B 为⊙O 上一点，过点A 、B 的直线与y 轴交于点C ，且OA 2＝AB •AC ．
（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（2）若AB 3AB 对应的函数表达式．
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一、选择题
解析：D
【解析】
【分析】
满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.
【详解】
解：根据题意得，
a-1=1,2+m=2,
解得，a=2,m=0,
∴a-m=2.
故选：D.
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案.
【详解】
解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴红灯的概率是：
301 302552
=
++
.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】
解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
解析：D
【解析】
【分析】
分AC为斜边和BC为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长.
【详解】
第一情况：当AC为斜边时，
如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,
∴OD⊥AC, OE⊥BC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，
2210
AC AB BC
=+= ,
∵=++
ABC AOC BOC AOB
S S S S ,
∴1111
2222
AB BC AB OF BC OE AC OD ,
∴1111
686810 2222
r r r ,
∴r=2.
第二情况：当BC为斜边时，
如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，
2227
AC BC AB ,
∵=++
ABC AOC BOC AOB
S S S S ,
∴1111
2222
AB AC AB OF BC OD AC OE ,
∴1111
6276827 2222
r r r ,
∴71 .
故选：D. 【点睛】
本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.
5．B
解析：B 【解析】
分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x 轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下， ∴x=1时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为a+b+c ，故①正确； ②当x=﹣1时，a ﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x 轴有2个交点，故b 2﹣4ac ＞0，故③错误； ④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0）， ∴A （3，0），
故当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④正确． 故选B ．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】
A.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32
x y
=，故该选项不符合题意， B.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即
32
x y
=，故该选项不符合题意， C.由内项之积等于外项之积，得x ：y ＝3：2，即3
2
x y =，故该选项不符合题意，
D.由内项之积等于外项之积，得2：y ＝3：x ，即23
=y x
，故D 符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b ，
所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确． 故选C ．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】
解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而
A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
连接OA ，由圆周角定理得，∠AOP ＝2∠B ＝50°，根据切线定理可得∠OAP ＝90°，继而推出∠P ＝90°﹣50°＝40°． 【详解】 连接OA ，
由圆周角定理得，∠AOP ＝2∠B ＝50°， ∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠OAP ＝90°，
∴∠P ＝90°﹣50°＝40°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP 的度数．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，
1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，
∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，再结合相似比是AD ：AB=1：3，因而面积的比是1：9．
【详解】
解：如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：9．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：
在x2﹣x﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A符合题意；
在x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B不符合题意；在x2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C不符合题意；
在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
二、填空题
13．【解析】
【分析】
根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.
【详解】
解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点
∵正
解析：2 3π
【解析】
【分析】
根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.
【详解】
解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点
∵正六边形内接于O,
∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,
∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD
∴∠OCB=∠OBC=30°,
∴OD=11
22
OB OA DA ,
∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,
∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：
2
6022 3603π
π
⨯
=.
故答案为：2
3π.
【点睛】
本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.
14．-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线.
【详解】
解：∵ A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B 两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB 的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
15．x1＝－12，x2＝8
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x ＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x 来求解．
【详解】
解：∵关于x 的方程的解是，（a ，m ，b 均为常数，a≠0），
∴方程变形为，即
解析：x 1＝－12，x 2＝8
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x ＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x 来求解．
【详解】
解：∵关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，
a≠0），
∴方程2(3)0a x m b +++=变形为2
[(3)]0a x m b +++=，即此方程中x ＋3＝－9或x ＋3＝11，
解得x 1＝－12，x 2＝8，
故方程2(3)0a x m b +++=的解为x 1＝－12，x 2＝8．
故答案为x 1＝－12，x 2＝8．
【点睛】
此题主要考查了方程解的含义．注意观察两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算． 16．【解析】
【分析】
利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.
【详解】
解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，
∴R
解析：
【解析】
【分析】
利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.
【详解】
解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，
90
=25
180
R
∴R=20，
22
5515 .
故答案为：
【点睛】
本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.
17．2﹣2
【解析】
【分析】
取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，根据勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，
解析：
2
【解析】
【分析】
取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝1
2
BC＝2，根据
勾股定理可求AG＝，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【详解】
解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，
∵CH ⊥DB ，点G 是BC 中点
∴HG ＝CG ＝BG ＝12
BC ＝2， 在Rt △ACG 中，AG 22AC CG +5在△AHG 中，AH ≥AG ﹣HG ，
即当点H 在线段AG 上时，AH 最小值为52，
故答案为：52
【点睛】
本题考查了动点问题，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形中勾股定理关系式. 18．【解析】
【分析】
在OA 上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时，CP 最小，由相似求出的最小值即可.
【详解】
解：如图，在OA 上取使，
∵，
∴，
在△和△QOC 中，
， 455
【解析】
【分析】
在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.
【详解】
解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，
∵90AOC POQ ∠=∠=︒，
∴'POC QOC ∠=∠，
在△'POC 和△QOC 中，
''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△'POC ≌△QOC （SAS ），
∴'PC QC =
∴当'PC 最小时，QC 最小，
过'C 点作''C P ⊥AB ，
∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，
∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），
∵'4OC OC OB ===， ∴22228445AB OA OB ++=''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠=
=， ''4
45C P =， ∴4''55
C P = ∴线段CQ 455 455
【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
19．【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，
∴AC＝AB ．
故答案为:．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分
【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，
∴AC AB ．
故答案为． 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则
AC BC =正确理解黄金分割的定义是解题的关键.
20．4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第
解析：4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第
几个数字，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第三行3个数，
…，
则第n 行n 个数，
故前n 个数字的个数为：1+2+3+…+n ＝
(1)2n n +， ∵当n ＝63时，前63行共有63642
⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4， ∴2020在第64行左起第4个数，
故答案为：64，4．
【点睛】
本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.
21．120°
【解析】
【分析】
因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．
【详解】
如图，连接OA ，
∵OA ，OB 为半径，
∴，
∴，
∴劣弧的度数等于，
故答案为：1
解析：120°
【解析】
【分析】
因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．
【详解】
如图，连接OA ，
∵OA ，OB 为半径，
∴30OAB ABO ∠=∠=︒，
∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，
∴劣弧AB的度数等于120 ，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．
22．y＝2（x﹣3）2﹣2．
【解析】
【分析】
利用二次函数平移规律即可求出结论．
【详解】
解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达
解析：y＝2（x﹣3）2﹣2．
【解析】
【分析】
利用二次函数平移规律即可求出结论．
【详解】
解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达式是y＝2（x﹣3）2﹣2，
故答案为y＝2（x﹣3）2﹣2．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键．
23．=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得： =31.5
故答案为：=31.5． 【点睛】
本题考查一元二次方程的
解析：()2
561x -=31.5 【解析】 【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2
561x -，据此列
方程得解． 【详解】 根据题意，得：
()2
561x -=31.5
故答案为：()2
561x -=31.5． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的．
24．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定． 【解析】 【分析】
（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中
解析：（1）83
，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定． 【解析】 【分析】
（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；
（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由． 【详解】 （1）甲组方差：
()()()()()()222222
18789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣
⎦
甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10 故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5 乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8 填表如下：
故答案为：8
3
，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩
更稳定． 【点睛】
本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．
三、解答题
25．（1）0b =，1c =-；（2）()0,4M ；（3）()4,1P 或()4,1-或()0,1- 【解析】 【分析】
(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b ，c 的二元一次方程组求解即可 (2) 过点C 作CD l ⊥，过点A 作AE l ⊥.证明△CMD 相似于△AME ，再根据对应线段成比例求解即可
(3)根据题意设点P 的纵坐标为y ，首先根据三角形面积得出EF 与y 的关系，再利用勾股定理得出EF 与y 的关系，从而得出y 的值，再代入抛物线解析式求出x 的值，得出点坐标. 【详解】
解：(1)把()4,1A 和()0,1-代入2
18y x bx c =++得：1241b c c =++⎧⎨-=⎩
解方程组得出：0
1b c =⎧⎨=-⎩
所以，
0b =，1c =-
(2)由已知条件得出C 点坐标为2310,
2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设()0,M n .过点C 作CD l ⊥，过点A 作AE l ⊥.
两个直角三角形的三个角对应相等， ∴CMD AME ∆∆∽ ∴
CD MD
AE ME
= ∴23102
14n
n -=- ∵解得：4n =
∴()0,4M
(3)设点P 的纵坐标为y,由题意得出，1262EF y ⨯⨯=46EF = ∵MP 与PE 都为圆的半径， ∴MP=PE
∴()2
2
2
8y 84(
)2
EF y y ++-=+ 整理得出， ∴EF 46= ∵46
EF =
∴y=±1, ∴当y=1时有，2
1118
x =
-，解得，x 4=±； ∴当y=-1时有，2
1118
x -=
-，此时，x=0 ∴综上所述得出P 的坐标为：()4,1P 或()4,1-或()0,1- 【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.
26．（1）①y ＝－10x ＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）2. 【解析】 【分析】
（1）①将点（40，300）、（45，250）代入一次函数表达式：y=kx+b 即可求解；
②设该商品的售价是x 元，则月销售利润w= y （x －30），求解即可；
（2）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x 的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w 取得最大值2400，解关于m 的方程即可． 【详解】
（1）①解：设y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0） 根据题意得：,4030045250k b k b +=⎧⎨
+=⎩解得：10
700k b =-⎧⎨=⎩
∴y ＝－10x ＋700
②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元 设当该商品的售价是x 元/件时，月销售利润为w 元 根据题意得：w ＝y （x －30）＝（x －30）（－10x ＋700） ＝－10x 2＋1000 x －21000＝－10（x －50）2＋4000 ∴当x ＝50时w 有最大值，最大值为4000
答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元． （2）由题意得： w=[x-(m+30)]（-10x+700） =-10x 2+（1000+10m ）x-21000-700m 对称轴为x=50+2
m ∵m ＞0 ∴50+
2
m >50 ∵商家规定该运动服售价不得超过40元/件
∴由二次函数的性质，可知当x=40时，月销售量最大利润是2400元 ∴-10×402+（1000+10m ）×40-21000-700m=2400 解得：m=2 ∴m 的值为2． 【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．
27．(1)ME ＝MD ＝MB ＝MC ；(2)证明见解析；(3)证明见解析． 【解析】 【分析】
(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．
(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME ＝MD ＝MB ＝MC ，得到四边形BCDE 为圆内接四边形，故有对角互补．
(3)根据内心定义，需证明DG 、EG 、FG 分别平分∠EDF 、∠DEF 、∠DFE ．由点B 、C 、D 、E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD ＝∠CED ．又因为∠BEG ＝∠BFG ＝90°，根据(2)
易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．
【详解】
解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上
故答案为：ME＝MD＝MB＝MC
(2)证明：连接MD、ME
∵BD、CE是△ABC的高
∴BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC＝∠CEB＝90°
∵M为BC的中点
∴ME＝MD＝1
2
BC＝MB＝MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上∴∠ABC+CDE＝180°
∵∠ADE+∠CDE＝180°
∴∠ADE＝∠ABC
(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN
∵CE、AF是△ABC的高
∴∠BEG＝∠BFG＝90°
∴EN＝FN＝1
2
BG＝BN＝NG
∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上∴∠FBG＝∠FEG
∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上
∴∠FBG＝∠CED
∴∠FEG＝∠CED
同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG
∴点G是△DEF的内心
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系.
28．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根据已知∠FBC＝
∠DCE，进而可得结论；
（2）作三角形FBC的外接圆交AD于点P即可证明．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠FGE＝∠FBC
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠FGE＝∠DCE
∵∠FEG＝∠DEC
∴∠D＝∠F．
（2）如图所示：
点P即为所求作的点．
证明：作BC和BF的垂直平分线，交于点O，
作△FBC的外接圆，
连接BO 并延长交AD 于点P ， ∴∠PCB ＝90° ∵AD ∥BC
∴∠CPD ＝∠PCB ＝90° 由（1）得∠F ＝∠D ∵∠F ＝∠BPC ∴∠D ＝∠BPC ∴△BPC ∽△CDP ． 【点睛】
此题主要考查圆的综合应用，解题的关键是熟知平行四边形的性质、外接圆的性质及相似三角形的判定与性质.
29．（1）2；（2）13x =，21x = 【解析】 【分析】
（1）按照开立方，零指数幂，正整数指数幂的法则计算即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】
（1）解：原式=2112-+= （2）解：(3)(1)0x x --=
30x -=或10x -=
123,1x x ∴==
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数混合运算的法则和因式分解法是解题的关键．
30．（1）见解析； （2）83
π 【解析】 【分析】
（1）连接OC ，由圆周角定理得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，由等腰三角形的性质得出∠A=∠D=∠BCD ，∠ACO=∠A ，得出∠ACO=∠BCD ，证出∠DCO=90°，则CD ⊥OC ，即可得出结论；
（2）证明OB=OC=BC ，得出∠BOC=60°，∠D=30°，由直角三角形的性质得出
=△OCD 的面积-扇形OBC 的面积，代入数据计算即可． 【详解】
证明：连接OC ，如图所示：。