四川省泸县第一中学2021届上学期高三年级开学考试数学试卷(文科)

四川省泸县第一中学2021届上学期高三年级开学考试数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(12)(2)i i ++= A ．45i +
B ．5i
C ．-5i
D ．23i +
2．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB →
= A ．2CD CA +
B ．2CD CA -
C ．2C
D CA -
D ．2CD CA +
3．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为 A ．
3
4
B ．
712
C ．
23
D ．
56
4．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知函数()21x
f x x =--，则不等式()0f x >的解集是
A ．(1,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(0,1)
D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞
6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%
D ．42%
7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b
-=>>，过抛物线2
4y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐
近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为
A ．22
144x y -=
B ．2
214
y x -=
C ．2214
x y -=
D ．22
1x y -=
8．已知2tan θ–tan θπ
4
=7，则tan θ= A ．–2
B ．–1
C ．1
D ．2
9．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f A ．是偶函数，且在1(,)2
+∞单调递增
B ．是奇函数，且在11(,)22
-单调递减
C ．是偶函数，且在1
(,)2
-∞-单调递增
D ．是奇函数，且在1
(,)2
-∞-单调递减
10．若2233x y x y ---<-，则
A ．ln(1)0y x -+>
B ．ln(1)0y x -+<
C ．ln ||0x y ->
D ．ln ||0x y -<
11．设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）ω＞0，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[
1229510
， 其中所有正确结论的编号是 A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9
f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
D ．8,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________．
14C ：y 2=4的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
16．设12F F ，为椭圆22
:+13620
x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限若12MF F △为等腰三角形，
则M 的坐标为___________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．12分某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据i ，y i i =1，2，…，20，其中i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积单位：公顷和这种野生动物的数量，并计算得
20
1
60i i
x
==∑，201
1200i i y ==∑，202
1
)80i i x x =-=∑（，202
1
)9000i i y y =-=∑
（，20
1
))800i i i x y x y =--=∑（（ （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本i，y i i=1，2，…，20的相关系数（精确到）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由
附：相关系数r
=1
22
11
))
))
n
i
i i
i i
n n
i i
x y
x
x y
y
y
x
=
==
--
--
∑
∑∑
（（
（（
，≈
18．12分ABC
∆的内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，已知sin sin
2
A C
a b A
+
=．
（1）求B；
（2）若ABC
∆为锐角三角形，且1
c=，求ABC
∆面积的取值范围．
19．12分如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11
E BB C C
-的体积．
20．12分已知函数()sin ln(1)
f x x x
=-+，()
f x
'为()
f x的导数．证明：
（1）()
f x
'在区间(1,)
2
π
-存在唯一极大值点；
（2）()
f x有且仅有2个零点．
21．12分已知抛物线C：2y=2P，直线QM QO
λ
=QN QO
μ
=
11
λμ
+xOy O
cos
sin
x
y
，
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
θ(0，αl O A B
，αAB P()11
f x x ax
=+--1
a=()1
f x>()
0,1
x∈()
f x x
>a
4
116
3
( 20
1
11
120060
2020
i
i
y
=
=⨯=
∑2006012000
⨯=(,)
i i
x y
20
()()
0.94
3
i i
x x y y
r
--
===≈
∑
sin sin
2
A C
a b A
+
=
sin sin sin sin
2
A C
A B A
+
=0Aπ
<<sin0
A>sin A sin sin
2
A C
B
+
=0<Bπ
<0
2
A C
π
+
<< 2
A C
B
+
=
2
A C
Bπ
+
+=A B Cπ
++=
2
A C
Bπ
+
+=
2
A C
B
+
=A B Cπ
++=3Bπ
=
3
B
π
=ABC
3B π=A B C π++=23A C π+=02
2032C C πππ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
62C ππ<<sin sin a c A C =1
c =222sin()
111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C C π
-=⋅=⋅=⋅=⋅22sin cos cos sin 3321231333(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+3,tan 623C C ππ<<>3313388tan 82C <+<3382
ABC S <<ABC S 33(,)82⊂11B C BE ⊥1BE EC ⊥11EB C 1145AEB A EB ︒∠=∠=126AA AE ==1EF BB ⊥11BB C C 3EF AB ==11E BB C C -1
36318
3
V =⨯⨯⨯=()f x ()1,-+∞()1cos 1f x x x '=-
+()1cos 1g x x x =-+1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭()()21
sin 1g x x x '∴=-+
+1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭()211x +1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin x -，1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x '∴1,2π⎛⎫
- ⎪⎝⎭()0sin0110g '=-+=>()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭
()00g x '=∴()01,x x ∈-()0g x '>0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
()0g x '<()g x ()01,x -0,2x π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
0x x =()g x ()f x '1,2π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
x ()1
cos 1
f x x x '=-
+()1,x ∈-+∞(]1,0x ∈-()f x '(]1,0-()()00f x f ''∴≤=()f x ∴(]1,0-()00
f =0x ∴=()f x (]1,0-0,2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
()f x '()00,x 0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭()00f '=()00f x '∴>()f x ∴()
00,x ()()00f x f >=22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-
=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭()10f x '=()f x ∴()01,x x 1,2x π⎛⎫
⎪⎝⎭()()000f x f >=2sin ln 1ln
ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
()0f x ∴>0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦sin x ()ln 1x -+()f x ∴,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦02f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭
()f x ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴()f x ,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(),x π∈+∞[]sin 1,1x ∈-()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<()f x (),π+∞()f x 2241y x y kx ⎧=⎨=+⎩
()222410k x k x +-+=()2224410k k ∆=--⨯⨯>122
24
k x x k -+=-122
1x x k
=()112211y y x x --=--的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．
同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-．
由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．
所以()()()2212121212122
224211111111=21111111
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=
+=+=⋅=⋅------ 所以
1
1
λ
μ
+
为定值．
22．解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2
π
α=
时，l 与
O 交于两点．
当2
π
α≠
时，记tan k α=，则l
的方程为y kx =l 与
O
1<，解得1k <-或
1k >，即,42ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
或3,
24ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
． 综上，α的取值范围是3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
． （2）l
的参数方程为,
(x tcos t y tsin αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，344ππα<< )．
设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2
A B
P t t t +=
，且A t ，B t
满足2sin 10t α-+=．
于是A B t t α+=
，P t α=．又点P 的坐标(),x y
满足,
.P P x t cos y t sin αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
所以点P
的轨迹的参数方程是2,2x y αα
⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩
(α为参数，344ππα<< )．
23．解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,
2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；
若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．。