2019-2020学年吉林省长春市九台师范中学高二数学文月考试题含解析

2019-2020学年吉林省长春市九台师范中学高二数学文
月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且，，等于
A．B．C．
D．2
参考答案：
C
2. 已知圆的方程为，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（）
A、（y≠0）
B、
（y≠0）
C、（x≠0）
D、
（x≠0）
参考答案：
B
略
3. 设f（x）=3x2e x，则f′（2）=（）
A．12e B．12e2 C．24e D．24e2
参考答案：
D
【考点】导数的运算．
【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用．
【分析】求函数的导数即可得到结论．
【解答】解：f′（x）=6xe x+3x2e x，
∴f′（2）=12e2+12e2=24e2．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
4. 设数列共有项,且，对于每个均有
.当时，满足条件的所有数列的个数为（）
A．215 B．512 C．1393
D．3139
参考答案：
D
5. 在空间中，a,b是不重合的直线，a,b是不重合的平面，则下列条件中可推出
a∥b的是()
A.a a，b b，a∥b
B. a∥a，b b
C. a⊥a，b⊥a
D. a⊥a，b a
参考答案：
C
6. 在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数（+i）2=+i=+i对应的点（，）位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）
A．B．8 C．D．16
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF 的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．
【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为
，
所以点、，从而|PF|=6+2=8
故选B．
【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．[来源:学科网ZXXK]
8. 若直线经过圆的圆心，则
的最小值是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
9. 用秦九韶算法计算多项式当x=2时v3的值为 ( )
A．0 B．－32 C． 80 D．－80
参考答案：
D
10. 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（）
A. B.
C. D. 不能确定大小
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的单调递减区间是，则实数 .参考答案：
12. 设正方形ABCD的边长为1．若点E是AB边上的动点，则?的最大值为．
参考答案：
1
13. 已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使a n＜0成立的最小值n是．
参考答案：
7
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】S12＞0，S13＜0，可得＞0，＜0，因此a6+a7＞0，a7＜0，即可得出．
【解答】解：∵S12＞0，S13＜0，
∴＞0，＜0，
∴a6+a7＞0，a7＜0，
∴a6＞0．
则使a n＜0成立的最小值n是7．
故答案为：7．
14. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程是________
参考答案：
15. 已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为．
参考答案：
3
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设出方程，把点
，代入求出λ再化简即可．
【解答】解：由题意双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设所求的双曲线的方程为（λ≠0），
因为且C经过点，所以1﹣=λ，即λ=，
代入方程化简得，，双曲线C的实轴长为：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键．
16. 关于的一元二次方程没有实数根,则实数的取值范围
是 .
参考答案：
17. 若有极大值和极小值，则的取值范围是
__
参考答案：
或
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=?e﹣ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；
（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
（2）由f（x）﹣1=0得f（x）=1，求函数的导数f′（x），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=?e﹣2x．f（）=3e﹣1，
又f′（x）=?e﹣2x，∴f′（）=2e﹣1，
故所求切线方程为y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣），即y=x+．
（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0即f（x）=1．
f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），
当x＜﹣1或x＞1时，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1无解；
故只需考虑﹣1≤x≤1的情况，
f′（x）=?e﹣2x，
当＜a≤2时，f′（x）≥0，所以f（x）区间[﹣1，1）上是增函数，又易知f（0）=1，
所以方程f（x）=1只有一个根0；
当a＞2时，由f′（x）=0可得x=±，且0＜＜1，
由f′（x）＞0可得﹣1≤x＜﹣或＜x＜1，
由f′（x）＜0可得﹣＜x＜，
所以f（x）单调增区间为[﹣1，﹣）和（，1）上是增函数，
f（x）单调减区间为（﹣，），
由上可知f（）＜f（0）＜f（﹣），即f（）＜1＜f（﹣），
在区间（﹣，）上f（x）单调递减，且f（0）=1，
所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；
在区间[﹣1，﹣）上f（x）单调递增，且f（﹣1）=0＜1，f（﹣）＞1，所以方程f（x）=1存在唯一的根0
在区间（，1）上，由f（）＜1，x→1时，f（x）→+∞，
所以方程f（x）=1有唯一的根；
综上所述：当0＜a≤2时，方程f（x）=1有1个根；
当a＞2时，方程f（x）=1有3个根．
19. 如图，AD是△ABC的外角平分线，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求AB的长.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由角平分线及互补的关系可得，可得
，从而得解；
（Ⅱ）在和中，分别用余弦定理表示和，再利用，解方程即可得解.
【详解】（Ⅰ）由题设，，
所以
（Ⅱ）在中，由余弦定理，
在中，
又，所以，进而.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理的灵活应用，需要对图形的几何特征进行分析，需要一定的能力，属于中档题.
20. 已知=（cos x，sin x），=A（cos2φ，﹣sin2φ），f（x）=?（A＞0，
|φ|）的部分图象如图所示，P、Q分别是该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，4），点R的坐标为（1，0），△PRQ的面积为．
（Ⅰ）求A及φ的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调减区间．
参考答案：
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，求得f（x）的解析式，再依据函数的周期性以及△PRQ的面积，求得A及φ的值．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据余弦函数的减区间求得函数g（x）的单调减区间．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=?=Acos xcos2φ﹣Asin xsin2φ=Acos（x+2φ），
故f（x）的周期为T==6，根据△PRQ的面积为×A×=，求得A=，
∴点P（1，），把点P的坐标代入函数f（x）的解析式可得Acos（+2φ）=1，
故+2φ=2kπ，k∈z，即φ=kπ﹣，结合|φ|，可得φ=﹣，故 f（x）
=cos（x﹣）．
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移2个单位长度后得到函数g（x）=cos[（x+2）﹣]=cos（x+）的图象．
令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得6k﹣1≤x≤6k+2，可得g（x）的减区间为[6k﹣1，6k+2]，k∈z．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的减区间，属于基础题．
21. 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos,sin),∈(,). (Ⅰ)若||=||，求角的值；
(Ⅱ)若·= -1，求的值.
参考答案：
解：（1）=(cosα-3,sinα), =(cosα,sinα-3),
∵||=|| 可得cosα=sinα
又α∈(,)∴α=……5分
（2）·= cos2α-3 cosα+ sin2α-3 sinα=-1
∴cosα+sinα=
∴2=-
==2=-……10分
略
22. （12分）已知函数
(1)求的单调减区间和值域；
（2）设,函数若对于任意，总存在,使得成立，求的取值范围.
参考答案：
解：（1）对函数f(x)求导，得f'(x)=
令f'(x)=0解得x=或x=．
当x变化时f'(x)、f(x)的变化情况如下表．
(0, ) (,1)
- 0 +
-
所以，当x∈(0，)时f(x)是减函数；
当x∈(，1)时f(x)是增函数．
∴当x∈[0，1]时f(x)的值域为[-4，—3]．
（2）对函数g(x)求导，得g'(x)=3(x2-a2)．
因为a≥1时，当x∈(0，1)时，g'(x)<3(1-a2)<0．因此当x∈(0，1)时，g(x)为减函数，从而求出时，有。

任意。

存在使得，则
即
解得。