2016-2017学年高中数学人教B版必修1章末综合测评2 含解析

章末综合测评（二）函数
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列各组函数中，表示同一个函数的是( ）
A。

y＝x－1和y＝错误!
B。

y＝x0和y＝1
C。

f （x）＝x2和g（x)＝（x＋1)2
D.f （x)＝错误!和g（x）＝错误!
【解析】A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同.
【答案】D
2。

函数f (x）＝错误!＋错误!的定义域是（)
A.［－1，＋∞)
B.（－∞，0)∪（0，＋∞）
C.[－1，0)∪(0，＋∞)
D.R
【解析】要使函数有意义,需满足错误!
即x≥－1且x≠0。

【答案】C
3.设集合A＝｛－1，3,5｝，若f ：x→2x－1是集合A到集合B 的映射，则集合B可以是（）
A.｛0,2，3｝B。

｛1,2，3｝
C。

{－3，5｝ D.{－3，5，9}
【解析】当x＝－1，3,5时对应的2x－1的值分别为－3，5,9。

【答案】D
4。

已知f （x）＝x3＋2x,则f （a）＋f （－a)＝（)
【导学号：60210069】
A。

0 B。

－1
C。

1 D。

2
【解析】 f （x）＝x3＋2x是R上的奇函数，故f (－a）＝－f （a)，∴f （a）＋f (－a）＝0。

【答案】A
5。

下列四个函数中,在(－∞,0)上是增函数的为( )
A.f (x）＝x2＋1
B.f (x)＝1－错误!
C.f (x)＝x2－5x－6 D。

f (x）＝3－x
数,只有B正确。

【答案】B
6。

函数f (x)＝ax3＋bx＋4（a，b不为零)，且f (5)＝10，则f （－
5)等于( ）
A.－10
B.－2
C。

－6 D。

14
【解析】∵f (5)＝125a＋5b＋4＝10，
∴125a＋5b＝6，
∴f （－5)＝－125a－5b＋4
＝－(125a＋5b）＋4
＝－6＋4＝－2。

【答案】B
7.已知函数f 错误!＝x2＋错误!,则f （3)等于( )
A.8 B。

9
C。

11 D.10
【解析】∵f 错误!＝x2＋错误!＝错误!2＋2,
∴f （x）＝x2＋2，
∴f （3)＝32＋2＝11。

8。

已知函数f (x）＝错误!若f （2－a2）>f （a),则实数a的取值范围是
( ）
A.（－∞，－1）∪(2，＋∞)
B.(－1,2）
C.（－2，1）
D。

（－∞,－2)∪（1，＋∞）
【解析】∵f （x）＝错误!
由函数图象（图略）知f （x）在(－∞,＋∞）上是增函数，
由f （2－a2）>f (a)，得a2＋a－2<0,解得－2<a<1.
【答案】C
9.函数y＝3x＋错误!(x≥2)的值域是（)
A。

错误! B.［6＋错误!，＋∞）
C.[6，＋∞）
D.[错误!,＋∞)
【解析】∵y＝3x＋2x－1在［2，＋∞）上是增函数，
∴y min＝3×2＋错误!
＝6＋错误!。

∴y＝3x＋错误!（x≥2）的值域为[6＋错误!，＋∞）.
10。

若函数y＝x2＋mx＋（m＋3)有两个不同的零点,则m的取值范围是( ）
A.(－2，6)
B.［－2，6］
C。

[－2，6）D。

（－∞，－2)∪（6,＋∞）
【解析】若函数y＝x2＋mx＋（m＋3)有两个不同的零点，则方程x2＋mx＋(m＋3)＝0有两个不相等的实数根，从而应有Δ＝m2－4（m＋3）〉0,解得m〈－2或m〉6。

【答案】D
11。

如果函数f （x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f (2＋t）＝f （2－t),那么
( ) A。

f （2)<f (1)〈f （4）B。

f （1）〈f （2)<f （4）
C.f (4)〈f （2)<f (1）D。

f （2）<f (4）<f （1)
【解析】由f （2＋t）＝f (2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f （2)〈f (1）〈f (4）。

【答案】A
且在区间[0，2]上是增函数,若方程f （x）＝m（m>0)在区间［－8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4,则x1＋x2＋x3＋x4等于( ）A。

－6 B。

6
C。

－8 D。

8
【解析】由f (x－4）＝－f (x）⇒f (4－x)＝f （x）⇒函数图象关于直线x＝2对称。

又函数f （x)在［0，2］上是增函数,且为奇函数，故f (0）＝0，故函数f (x）在（0，2］上大于0.根据对称性知函数f (x）在［2，4)上大于0，同理推知f （x）在(4，8）上小于0，故在区间（0，8）上方程f （x）＝m（m〉0）的两根关于直线x＝2对称,故此两根之和等于4.f （－6＋x）＝f ［(x－2）－4］＝－f （x －2)＝－f ［（x＋2）－4]＝f （x＋2)＝f ［（6＋x）－4］＝－f （6＋x）＝f （－6－x)。

∴f （x）关于直线x＝－6对称.此两根之和等于－12。

综上，四个根之和等于－8.
【答案】C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13。

已知函数f （x）＝错误!则f （－3）＝________。

【导学
【解析】∵－3<0，∴f （－3）＝f （－3＋2）＝f （－1)＝f （－1＋2)＝f （1)。

∵1〉0，∴f (1)＝2×1＋1＝3。

∴f （－3）＝3。

【答案】3
14。

已知f (x）为R上的减函数,则满足f 错误!〉f （1)的实数x 的取值范围为________.
【解析】∵f (x）在R上是减函数，
∴错误!〈1，解得x>1或x<0.
【答案】（－∞，0）∪（1,＋∞)
15.已知函数f (x）的图象如图1所示，则f (x)的解析式是________。

图1
【解析】设函数解析式为y＝ax＋b,利用待定系数法求解.
【答案】 f （x）＝错误!
16.对于定义在R上的任意函数f (x)，若实数x0满足f （x0)＝x0,
没有不动点,则实数a的取值范围是________.
【解析】若二次函数f (x)＝x2－ax＋1有不动点,则方程x2－ax ＋1＝x,即x2－(a＋1)x＋1＝0有实数解.
∴Δ＝(a＋1）2－4＝a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1）≥0，
∴a≤－3或a≥1。

∴当函数f （x)＝x2－ax＋1没有不动点时，实数a的取值范围是－3<a<1。

【答案】－3〈a〈1
三、解答题(本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17。

（本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y,AB⊥AC且｜AB|＝x－1,｜AC｜＝x＋1，求y关于x的函数解析式,并求出函数的定义域。

【解】由于△ABC是直角三角形,
则有y＝错误!｜AB|·｜AC｜＝错误!(x－1）（x＋1)＝错误!x2－错误!，由题意得错误!解得x〉1。

所以函数的定义域是(1，＋∞)。

18。

（本小题满分12分)若f (x)对x∈R恒有2f (x)－f （－x）＝
【解】2f (x）－f （－x)＝3x＋1，①
将①中的x换为－x，得2f （－x)－f （x)＝－3x＋1，②
①②联立,得错误!
把f (x）与f （－x）看成未知数解得f (x）＝x＋1。

19。

（本小题满分12分）已知函数f （x)＝｜x－1｜＋|x＋1｜(x∈R),
（1）证明：函数f （x）是偶函数；
（2）利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
（3）写出函数的值域。

【解】(1）由于函数定义域是R,且f (－x）＝|－x－1｜＋｜－x＋1｜＝｜x＋1｜＋｜x－1｜＝f (x）.
∴f （x）是偶函数。

（2)f （x)＝错误!
图象如图所示:
(3)由函数图象知，函数的值域为［2，＋∞）.
（1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性,并用定义证明你的结论；
(2）求该函数在区间［1,4]上的最大值与最小值。

【解】(1）f （x)在[1，＋∞）上是增函数.证明如下：任取x1，x2∈［1，＋∞),且x1〈x2,
f (x1)－f （x2）＝错误!－错误!
＝错误!。

∵x1－x2〈0，（x1＋1）(x2＋1）>0，
所以f （x1)－f (x2)<0，
f （x1）<f （x2)，
所以函数f （x）在［1，＋∞）上是增函数。

（2)由（1）知函数f (x)在[1，4］上是增函数.最大值为f (4)＝错误!＝错误!，最小值为f （1)＝错误!＝错误!。

21。

(本小题满分12分）大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃.
(1）当地球表面大气的温度是a℃时,在x km的上空为y℃，求a,x,y间的函数关系式;
【解】（1）由题设知，可设y－a＝kx（0≤x≤12，k〈0),即y ＝a＋kx。

依题意,当x＝12时，y＝－55，
∴－55＝a＋12k，
解得k＝－错误!。

∴当0≤x≤12时,y＝a－错误!（55＋a)(0≤x≤12)。

又当x>12时,y＝－55.
∴所求的函数关系式为
y＝错误!
（2)当a＝29,x＝3时，y＝29－错误!(55＋29)＝8，
即3 km上空的温度为8 ℃。

22。

（本小题满分12分)设函数f （x)的定义域为U＝｛x｜x∈R 且x〉0}，且满足条件f （4)＝1。

对任意的x1,x2∈U，有f （x1·x2)＝f （x1)＋f （x2),且当x1≠x2时，有错误!〉0。

（1)求f （1）的值;
（2)如果f (x＋6）＋f （x）>2，求x的取值范围。

【导学号:60210071】
【解】（1）因为对任意的x1,x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1）＋f （x2），所以令x1＝x2＝1，得f (1×1）＝f （1）＋f （1）＝2f （1），
所以f (1)＝0.
(2）设0〈x1〈x2,则x2－x1〉0.
又因为当x1≠x2时，错误!>0，
所以f （x2）－f (x1)〉0，即f （x2）＞f （x1）,
所以f （x)在定义域内为增函数.
令x1＝x2＝4，得f (4×4）＝f (4)＋f (4）＝1＋1＝2,即f （16）＝2.
当错误!即x〉0时，
原不等式可化为f [x（x＋6)］>f （16）.
又因为f （x)在定义域上为增函数,
所以x(x＋6)〉16，解得x>2或x〈－8。

又因为x>0，所以x>2。

所以x的取值范围为(2,＋∞）.。