四川省广元市那些年中学2020年高三数学文月考试题含解析

四川省广元市那些年中学2020年高三数学文月考试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8的展开式中，含x3的项的系数是（）A．121 B．﹣74 C．74 D．﹣121
参考答案：
D
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用等比数列的前n项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含x4的项的系数，即是代数式的含x3的项的系数．
【解答】解：（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8
=
=，
（1﹣x）5中x4的系数为，﹣（1﹣x）9中x4的系数为﹣C94=﹣126，
﹣126+5=﹣121．
故选：D
2. 对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所
得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
3. 已知为自然对数的底数，设函数，则( )
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．是的极大值点D．是的极大值点
参考答案：
4.
设i为虚数单位，则复数的虚部是
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 若，，且，则向量的夹角为（）
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
参考答案：
A
略
6. 若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】由z+zi=3+2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由z+zi=3+2i，
得=，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7. △ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是( )
A．12 B．10 C．8 D．不是定值
参考答案：
A
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】O为△ABC外接圆圆心，可取AB边中点E，AC边中点F，连接OD，OE，AO，从而有OD⊥AB，OE⊥AC，而，从而进行数量积的计算，便可得出该数量积的值．
【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：
OD⊥AB，OE⊥AC；
∴
=
=
=．
故选A．
【点评】考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系．
8. （理）函数,下列关于函数的零点个数的判断正确
的
是
（）A．无论为何值,均有2个零点 B．无论为何值,均有4个零点
C．当时,有3个零点；当时,有2个零点
D．当时,有4个零点；当时,有1个零点
参考答案：
D
9. 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
参考答案：
C
略
10. 若直线y=kx与圆（x﹣1）2+y2=1的两个交点关于直线x﹣y+b=0对称，则k，b的值分别为（）
A．k=﹣1，b=1 B．k=﹣1，b=﹣1 C．k=1，b=1 D．k=1，b=﹣1
参考答案：
B
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】由题意可得，圆心（1，0）在直线x﹣y+b=0上，由此求得得b的值；再根据直线y=kx与直线x﹣y+b=0垂直，可得k的值，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得，圆心（1，0）在直线x﹣y+b=0上，∴1﹣0+b=0，解得b=﹣1．再根据直线y=kx与直线x﹣y+b=0垂直，可得 k=﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，两条直线垂直的性质，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则的最小值是
参考答案：
由已知，∴
∴
当且仅当时，取最小值
12. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f(x)＝________.
参考答案：
－2x2＋2
略
13. （5分）函数y=sin2x+1的最小正周期为．
参考答案：
π
【考点】：三角函数的周期性及其求法．
【专题】：计算题．
【分析】：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．
解：由三角函数的周期公式可知，
函数y=sin2x+1的最小正周期为T=
故答案为π．
【点评】：本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．
14. 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短
距离为1，若点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，则的最小值为．
参考答案：
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；7G：基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距离为1，求出m，然后推出a，b的方程，利用基本不等式求解表达式的最值．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，圆心坐标（3，4），半径为5，
圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距离为1，
可得=6，解得m=﹣55．
点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，
可得3a+4b=55．
则=（）（3a+4b）= [7++]≥（7+）=．当且仅当3a2=4b2，a=取等号．
故答案为：．
15. 若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
参考答案：
-1
16. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，﹣
2），则sin2α=．
参考答案：
﹣
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】根据三角函数的定义，求出sinα和cosα，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：由三角函数的定义，
可得：sinα==，
cosα==，
那么sin2α=2sinαcosα=×2×=﹣．
故答案为：．
17. 经过点，并且与圆相切的直线方程是____________.
参考答案：
或
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
（Ⅰ）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
（17）（本小题满分13分）
方法一：
（Ⅰ）证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.
当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. ………5分
图①图②
（Ⅱ）如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，
且EF＝PQ.
在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，
于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．
同理可证四边形PQMN也是等腰梯形．
分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，
则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，
故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角．
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.
连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形．
连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.
在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，
OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，
由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝，
故存在λ＝，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．……13分
方法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．
图③
(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．…………2分
（Ⅰ）证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，
而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. ………6分
（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由
于是可取n＝(λ，－λ，1)．
同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，
则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，
即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝.
故存在λ＝，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．………13分19. （本小题满分1 0分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形么BDC内接于圆，BD= CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．
（I）求证：∠EAC＝2∠DCE；
（II）若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的长．
参考答案：
（Ⅰ）证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD．
所以∠ECD＝∠BCD，所以∠B CE＝2∠ECD．
因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD．…5分
（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．
因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．
由切割线定理得EC2＝AE?BE，即AB2＝AE?（ AE－AB），即
AB2＋2 AB－4＝0，解得AB＝－1．…10分
20. （18分）已知数列和的通项公式分别为，
（），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列。

（1）求；
（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。

参考答案：
⑴；
⑵①任意，设，则，即
②假设（矛盾），∴
∴在数列中．但不在数列中的项恰为。

⑶，
，，
∵
∴当时，依次有，……
∴。

21. (本题满分12分)已知函数在处取得极值2.
（）求函数的表达式;
（）当m满足什么条件时，函数在区间上单调递增？
参考答案：
(Ⅰ)因为，而函数f（x）=在x=1处取得极值是2，所以，即，解得．
故（）=即为所求．........6分
(Ⅱ)由（1）知=，令＞0，得﹣1＜＜
1，
∴的单调增区间为(﹣1，1)．
由已知得，解得﹣1＜≤0．
故当∈（﹣1，0]时，函数在区间（，2+1）上单调递增.........12分22. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）对如下数表，求的值；
（Ⅱ）证明：存在，使得，其中；
（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：．
参考答案：
（Ⅰ）解：，；，
，
所以
．
………………3分
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以，．
所以，其中．……………7分【注：数表不唯一】
（Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在，其中为奇数，使得．
因为，，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个，个，从而
．①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示，从而．②
①、②相互矛盾，从而不存在，使得．
即为奇数时，必有．………………13分
略。