基于Matlab求解建筑结构地震响应的时程分析法_孟宪萍

2008年第6期总第120期
福 建 建 筑
F u j i a nA r c h i t e c t u r e ＆C o n s t r u c t i o n
N o 6·2008
V o l ·120
基于M a t l a b 求解建筑结构地震响应的时程分析法
孟宪萍
(开封市供水总公司　475004)
摘　要:本文基于m a t l a b 阐述了我国《建筑抗震设计规范》(G B 50011-2001)规定的求解建筑结构地震响应的时程分析法,应用m a t l a b 语言编制了时程分析法求解建筑结构地震响应的计算程序,并以一三层钢筋混凝土结构为工程算例,应用基于m a t l a b 的时程分析法进行结构的地震响应计算。

结果表明,基于m a t l a b 的时程分析计算效率较高。

关键词:M A T L A B 地震响应　时程分析法
中图分类号:T U 312+.1 文献标识码:A 文章编号:1004-6135(2008)06-0038-03
T h e t i m e -h i s t o r y m e t h o db a s e d o nm a t l a b o f r e s o l v i n g t h e e a r t h q u a k e r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e s
M e n g X i a n p i n g
(K a i f e n g Wa t e r S u p p l y C o m p a n y 475004)
A b s t r a c t :I nt h i s p a p e r ,t h e t i m e -h i s t o r y m e t h o dw h i c h i s m e n t i o n e d i n t h e c o d e f o r s e i s m i c d e s i g n o f b u i l d i n g s (G
B 50011-2001)t o
r e s o l v e t h e e a r t h q u a k e r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e s i s d i s c u s s e d b a s e d o nm a t l a b .T h e c a l c u l a t i o np r o g r a m s o f t h et i m e -h i s t o r y m e t h o da r e w o r k e do u t u s i n g t h e l a n g u a g e m a t l a b .T a k i n g a t h r e es t o r y r e i n f o r c e d c o n c r e t e f r a m e s t r u c t u r e a s a ne x a m p l e ,t h e e a r t h q u a k e r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e i s r e s o l v e d b y u s i n g t h e c a l c u l a t i o n p r o g r a m s o f t h e t i m e -h i s t o r y m e t h o d .T h e r e s u l t i n d i c a t e s t h a t T h e t i m e -h i s t o r y m e t h o d b a s e do n m a t l a bo f r e s o l v i n gt h e e a r t h q u a k e r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e s i s e f f i c i e n t .K e y w o r d s :
M A T L A B e a r t h q u a k e r e s p o n s e t i m e -h i s t o r y a n a l y s i s m e t h o
d 作者简介:孟宪萍,女,1966年出生,主要从事建筑结构设
计及建筑咨询。

收稿日期:2008-03-25
1　引言
我国《建筑抗震设计规范》(G B 50011-2001)第5章对时程分析法的使用情况作出了规定。

时程分析法又称为直接动力法或逐步积分法。

采用时程分析法可以计算出结构在地震过程中每一瞬时的反应,可用来求解建筑结构的几何及物理线性与非线性动力响应。

与经典的反应谱方法相比,有很多的优点,但是它也存在许多不足,主要有计算模型的合理选择困难;地震波输入的不确定性;在计算过程中要进行刚度矩阵等的不断修正,每一时刻的结果都受到此刻之前的结果的影响等,导致计算分析工作量较大。

虽然目前在结构弹塑性时程分析时,结构动力增量微分方程已有较为成熟的算法以及相关的大型分析软件可以利用,但是其计算分析工作量仍然十分繁重,不但耗费机时,结果处理复杂,而且同计算者本身的经验和对结构在地震作用下的损伤形态和破坏顺序的
假定相关,这些都带有一定的主观性。

但是随着计算机的普及,时程分析法正逐步被抗震规范接受。

本文在详细阐述了时程分析法基本原理基础上,结合m a t -l a b 语言编制了时程分析法求解建筑结构地震响应的计算程序,并以一三层钢筋混凝土结构为例进行验证。

2　时程分析法基本原理
2.1　结构在地震作用下的动力微分方程
多自由度体系建筑结构在地震作用下的运动运动微分方程为
[M ]{x ··
}+[C ]{x ·
}+[K ]{x }=-[M ]{x ··
g }
(1)
其中,[M ],[C ],[K ]分别为建筑结构质量、阻尼和刚度矩阵,{x ··
g }为地面运动加速度。

2.2　建筑结构的计算模型
建筑结构计算模型一般应根据结构形式及构造特点、分析精度以及计算机容量等情况确定。

用时程分析法求解时,由于计算工作量大,在尽量真实再现结构动力反应特点的前提下,尽可能对结构予以简化。

对于传统的多层房屋结构,最简单且应用最广的模型是层间剪切模型,如图1所示,在这种模型中,房
屋的质量集中在各楼层,在振动过程中各楼层式中保持为水平,结构的变形表现为层间错动,各层的层间位移互不影响。

对于以剪切变形为主的结构,一般都可以采用这种模型,如多层砖房以及横梁线刚度远比柱线刚度大的强梁弱柱型框架结构.但是对于强柱弱梁型的框架结构,用这种模型计算时误差较大,但有时为了简化计算,对于各跨相等的底层框架和建筑物宽度远大于高度的多层框架结构亦可以近似地应用。

图1　层间剪切型模型计算简图　图2　杆系模型计算简图
为了精确计算可以采用如图2所示的杆系模型。

该模型假定楼板在自身平面内为绝对刚性,以构件作为基本杆件单元而将梁柱简化为以中性轴表示的无质量杆,将质量集中于各结点,利用构件连接处的变形协调条件建立各构件变形关系,利用构件的恢复力特性集成整个结构的弹塑性刚度
[1]
,然后采用数值积
分方法对结构进行地震反应分析。

这种模型一般适用于强柱弱梁的框架结构,可以用它来求出地震过程中各杆逐渐开裂并进入塑性阶段的过程以及整个结构的影响,但是计算较繁。

我国《建筑抗震设计规范》(G B 50011-2001)规定,规则结构可以使用平面杆系模型计算罕遇烈度地震作用下的结构弹塑性变形,对于不规则结构应采用空间杆系结构模型。

2.3　输入地震波的选择
2.3.1　选波意义,结构的地震反应是输入地震和结构自身的动力特性共同作用的结果。

在采用时程分析法求解结构地震反应时,需要首先确定输入结构的地震地面运动加速度。

而观测结果表明,地震波具有强烈的随机性,结构的弹塑性时程分析结果也表明,结构的地震反应随输入地震波的不同会有很大不同,误差有时会高达几倍至几十倍,所以要保证时程分析结果的可靠性,必须正确合理地选择地震波。

2.3.2　选择方法及选用数量,目前关于地震波的选择有三种方法:(1)拟建场地的实际地震记录。

(2)过去典型的强震记录。

(3)人工合成场地地震波。

过去典型强震记录常用的主要有E l c e n t r o 波、T a f t 波、天津波等。

在选择时应充分考虑地震动三要
素。

即对于振幅,首先要考虑该被选择的地震与所考虑设防的地震有较好的相似性,有足够大的幅值及其峰值加速度应与设计烈度相当;其次,记录地点的地基土质条件与拟建场地土质条件宜相近。

对于频谱选择,应该使所选地震波的卓越周期尽可能与拟建场地的地震周期一致,并且所选地震波的震中距尽可能与拟建场地震中距一致。

对于强震持时,工程实践中确定持时的原则是应使地震记录最强烈部分包括在持时之内、若对结构仅进行弹性最大地震反应分析,持续时间可取短些;若对结构进行弹塑性最大地震反应分析,持时应取长些、一般可以取持时为结构基本周期的5～10倍。

人工合成场地地震波是根据随机振动理论产生的符合所需统计特征的地震波。

对于人工地震波的
选择主要有三点要求,(1)人工地震波加速度峰值与设计烈度相当.(2)人工地震波的反应谱尽可能与规范规定的相应场地上的反应谱特征相近.(3)人工地震波的总持续时间和强震的平稳段持续时间应与按建筑场地的地震地质背景资料确定的相符。

研究表明,在充分考虑地震动三要素情况下,采用3～5条地震波可基本上保证时程分析结果的合理性。

我国《建筑抗震设计规范》(G B 50011-2001)规定至少选择两条实际地震波和一条人工波[2]。

2.4　恢复力模型
国内外已提出许多结构及构件的恢复力模型,其中最常用的恢复力模型主要有双线性模型(兰伯格-奥斯古德模型)和克拉夫、武腾青等提出的三线型刚度退化模型。

根据构件的不同材料及不同力学特性,可以选用不同的更接近构件实际受力特性的计算模型。

如对钢结构时程分析时可以采用最简单的双线型恢复力模型(见图3);对以受弯为主的钢筋混凝土构件则可以采用三线型刚度退化恢复力模型(见图4)。

图3　双线型恢复力模型 图4　退化三线型恢复力模型
2.5　地震反应的数值模拟
在地震反应运动方程⑴中,地震地面运动加速度是一系列复杂的随机函数,同时在弹塑性反应中刚度
图5　逐步积分法地震动输入
矩阵与阻尼矩阵亦随时间变化,因此不可能求出解析解,而只能采取数值分析方法求解。

所以常将式⑴转变成下面的增量方程式。

[M ]{■x ··
}+[C ]{■x ·
}+[K ]{■x }=-[M ]{■x ··g }
⑵
图6　弹性时程分析法程序设计框图
对于上式⑵需用逐步积分法求解。

即将时间转化成一系列微小时间段■t ,在■t 时间内可采取一些假设,从而对增量方程⑵直接积分得出地震反应增量。

以该步的终态值作为下一时间段的初始值,逐步积分,可求得结构在地震作用下振动反应的全过程。

根据对于时间段内加速度变化所作的假设不同,就形成了不同的逐步积分法。

常用的主要有线性加速度法、W i l s o n -θ法、N e w m a r k -β法等。

3　时程分析法的M a t l a b 编程实现
建筑结构是一个庞大而又复杂的非线性结构,要想对其进行精确的动力反应分析,必须依靠计算机来处理。

然而,不同的计算机语言直接影响着编程的繁琐和解决问题的快慢程度。

与传统的F O R T R A N 和C 等高级语言相比,M A T L A B 语言用直观的、符合人们思维习惯的代码,代替了C 语言和F O R -T R A N 语言的冗长代码,使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来,给用户带来了最直观最简洁的程序开发环境。

将M A T L A B 语言编
写用于求解地震反应的弹性时程分析法的程序,其M A T L A B 程序框图,如图6所示。

4　工程实例
工程概况,某三层钢筋混凝土结构,结构的特性参数为:第一至第三层质量m =2762k g ,2760k g ,2300k g ,第一至第三层刚度k=2.485×104
N /m ,
1.920×104N /m ,1.522×104
N /m 。

地震波采用加速度峰值为200g a l 的E l -C e n t r o 波,采样周期为0.02s 。

算模型及分析方法:采用上述层间剪切模型,利用弹性时程分析法,地震反应的求解过程采用W i l s o n -u 法,按照前述的程序设计框图,编制了M A T L A B 程序,计算结果见表1及图7。

从计算耗时角度看,在保证计算结果可靠性的基础上,基于m a t l a b 语言求解结构地震反应的动力时程分析法所用时间比用其它语言编制的计算程序所用时间短,这主要是因为m a t l a b 语言本身具有强大的以矩阵计算为基础的数值计算功能,因而更适合求解结构特征值问题。

能从根本上缩短计算时间,提高了时程分析法的计算效率。

表1　钢筋混凝土结构的自振周期振型号123自振频率
4.1041
10.4906〗
14.
9514
图7　顶层位移反应
5　结语
本文在简要分析时程分析法基本原理的基础上,阐述了用时程分析法求解结构地震反应的几个关键环节,然后利用简洁高效的M a t l a b 语言对时程分析法进行了编程实现,并以一三层钢筋混凝土结构为例运用编制的程序进行了计算。

结果表明,基于m a t l a b 语言求解结构地震反应的时程分析法所用时间比用其它语言编制的计算程序所用时间短,这主要是因为m a t l a b 语言更适合求解结构特征值问题,因而从根本上缩短了计算时间,提高了时程分析法的计算效率。

参考文献
[1]刘晶波,杜修力.结构动力学[M ].北京:机械工业出版社,2006.
[2]胡聿贤著.地震工程学[M ].北京:地震出版社,2006.。