高中数学 第3章 不等式同步课件 北师大版必修5

【例2】解不等式：
x 1x 46 x
x2 x 1
0
【审题指导】对于任何实数(shìshù)x,分母x2-x+1恒大于零，故上述
不等式等价于分子大于零，再利用穿针引线法求解.
【规范解答】对于任何实数(shìshù)x，x2－x＋1>0恒成立，
所以原不等式等价于：
(x＋1)(x－4)(6－x)>0，
即(x＋1)(x－4)(x－6)<0，
解得x<－1或4<x<6.
所以原不等式的解集为{x|x<－1或4<x<6}．
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基本不等式的应用问题(wèntí) 基本不等式的应用
利用基本不等式 ab a b(a,b≥0)求最值是高中数学中常
2
用方法之一，在使用时应注意基本不等式的使用条件“一正、 二定、三相等”.在解题的过程中，往往不能直接套用公式， 即出现“变量是负数”、“和（或积）不是定值”、“等号 取不到”等情形，这时应作相应转化处理.
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【例5】已知a∈R，f(x)=x2-ax. （1）解关于x的不等式f(x)>6a2; （2）当x∈［1，3］时，不等式f(x)+4>0恒成立，求a的取值范围. 【审题指导】（1）f(x)>6a2是含有参数a的一元二次不等式，解 这个不等式要对a分a≥0和a<0两种情况讨论；（2）给定(ɡěi dìnɡ)区间上的一元二次不等式恒成立问题，常用分离常数法，求 函数在给定(ɡěi dìnɡ)区间上的最值.
∴f(a,b)=9 . ∴M≥ 2
1 2 9, 2a b 2
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4.（2011·长沙高二检测）不等式4x-3·2x+2<0的解集是 _______. 【解析(jiě xī)】由4x-3·2x+2<0⇒(2x)2-3·2x+2<0⇒（2x1)(2x-2)<0⇒1<2x<2. 所以0<x<1，故不等式的解集是{x|0<x<1}. 答案：{x|0<x<1}
过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百万元.
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【审题指导】列出约束条件，利用图解法求解 【规范解答】设购买铁矿石A为x万吨，购买铁矿石B为y万吨，所 花费用为z百万元,由题意(tí yì)可知
0.5x 0.7y 1.9 x 0.5y即 2 x 0 y 0
5x 7y 19 2x y 4 x 0 y 0
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画出相应(xiāngyīng)的图像，可行域如图中阴影部分所示：
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目标函数z=3x+6y随l0:3x+6y=0向上平移而增大(zēnɡ dà). 故在C点处z有最小值
由 5x 7得y 19.故C(1x,2)1. ∴zm2ixn= 3y×14+6×2=y15.2
利用基本不等式求最值，一定要注意“=”成 立的条件.
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【例3】如图，△ABC是某屋顶的断面，CD⊥ AB,横梁AB的长是竖梁CD长的2倍.设计时应使 y=tanA+2tanB保持最小，试确定D点的位置， 并求y的最小值.
【审题指导(zhǐdǎo)】设AD的长为x，把y表示成关于x的函 数,再利用基本不等式求最值.
0
0
，则不等式f(x)≥x2
（A）［－1,1］
（B）［－2,2］
（C）［－2,1］
（D）［－1,2］
【审题指导】转化为两个不等式组求解.
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【规范(guīfàlt;x≤1或－1≤x≤0
或xx2－0x－2 0
⇔－1≤x≤1.
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5.（2011·湖北高考改编(gǎibiān)）直线2x+y-10=0与不等式组
x 0,
y 0, x y 2,
表示的平面区域的公共点有________个.
4x 3y 20
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【解析】画出不等式组
x 0,
y x
表0示, 的平面区域，如图 y 2,
在写线性规划的约束条件时，不要忽略变量的 实际意义.
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【例4】铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2 的排放量b及每万吨铁矿石的价格(jiàgé)c，如下表：
a
A
50%
B
70%
b（万吨） 1
0.5
c( 百万元) 3 6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超
x= 2 -22时取等号.
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∴当x=
2-22时，y取得(qǔdé)最小值 4
1 32 26 2
2,
此时DB=2-（ -2）=4- ,AD∶DB=
22
22
答：取AD∶DB=1∶ 时，y有最小值
2 22 1 . 42 2 2
2
32 2.
2
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线性规划问题 含有实际背景的线性规划问题的求解(qiú jiě)方法
（x）=x2+
4（1-m）x+2
①Δ<20，m即 ［1 4(21.－m)］2－8<0，解得：
2
2
1-
0
21 m 0
2
② h 0 2解得0 ：m≤1-
2
2
2
综上，m∈(-∞,1+ )
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1.设点P( t 2,1)(t>0),则| 2t
值是( )
|(O为坐标(zuòbiāo)原点)的最小 OP
f x
（ ⇔2）fg分xx式g不0x等 式0；：可转化为整式不等式求解，如
g≥(x0)
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（3）简单的高次不等式：穿针引线法； （4）含参数的不等式：常用分类讨论思想.
解分式不等式时，要注意分母不为零，否则(fǒuzé)不 是同解变形.
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【的例解集1】是已(知函数) (hánshù)f(x)－x＝＋x＋2，2，x x
当a<0时，原不等式的解集为{x|x>-2a或x<3a}.
（2）f(x)+4=x2-ax+4>0，在x∈［1，3］时恒成立
4
4
即a<x+ x在x∈［1，3］时恒成立，∵x+ ≥4当x 且仅当
x=2时等号成立，∴a的取值范围是a<4.
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不等式与函数、方程的综合应用 如何(rúhé)求解不等式与函数、方程的综合应
（A）
（B）
（C）5
5
3
【解析】选A.| |= OP 1 ( t 2)2
当且仅当t=2时取2等号t .
3 2 5，
（D）3
1
t2 4
≥
4 t2
2
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x＋3y－3 0
2.若实数(shìshù)x、y满足不等2x式－组y－3 0，
值为( )
x－y＋1 0
则x＋y的最大
（A）9
（B）7
（C）1
（D） 7 15
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【解析(jiě xī)】选A.由可行域知，x＋y取最大值时过2x－y－3 ＝0与x－y＋1＝0的交点(4,5)，所以x＋y的最大值为9.
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3.定义：对于使f(x)≤M成立的所有常数(chángshù)M中，我们把M的
最小值叫做f(x)的上确界.若a,b>0,且a+b=1,则f(a,b)=
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【规范(guīfàn)解答】设AD=x，CD=1，则AB=2,BD=2-x,0<x<2,
则y=tanA+2tanB= CD 2CD 1 2 x 2 AD BD x 2 x x(2 x)
=
1 x2 2x
1
x2
8
, 6
x2
x2
∵x+2+
8≥ x2
，4当且2 仅当(x+2)2=8,
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【例6】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足：对任 意实数x都有f(x)≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤ 1(x+
8
2)2成立，f（-2）=0. （1）求f(2); （2）求f(x)的表达式; （3）设g(x)=f(x)- mx,x∈［0,+∞)，若g(x)图像上的点都
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不等式的解法
不等式的解法
（1）一元二次不等式：
①将不等式化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a
＞0)；
②求出相应一元二次方程的根，或利用(lìyòng)二次函数的图像
与
根的判别式确定一元二次不等式的解集.
1 2的上确界为( )
（2Aa） b
（B）
9
9
2
2
（C）
（D）-4
1 4
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【解析( jiě xī)】选1B.∵2 ( 1 2 )(a b) 2a b 2a b
= 5 b 2a 5 2 9 ,
2 2a b 2
b
2a
当且仅当
2a a
即b b 1
2时取ab “ 1323=”号.
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【规范解答】（1）∵f(x)>6a2，∴x2-ax-6a2>0即
（x-3a）(x+2a)>0，对应方程(fāngchéng)的两根为
x1=3a,x2=-2a.
1°当a≥0时，x>3a或x<-2a;
2°当a<0时，x>-2a或x<3a.
故当a≥0时，原不等式的解集为{x|x>3a或x<-2a}
用问题 （1）不等式、方程、函数有着密不可分的关系，只有从函数 的观点出发来看待这三者，才会理解它们之间深刻的内在联 系，正是由于这种联系才使不等式在解决有关函数的定义域、 值域、单调性、最值、方程根的分布以及参数的取值范围、 曲线的位置关系等各个知识点的综合题中广泛应用.
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（2）不等式、方程、函数的关系十分密切，解决(jiějué)不等式问题 常常利用函数与方程的知识；而解决(jiějué)函数问题则常常用到方 程与不等式知识；解决(jiějué)方程问题常常用到函数与不等式知识.
答案：15
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分类与整合的思想 分类与整合思想
（1）分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统一研究 时就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后(ránhòu)对每 一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整体 问题的解答. （2）分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数 学解题策略. （3）分类原则是:①分类的对象确定,标准统一;②不重复,不遗 漏;③分层次,不越级讨论;④归纳总结,整合完善.
式成立(chénglì).
11 1
解出：a= 8,b= ,c2= 2
∴f(x)=
1 x2 1 x 1 8 22
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（3）g(x)=1 x2 (1 m)在x x1∈［1 0,+∞)恒成立(chénglì)，
8 22 24
即x2+4(1-m)x+2>0在x∈［0,+∞)恒成立(chénglì)，令h
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(2)a>1时， b
1－a
x
由b题，意得
1＋a
0 b 1 1＋a
要使原不等式的解集中恰有3个整数(zhěngshù)，则
4x 3y 20
阴影(yīnyǐng)部分所示（含边界）.
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因为(yīn wèi)直线2x+y-10=0过点A(5,0)，且其斜率为-2，小于
直线
4
3
4x+3y=20的斜率 ，故只有一个公共点（5，0）.
答案：1
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6．0<b<1＋a，若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3 个，试求a的取值范围. 【解析(jiě xī)】［(1＋a)x－b］［(1－a)x－b］>0 (1)当a≤1时，结合不等式解集的形式知不符合题意．
∴f(2)=2.
8
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（2）∵
4a 2b c 2 4a 2b c 0
∴4a+c=2b=1,
∴b= 1,c=1-4a 又∵f(x2)≥x恒成立(chénglì)，即ax2+(b-1)x+c≥0恒成立
(chénglì)， 1
1
∴a>0，Δ=( -21)2-4a(1-4a)≤0,当且仅当a= 时，不8等
（1）对于求解(qiú jiě)含有实际背景的线性规划问题,其关键是找到 制约求解(qiú jiě)目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标 函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的约束 条件和正确的目标函数．
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（2）线性规划问题的核心是数形结合思想，通过(tōngguò) 挖掘问题的几何意义，借助图像使问题获解.
2
位于(wèiyú)1直线y= 的上方，求实数m的取值范围.
4
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【审题指导】本题(běntí)是二次函数与一元二次不等式的综合
应用，解题时可利用函数与方程的思想，且要结合二次函数的图
像解决不等式的恒成立问题.
【规范解答】（1）由条件知f(2)=4a+2b+c≥2恒成立，
又∵取x=2时，f(2)=4a+2b+c≤ 1×(2+2)2=2恒成立,