一道数学奥林匹克问题的推广0610

2 2
∏
2
∏
∏
( n - 1) ∏
a ·( n + n + 1) ·
≥ 3
∏( a + a + 1)
14
中 等 数 学
一道数学奥林匹克问题的推广
朱 纯 刚
(湖南省常德市第一中学 ,415000)
2006 年《中等数学》第三期的《数学奥林
匹克问题》栏目提出了下面的问题 :
已知 x 、y 、z ∈R + , x + y + z = 1. 求证 :
n
2
i
i
i = 1
n
a
= ∏ a 2 + i +
+
a i + 1 + +
1
1 - x x
2 1 - y y
2 1 - z 26 .
z
3 i = 1
n
i
n
n n n 2
n
2 n 个
本文给出式 ①的变量个数推广形式和指 ≥ ∏ ( n 2
+ n + 1) 数推广形式及相应的证明.
1
式 ①的变量个数推广形式
i = 1
= ( n 2
+ n + 1)
n
1
n
2 n 2
+ n
n 2
n + n + 1
·
命题 1 设 a i > 0 ( i = 1 ,2 ,
, n ) , n ≥2
n
n
a i
i = 1
n + 2
n + n + 1
,
( n ∈N ) ,
∑a
i
= 1. 则
n
1
i = 1 则 ∏ a 2 - a i
n
1
3
3
i
∏
- a i ≥ n - 1 .
n
n
i = 1
a n
∏(1 - a i
) ∏( a i
+ a i
+ 1)
n
n =
i = 1
i = 1 证明 :因为 ∏
(1 - a i ) ≥( n - 1) n
∏
a i ,
n
a i i = 1
i = 1
≤n - n ,
i = 1
n
≥
a i
i = 1
n - 2
n
2 n
i
i = 1
b 2
- b - 1
≡(4 r + 4) k 2 + 4 k 3 + (2 r - 1) k + r 2 - r - 1 ≡k (4 k 2 - 5) + (4 r + 4) k 2 +
(2 r + 4) k + r 2
- r - 1
≡[ (4 r + 4) k 2 + (2 r + 4) k +
r 2
- r - 1 ] (mod m ) .
取 r = - 2 , 则
b 2
- b - 1
≡- 4 k 2 + 5 + (2 r + 4) k + r 2 - r - 6
= - k 2
+ 5
≡0 (mod 4 k 2 - 5) .
于 是 , b = 2 k 2
+ k - 2.
有了这个构造 ,下面的证明就容易了 ,见文[ 1 ] .
参考文献 :
[1]
] 李建泉译. 第 45 届 IMO 预选题 ( 下) (J ) . 中等数
学 , 2005 (11) .
2 a n + 2
i
2
n
2 n + n
1
2
n + n + 1
n
∏
2
a i
i = 1
①
3 n - 1 3
∏ 2
n
2 3 + 4
n
2
- 2006 年第 10 期 15
3
2
故( x n - 1 + x n - 2
+ + 1) ·
( n 3
= - 1) n
- 2 n - n
n n
+ n + 1 2
( y n - 1
+ y
n - 2
+ + 1) · a i i = 1
n - 1
2
n + n + 1
- 2
3
2
( z
n - 1
+ z
n - 2
+
+ 1)
2 s ≥( n 3
3 n - n
- 1) n n + n + 1 3
n + n
n n + n + 1
n
≥ 3 n
- 1
2 = n - 1 .
n
2
式 ①的指数推广形式
命题 2 设 n ≥3 ( n ∈N ) , x 、 y 、 z > 0 ,
x + y + z = 1. 则
1 - x 1 - y 1 - z
= (1 - x ) ( x
n - 1
+ x
n - 2
+ + 1) ·
(1 - y ) ( y n - 1 + y n - 2
+ + 1) (1 - z ) · ( z n - 1 + z n - 2 + + 1) ( xyz ) - ( n - 1)
x
n - 1
≥ 3 n
- 1 3
y n - 1 3
.
z
n - 1
≥8 ( x n - 1 + x n - 2 +
+ 1) · ( y
n - 1
+ y
n - 2
+
+ 1) · 证明 :因 x
n - 1 + x
n - 2 +
+ x + 1 ( z
n - 1
+ z
n - 2
+
+ 1) ( xyz )
- ( n - 2)
n - 1 x n - 2
x
n - 2
x
n - 2
- 6 t
2 s - + 2
= x + 3
+
3
+
3
+
x
n - 3 x n - 3 +
+ +
+
≥(3 n - 1) 3 ×3
( n )
3 3 n
- 1
( xyz ) 3
n
- 1
(2 n - 3) ×3 n + 1
+ 9
2 (
3 n - 1)
(
5
n ×3 n
) 2 3 n
- 1 3
2
32 2
= 3 - 1 ×3
n + 1
xyz
15
n ×3
n + 1
3
个 x
x
1
1
≥(3n
- 1) 3
- (2 n - 3) ×3
+ 9
×3
2 (
3 n - 1) ×3
- 2 +
3 n
- 1
n - 2 + + n - 2 + n - 1 + + n - 1 n + 1
n + 1
3
3 3
3
- (2 n - 3) ×3
+ 9 - 15 + n ×3
3
n - 2
个
≥(30 + 31 +
+ 3
n - 1
) ·
3
n - 1
个
= (3 n
n - 1) 3
×3 3 - 3
2 (
3 n
- 1)
2
3 n - 1
3
n - 1 + 3 ( n )
2
( n - 3) + + 3
n - 2
2 = (
3 - 1) ×3
= .
x
3
3 + 2 × 2
- 2 + 3
+ ( n - 2) 3 n - 2
+ ( n - 1) 3
n - 1
3 n
- 1
3 n
- 1 = 2
x s
3 t 2 3 n
- 1
,
其 中 ,s = n - 1 + 3( n - 2) + 32
( n - 3) +
+ 3
n - 2
n
=
3 - 2 n - 1 ,
t = 3 + 2 ×32
+ + ( n - 2) 3
n - 2
+
3
( xyz ) 3 n - 1
6 t
.
33
n
- 1
1 - y
y n - 1 1 - z
z
n - 1 1
n
n + n 2 2 n
∏ i = 1
a
i
n + 2 2
n + n + 1
= ( 2 n - 3) ×3 n
+ 3 4 .
从而 ,
1 - x
x
n - 1 n n n
= (1 - x ) (1 - y ) (1 - z ) ( xyz ) n - 1
n
2
n + n + 1
本刊 2006 年第 8 期《中国队获第 47 届 IMO 团体总分第一名》一文中 ,中国国家队队员柳智宇所在学校应为华中师大
一附中。

仅此更正并致歉。

正
更 - n
-
( n - 1) 3 n - 1。