2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点(苏科版)：一元一次不等式的认识与解法(解析版)

专题08一元一次不等式的认识与解法
一、生活中的不等式
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号读法意义
“≠”读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能
确定哪个大，哪个小
“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小
“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大
“≤”读作“小于或等
于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”读作“大于或等
于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
二、不等式的解及解集
不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解是一个集合，是一个范围．
集其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集
中
不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x＞a 或x≥a 向右画；对边界点a 而言，x＜a 或x≤a 向左画．
注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c )．不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c )．不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
四、解一元一次不等式
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
一元一次不等式的解法
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x （或a x ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)
去括号；(3)移项；(4)化为ax b （或ax b ）的形式（其中0a ）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
类型一、一元一次不等式中取整
【融会贯通】
类型二、一元一次不等式中最值
【解惑】（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）已知n 为正整数，若一个三角形的三边边长分别是n 、2n 、5n ，则满足条件的三角形中周长最短的为（
）A ．13
B ．16
C ．19
D ．22
【答案】C 【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，求得n 的最小整数解为4，即可求解．
【详解】解：∵
5252n n n n n 即327
n n ∴n 的最小整数解为4，
∴三角形三边分别为4,6,9，周长为46919 ，
故选：C ．
【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【融会贯通】
1.（2023春·全国·七年级专题练习）若3x y ，0x ，0y ，则23x y 的最小值为（）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．9【答案】C
【分析】把问题转化为236236x y y y y ，利用不等式的性质解决最值问题．
【详解】解：3x y ∵，3x y ，
∴23=623=6x y y y y ，
0x ∵，
30y ，即3y ，
03y ∵，
∴669y ，
即6239x y ，
0y 时，23x y 的值最小，最小值为6．
故选：C ．
类型三、一元一次不等式中特殊不等式【解惑】
所以a 到1和2的距离之和最小值是1．
【问题解决】
(1)36a a 的几何意义是______；请你结合数轴探究：36a a 的最小值是______
当a在3和6之间（包括在3，6上），可以得到a到
当a在6的右边，从图中很明显可以看出a到3和6的距离之和大于
所以a到3和6的距离之和最小值是3，
故答案为：a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；（3）解：当a在3和4之间（包括在3，4上）
(1)不等式 0x a a 的解集为______；
【实际应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A 、B 两种方案可供选择，A 方案：每次按原价打八五折；B 方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x 、y 、z 满足257x y z ，2x y z ，比较代数式22x y 与22z 的大小．
【答案】（1） ；（2）12S S （3）当04x 时，A 方案合算；当4x 时，此时两个方案的总价相同；当>4x 时，B 方案合算；（4）222
2x y z 【分析】（1）做x -1与2+x 的差，再根据差的正负性即可判断；（2）分别用m 表示12S S 、，然后计算12S S 、的差的正负性，即可得到答案；（3）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可；（4）先将z 看作常数，解关于x 、y 的二元一次方程组，然后带入并作差，根据差的正负性即可得到答案；
【详解】解：（1）根据材料得，1(2)30x x ∴12x x
故填 ；
（2）由图知：21(7)(1)87S m m m m =++=++22(4)(2)68
S m m m m =++=++∴221287(68)21
S S m m m m m ∵m 是正整数
∴m 1
∴2110
m ∴12
S S （3）设原价为a （0a ），去的次数为x （x 为正整数），总价分别为A B w w 、根据题意可知：0.85A w ax ，0.8(1)B w a a x
0.85[0.8(1)]0.05(4)
A B w w ax a a x a x -∵0a ，x 为正整数，
∴当04x 时，0A B w w ，故A B w w ，此时A 方案合算；当4x 时，0A B w w ，故A B w w ，此时两个方案的总价相同；当>4x 时，0A B w w ，故A B w w ，此时B 方案合算；
（4）由257x y z 、2x y z 得257x y z 、2x y z ，联立方程组并解得1
23
x z y z
∴2222x y z =222(1)(23)2z z z =2251085(1)330z z z ∴222
2x y z 【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了二元一次方程组，不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键．类型四、一元一次不等式与二元一次方程中的取值范围【解惑】
8k ，
故选C ．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x 与y 的和是解题关键．【融会贯通】
1．
（2023·山东滨州·模拟预测）关于x ，y 的方程组33
331x y k x y k
的解，满足4x y ，则k 的取值范围是()
A ．5k
B ．5
k C ．5
k D ．5
k 【答案】C
【分析】将2个方程相加得出1x y k ，根据不等式的解集的情况，得出14k ，进而即可求解．
【详解】解：33331x y k x y k
①
②
由 ①②得：4444x y k ∴1x y k ，∵4x y ，∴14k 解得：5k ，故选：C ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出x y 的表达式是解答此题的关键．2．
（2023春·全国·七年级专题练习）关于x ，y 的方程组223
2x y k x y k
的解中x 与y 的和不小于5，则k 的取值范围为______．【答案】8
k 【分析】把两个方程相减，可得3x y k ，x 与y 的和不小于5，即可求出答案．【详解】把两个方程相减，可得3
x y k ∵x 与y 的和不小于5
35
k 解得：8
k
类型五、一元一次不等式与二元一次方程中整数解【解惑】
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x 、y 的二元一次方程组221
22x y m x y m
的解满足2x y ，则m 的最大整数值为m ______．【答案】2
【分析】 ②①，得1x y m ，根据2x y 得出关于m 的不等式，求得最大整数解即可求解．
【详解】解：22122x y m x y m
①
②，
②①，得1x y m ，
∵2x y ，∴12m ，∴1m ．
m 的最大整数值为m -2故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
2．
（2023秋·山东济南·八年级统考期末）若关于x 和y 的二元一次方程组24
232
x y x y m ，满足>0x y ，那么整数m 的最大值是______．【答案】1
类型六、一元一次不等式的新定义
【解惑】
（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）定义一种运算：a b a ab
，例如：
323323 ，根据上述定义，不等式组2422
x x 的解集是______．【答案】23
x 【分析】根据a b a ab ，可以将不等式组不等式组2422x x 可以转化为22422x x x
，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，不等式组2422x x 可以转化为22422x x x
，解得23x ，
故答案为：23x ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组．
x ，数轴见详解
【答案】1
【分析】根据题意给出的运算规则列出不等式求解，然后把解集表示在数轴上即可．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】定义：数轴上给定不重合两点
数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点
∴ 55MA m m ，MB b m ，
∵点M 可以为点A 与点B 的“双倍绝对点”，
∴2MA MB ，
5222m b m b m
(1)如图，点123B B B ，，中，是点A 的2可达点；
故答案为：4（2k 即可）；
②若点C 为点A 的2可达点，则1212m m
，解得：13m ≤≤．
故答案为：13m ≤≤；
（3）①当0m 时，点D 在点C 左侧，
∴123m ，
解得：1m ，
∴10m ；
②当01m 时，022m ，
此时都符合题意；
③当m 1 时，点D 在点C 右侧，
∴213m ，
解得：2m ，
∴12m ．
综上：m 的取值范围是12m ．
故答案为：12m ．
【点睛】本题考查数轴上了两点间的距离的表示方法以及新定义，关键是对新定义的理解和掌握．
类型七、一元一次不等式中含参解集
【解惑】
【融会贯通】
1．（2023春·七年级课时练习）若(m−1)x (m−1)的解集是x＜1，则m的取值范围是（）．A．m 1B．m 1C．m 1D．m 1
【答案】C
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的取值范围．
【详解】解：∵不等式(m−1)x (m−1)的解集为x＜1，
∴m-1＜0，
∴m＜1，
故选：C．
类型八、参数x与y的和差范围
【解惑】
（2023春·七年级单元测试）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a．
(1)若两个不等式解集相同，求a的值；
(2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围．
【答案】(1)a=1；
(2)a≥1．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a 的值即可；
（2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可．
【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2，
由−1+x<a得：x＜a+1，
由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，
解得：a=1；
（2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，
得到2≤a+1，
解得：a≥1．
【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．【融会贯通】
1．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0
解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2，
又∵x＞1∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0①
∴﹣1+2＜y+2＜0+2
即1＜x＜2②
式的同号可加性，即可求出x +2y 的取值范围；
（3）仿照阅读材料分情况讨论出x 、y 的取值范围，再可以利用不等式的同号可加性，即可求出x −2y 的取值范围；
【详解】（1）解：∵2x y ，
∴2x y =，
又∵1x ，
∴21y ，
∴1y ，
又∵0y ，
∴10y ，
∴220y ①，
∵2x y ，
∴2y x ，
又∵0y ，
∴20x ，
∴2x ，
又∵1x ，
∴12x ，②，
由①+②得：21202x y ，
即：122x y ，
故答案为：122x y ；
（2）①∵5x y ，
∴5x y ，
∵2x ，
∴52y ，
∴3y ，
又∵0y ，
∴30y ；
②∵30y ，
∴620y ①，
∵5x y ，
∴5y x ，
又∵0y ，
∴50x ，
∴5x ，
又∵2x ，
∴25x ，②，
由①+②得：62205x y ，
即：425x y ；
（3）∵=x y a ，
∴x a y =，
又∵1x ，
∴1a y ，
∴1y a ，
又∵1
y ∴当0a 时，11a ，则1y a ，故222y a ①，
当0a 时，11a ，则1y ，故22y ②，
当=0a 时，11a ，则1y ，故22y ③，
∵=x y a ，
∴y a x ，
又∵1y ，
∴1a x ，
∴1x a ，
又∵1x ，
∴当0a 时，11a ，则1x ④，
当0a 时，11a ，则1x a ⑤，
当=0a 时，11a ，则1x ⑥，
∴当0a 时，①+④得，则1222x y a ，即232x a y ，
当0a 时，②+⑤得，则122a x y ，即23x y a ，
当=0a 时，③+⑥得，则122x y ，即23x y ．
故答案为：当0a 时，232x a y ；当0a 时，23x y a ；当=0a 时，23x y ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，二元一次方程的解，理解例题的解题思路，和注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件是解题的关键．3．
（2022春·广东汕头·七年级统考期末）阅读下列材料：解答“已知x －y ＝2，且x >1，y <0，试确定x ＋y 的取值范围”有如下解法：
解：∵x －y ＝2，∴x ＝y ＋2又∵x >1，∴y ＋2>1，∴y >－1．
又∵y <0，∴－1<y <0…①．
同理可得1<x <2…②．
由①＋②得：－1＋1<x ＋y <0＋2．
∴x ＋y 的取值范围是0<x ＋y <2．
按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x －y ＝3，且x >2，y <1，则x ＋y 的取值范围是______；
(2)已知关于x ，y 的方程组325233x y a x y a
的解都是正数，求a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若a －b ＝4，b <2，求2a ＋3b 的取值范围．
【答案】(1)1＜x +y ＜5
(2)a ＞1
(3)72318
a b 【分析】（1）模仿阅读材料解答即可；
（2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a 的不等式组解出即可；
（3）分别求出2a 、3b 的取值范围，相加可得结论．
（1）解：∵x -y =3，∴x =y +3，∵x ＞2，∴y +3＞2，∴y ＞-1，又∵y ＜1，∴-1＜y ＜1…①，同理可得2＜x ＜4…②，由①+②得：-1+2＜x +y ＜1+4，∴x +y 的取值范围是1＜x +y ＜5，故答案为：1＜x +y ＜5；
（2）解：解方程组325233x y a x y a ，得12x a y a
，∵该方程组的解都是正数，∴x ＞0，y ＞0，∴1020a a
，解不等式组得：a ＞1，∴a 的取值范围为：a ＞1；（3）解：∵a －b =4，b <2，∴42b a ，∴6a ，由（2）得，a ＞1，∴16a ，
∴2212a …①，又∵4a b ，∴4b a ，∵14464a ，∴32b ，∴936b …②，由①+②得：2923126a b ，∴2a ＋3b 的取值范围是72318a b ．
【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键．
4．
（2022春·山东济宁·七年级统考期末）【提出问题】已知2x y ，且1x ，0y ，试确定x y 的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用y 去表示x ，然后根据题中已知x 的取值范围，构建y 的不等式，从而确定y 的取值范围，同理再确定x 的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．
【解决问题】解：2x y ∵，2x y ．
1x ∵，21y ，1y ．
0y ∵，10y ，①
同理，得12x ．②
由 ①②，得1102y x ，
x y 的取值范围是02x y ．
【尝试应用】（1）已知3x y ，且1x ，1y ，求x y 的取值范围；
（2）已知1y ，1x ，若x y a 成立，求x y 的取值范围(结果用含a 的式子表示)．
【答案】（1）11x y ；（2）当2a 时，22a x y a
【分析】（1）仿照例子，运算求解即可；
（2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a 的取值范围即当2a 时，关于x 、y 的不等式存在解集，然后运算求解即可．
【详解】（1）解：∵3x y ，
∴3x y ，
∵1x ，
∴31y ，
∴2y ，
∵1y ，
∴12y ，①
同理，得2<<1x ，②。