高一数学解三角形训练卷

高一数学解三角形训练
班级：___________ 学号：___________ 姓名：___________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1． 在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π
2
－B )，则△ABC 的形状是
( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
2． 在△ABC 中，sin A ＝3
4
，a ＝10，则边长c 的取值范围是
( )
A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)
D.⎝
⎛⎦⎤0，40
3 3． 在△ABC 中，若a ＝
5
2
b ，A ＝2B ，则cos B 等于
( )
A.5
3
B.
5
4
C.5
5
D.56
4． 已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于
( )
A ．30°或150°
B ．30°或60°
C ．60°或120°
D ．60°或150°
5． 在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是
( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
6． 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于
( )
A ．2 5
B. 5
C ．25或 5
D ．以上都不对
7． 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是
( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0
D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞
8． △ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为1
3
，则其外接圆的直径为
( )
A.922
B.924
C.928
D ．9 2
9． 在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin C
cos B ＋cos C
，则△ABC 为
( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰或直角三角形
10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )
A ．△A 1
B 1
C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 11．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是
( )
A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解
B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解
C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解
D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 12．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于
( )
A.21
B.106
C.69
D.154
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．
14．已知△ABC 中，3a 2—2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C =________．
15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 16．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝
________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35
.
(1)若b ＝4，求sin A 的值；
(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值．
18．(12分) 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－4
5，求cos 2A 的值．
19．(12分) 已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α), α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫
α2＋π3的值．
20．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45
.
(1)求sin 2
B ＋C
2
＋cos 2A 的值； (2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .
21．(12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .
(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．
22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p
＝(b －2，a －2)．
(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；
(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π
3
，求△ABC 的面积．
高一数学解三角形参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．答案 B
解析 原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 2． 答案 D
解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤40
3.
3．答案 B
解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝5
4.
4． 答案 A
解析 根据正弦定理得a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝1
2，∵0°<A <180°，∴A ＝30°或150°.
5．答案 C
解析 由cos A cos B >sin A sin B ，得cos A cos B －sin A sin B ＝cos (A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角． 6．答案 C
解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c 2－215×c ×
3
2
. 化简得c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0，∴c ＝25或c ＝ 5. 7． 答案 D
解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧
m (2k ＋1)>2mk 3mk >m (k ＋1)
，∴k >1
2.
8． 答案 B
解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×1
3
，
∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝92
4
.
9．答案 C
解析 由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C sin A ，由正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c
a ，
即a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )⇒a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形． 10．答案 D
解析 △A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形， 若△A 2B 2C 2是锐角三角形，由
⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭
⎫π
2－A 1sin B 2
＝cos B 1
＝sin ⎝⎛⎭
⎫π2－B 1
sin C 2
＝cos C 1
＝sin ⎝⎛⎭
⎫π2－C 1
，得⎩⎪⎨⎪⎧
A 2＝π2
－A 1
B 2＝π
2－B
1
C 2
＝π2－C
1
，
那么，A 2＋B 2＋C 2＝π
2，矛盾，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．
11．答案 D
解析 A 中，∵a sin A ＝b
sin B ，∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；
B 中，∵sin
C ＝20sin 60°18＝53
9，且c >b ，∴C >B ，故有两解；
C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21， 即有解，故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D. 12．答案 B
解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a
2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ，
即72＝14a 2＋42－2×a
2
×4·cos ∠AMB
①
在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a
2
·cos ∠AMB
②
①＋②得72＋62＝42＋42＋1
2a 2，∴a ＝106.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案
2＋1
解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π
4)＋1，∴y max ＝2＋1.
14．答案 1
3
解析 由3a 2—2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－2
3ab .根据余弦定理，得
cos C ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋2
3ab
2ab ＝13，所以cos C ＝1
3
.
15．答案
2π3
解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，
则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3,cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π
3
.
16．答案 1
解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝1
2.
又a <b .∴A ＝π6，C ＝π
2.∴sin C ＝1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝b
sin B
，
所以sin A ＝a b sin B ＝2
5
.
(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4
5
c ＝4，∴c ＝5.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3
5
＝17，∴b ＝17.
18．解 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π，∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝3
5.
∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝3
5.
∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )]＝35×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－45×45＝725.∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527
625. 19．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.∵cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－43或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，∴tan α＝12(舍去)．∴tan α＝－4
3. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α
2
＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×3
2＝－25＋1510. 20．解 (1)sin 2
B ＋
C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝59
50
. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×3
5，解得c ＝5.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×4
5＝13，∴a ＝13.
21．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ，∴cos A ＝6
3
.
(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×
6
3
则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π
2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．
∴c ＝3舍去．故c 的值为5.
22．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，由正弦定理得a 2＝b 2，∴a ＝b .
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab. 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝1
2ab sin C＝
1
2×4×sin
π
3＝ 3.。