16位CRC校验原理与算法分析

16位CRC校验原理与算法分析
2007-12-14 09:37
这里，不讨论CRC的纠错原理以及为什么要选下面提及的生成多项式，只是针对以下的生成多项式，如何获得CRC校验码，作一个比较详细的说明。

标准CRC生成多项式如下表：
名称生成多项式简记式* 标准引用
CRC-4 x4+x+1 3
ITU G.704
CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31
CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07
CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E
CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F
CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC
CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS
CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP
生成多项式的最高位固定的1，故在简记式中忽略最高位1了，如0x1021实际是
0x11021。

I、基本算法（人工笔算）：
以CRC16-CCITT为例进行说明，CRC校验码为16位，生成多项式17位。

假如数据流为4字节：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]；
数据流左移16位，相当于扩大256×256倍，再除以生成多项式0x11021，做不借位的除法运算（相当于按位异或），所得的余数就是CRC校验码。

发送时的数据流为6字节：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]、CRC[1]、CRC[0]；
II、计算机算法1（比特型算法）：
1)将扩大后的数据流（6字节）高16位（BYTE[3]、BYTE[2]）放入一个长度为16的寄存器；
2)如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得)，再与生成多项式的简记式异或；
否则仅将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得)；
3)重复第2步，直到数据流（6字节）全部移入寄存器；
4)寄存器中的值则为CRC校验码CRC[1]、CRC[0]。

III、计算机算法2（字节型算法）：256^n表示256的n次方
把按字节排列的数据流表示成数学多项式，设数据流为BYTE[n]BYTE[n－1]BYTE[n －2]、、、BYTE[1]BYTE[0]，表示成数学表达式为BYTE[n]×256^n+BYTE[n-1]×256^(n-1)
+...+BYTE[1]*256+BYTE[0]，在这里+表示为异或运算。

设生成多项式为G17（17bit），CRC 码为CRC16。

则，CRC16＝
(BYTE[n]×256^n+BYTE[n-1]×256^(n-1)+...+BY TE[1]×256+BYTE[0])×256^2/G17，即数据流左移16位，再除以生成多项式G17。

先变换BYTE[n-1]、BYTE[n-1]扩大后的形式，
CRC16＝
BYTE[n]×256^n×256^2/G17+BYTE[n-1]×256^(n-1)×256^2/G17+...+BYTE[1]×256×256 ^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝
(Z[n]+Y[n]/G17)×256^n+BYTE[n-1]×256^(n-1)×256^2/G17+...+BYTE[1]×256×256^2/ G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝
Z[n]×256^n+{Y[n]×256/G17+BYTE[n-1]×256^2/G17}×256^(n-1)+...+BYTE[1]×256×2 56^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝
Z[n]×256^n+{(YH8[n]×256+YHL[n])×256/G17+BYTE[n-1]×256^2/G17}×256^(n-1)+... +BYTE[1]×256×256^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝
Z[n]×256^n+{YHL[n]×256/G17+(YH8[n]+BYTE[n-1])×256^2/G17}×256^(n-1)+...+BYTE [1]×256×256^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
这样就推导出，BYTE[n-1]字节的CRC校验码为
{YHL[n]×256/G17+(YH8[n]+BYTE[n-1])×256^2/G17}，即上一字节CRC校验码Y[n]的高8位（YH8[n]）与本字节BYTE[n-1]异或，
该结果单独计算CRC校验码（即单字节的16位CRC校验码，对单字节可建立表格，预先生成对应的16位CRC校验码），所得的CRC校验码与上一字节CRC校验码Y[n]的低8位（YL8[n]）
乘以256（即左移8位）异或。

然后依次逐个字节求出CRC，直到BYTE[0]。

字节型算法的一般描述为：本字节的CRC码，等于上一字节CRC码的低8位左移8位，与上一字节CRC右移8位同本字节异或后所得的CRC码异或。

字节型算法如下：
1)CRC寄存器组初始化为全"0"(0x0000)。

（注意：CRC寄存器组初始化全为1时，最后CRC应取反。

）
2)CRC寄存器组向左移8位,并保存到CRC寄存器组。

3)原CRC寄存器组高8位（右移8位）与数据字节进行异或运算，得出一个指向值表的索引。

4)索引所指的表值与CRC寄存器组做异或运算。

5)数据指针加1，如果数据没有全部处理完，则重复步骤2)。

6)得出CRC。

unsigned short GetCrc_16(unsigned char * pData, int nLength)
//函数功能：计算数据流* pData的16位CRC校验码，数据流长度为nLength
{
unsigned short cRc_16 = 0x0000; // 初始化
while(nLength>0)
{
cRc_16 = (cRc_16 << 8) ^ cRctable_16[((cRc_16>>8) ^ *pData) & 0xff]; //cRctable_16表由函数mK_cRctable生成
nLength--;
pData++;
}
return cRc_16;
}
void mK_cRctable(unsigned short gEnpoly)
//函数功能：生成0－255对应的16CRC校验码，其实就是计算机算法1（比特型算法）
//gEnpoly为生成多项式
//注意，低位先传送时，生成多项式应反转(低位与高位互换)。

如CRC16-CCITT为0x1021，反转后为0x8408
{
unsigned short cRc_16=0;
unsigned short i,j,k;
for(i=0,k=0;i<256;i++,k++)
{
cRc_16 = i<<8;
for(j=8;j>0;j--)
{
if(cRc_16&0x8000) //反转时cRc_16&0x0001
cRc_16=(cRc_16<<=1)^gEnpoly; //反转时
cRc_16=(cRc_16>>=1)^gEnpoly
else
cRc_16<<=1; //反转时cRc_16>>=1
}
cRctable_16[k] = cRc_16;
}
}
CRC(Cyclic Redundancy Check/循环冗余校验）
它是利用除法及余数的原理来作错误侦测（Error Detecting）的。

实际应用时，发送装置计算出CRC值并随数据一同发送给接收装置，接收装置对收到的数据重新计算CRC并与收到的CRC相比较，若两个CRC值不同，则说明数据通讯出现错误。

根据应用环境与习惯的不同，CRC又可分为以下几种标准：
①CRC-12码；
②CRC-16码；
③CRC-CCITT码；
④CRC-32码。

CRC-12码通常用来传送6-bit字符串。

CRC-16及CRC-CCITT码则用是来传送8-bit字符，其中CRC-16为美国采用，而CRC-CCITT 为欧洲国家所采用。

CRC-32码大都被采用在一种称为Point-to-Point的同步传输中。

下面为CRC计算过程：
1．设置CRC寄存器，并给其赋值FFFF(hex)。

2．将数据的第一个8-bit字符与16位CRC寄存器的低8位进行异或，并把结果存入CRC寄存器。

3．CRC寄存器向右移一位，MSB补零，移出并检查LSB。

4．如果LSB为0，重复第三步；若LSB为1，CRC寄存器与多项式码相异或。

5．重复第3与第4步直到8次移位全部完成。

此时一个8-bit数据处理完毕。

6．重复第2至第5步直到所有数据全部处理完成。

7．最终CRC寄存器的内容即为CRC值。

常用的CRC循环冗余校验标准多项式如下：
CRC(16位) = X16+X15+X2+1
CRC(CCITT) = X16+X12 +X5+1
CRC(32位) = X32+X26+X23+X16+X12+X11+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X+1
以CRC(16位)多项式为例，其对应校验二进制位列为1 1000 0000 0000 0101。

CRC基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。

对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R
的多项式G(x),根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。

校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。

通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

几个基本概念
1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。

可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。

多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。

如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1，可转换为二进制数码11011。

而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。

2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。

在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。

在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。

应满足以下条件：
a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。

b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。

c、不同位发生错误时，应该使余数不同。

d、对余数继续做模2除，应使余数循环。

将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。

但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：
N K 码距d G(x)多项
式 G(x)
7 4 3 x3+x+1
1011
7 4 3 x3+x2+1
1101
7 3 4 x4+x3+x2+1
11101
7 3 4 x4+x2+x+1
10111
15 11 3 x4+x+1
10011
15 7 5 x8+x7+x6+x4+1
111010001
31 26 3 x5+x2+1
100101
31 21 5 x10+x9+x8+x6+x5+x3+ 1 11101101001
63 57 3 x6+x+1
1000011
63 51 5 x12+x10+x5+x4+x2+1
1010000110101
1041 1024 x16+x15+x2+1
11000000000000101
3、模2除（按位除）
模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。

所以实际上就是异或。

然后再移位移位做下一位的模2减。

步骤如下：
a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。

b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。

若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。

c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。

CRC校验程序编写：
编写CRC校验程序有两种办法：一种为计算法，一种为查表法。

下面对两种方法分别讨论。

①计算法
计算法就是依据CRC校验码的产生原理来设计程序。

其优点是模块代码少，修改灵活，可移植性好。

其缺点为计算量大。

为了便于理解，这里假定了三位数据，而多项式码为A001(hex)。

在窗体上放置一命令按钮Command1，并添加如下代码：
Private Sub Command1_Click()
Dim CRC() As Byte
Dim d() As Byte '待传输数据
ReDim d(2) As Byte
d(0) = 123
d(1) = 112
d(2) = 135
CRC = CRC16(d) '调用CRC16计算函数
'CRC(0)为高位
'CRC(1)为低位
End Sub
注意：在数据传输时CRC的低位可能在前，而高位在后。

Function CRC16(data() As Byte) As String
Dim CRC16Lo As Byte, CRC16Hi As Byte 'CRC寄存器
Dim CL As Byte, CH As Byte '多项式码&HA001 Dim SaveHi As Byte, SaveLo As Byte
Dim i As Integer
Dim Flag As Integer
CRC16Lo = &HFF
CRC16Hi = &HFF
CL = &H1 '多项式码低位&H01
CH = &HA0 '多项式码高位&HA0
For i = 0 To UBound(data)
CRC16Lo = CRC16Lo Xor data(i) '每一个数据与CRC寄存器进行异或
For Flag = 0 To 7
SaveHi = CRC16Hi
SaveLo = CRC16Lo
CRC16Hi = CRC16Hi \ 2 '高位右移一位
CRC16Lo = CRC16Lo \ 2 '低位右移一位
If ((SaveHi And &H1) = &H1) Then '如果高位字节最后一位为1
CRC16Lo = CRC16Lo Or &H80 '则低位字节右移后前面补1
End
If '否则自动补0
If ((SaveLo And &H1) = &H1) Then '如果LSB为1，则与多项式码进行异或
CRC16Hi = CRC16Hi Xor CH
CRC16Lo = CRC16Lo Xor CL
End If
Next Flag
Next i
Dim ReturnData(1) As Byte
ReturnData(0) = CRC16Hi 'CRC高位
ReturnData(1) = CRC16Lo 'CRC低位
CRC16 = ReturnData
End Function
②查表法
查表法的优缺点与计算法的正好相反。

为了便于比较，这里所有的假定与计算法的完全相同，都而在窗体上放置一个Command1的按钮，其代码部分与上面的也完全一致。

下面只介绍CRC函数的编写源代码。

Private Function CRC16(data() As Byte) As String
Dim CRC16Hi As Byte
Dim CRC16Lo As Byte
CRC16Hi = &HFF
CRC16Lo = &HFF
Dim i As Integer
Dim iIndex As Long
For i = 0 To UBound(data)
iIndex = CRC16Lo Xor data(i)
CRC16Lo = CRC16Hi Xor GetCRCLo(iIndex) '低位处理
CRC16Hi =
GetCRCHi(iIndex) '高位处理
Next i
Dim ReturnData(1) As Byte
ReturnData(0) = CRC16Hi 'CRC高位
ReturnData(1) = CRC16Lo 'CRC低位
CRC16 = ReturnData
End Function
'CRC低位字节值表
Function GetCRCLo(Ind As Long) As Byte
GetCRCLo = Choose(Ind + 1, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, _
&H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H1, &HC0, &H80, &H41, &H0, &HC1, &H81, &H40)
End Function
'CRC高位字节值表
Function GetCRCHi(Ind As Long) As Byte
GetCRCHi = Choose(Ind + 1, &H0, &HC0, &HC1, &H1, &HC3, &H3, &H2, &HC2, &HC6, &H6, &H7, &HC7, &H5, &HC5, &HC4, &H4, &HCC, &HC, &HD, &HCD, &HF, &HCF, &HCE, &HE, &HA, &HCA, &HCB, &HB, &HC9, &H9, &H8, &HC8, &HD8, &H18, &H19, &HD9, &H1B, &HDB, &HDA, &H1A, &H1E, &HDE, &HDF, &H1F, &HDD, &H1D, &H1C, &HDC, &H14, &HD4, &HD5, &H15, &HD7, &H17, &H16, &HD6, &HD2, &H12, &H13, &HD3, &H11, &HD1, &HD0, &H10, &HF0, &H30, &H31, &HF1, &H33, &HF3, &HF2, &H32, &H36, &HF6, &HF7, &H37, &HF5, &H35, &H34, &HF4, &H3C, &HFC, &HFD, &H3D, &HFF, &H3F, &H3E, &HFE, &HFA, &H3A, &H3B, &HFB, &H39, &HF9, &HF8, &H38, &H28, &HE8, &HE9, &H29, &HEB, &H2B, &H2A, &HEA, &HEE, &H2E, &H2F, &HEF, &H2D,。