江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第二次调研考试数学试题(解析版)

南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港
2019届高三第二次调研测试
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
已知集合，．若，则实数a 的值为 ▲ ．{13}=A a ，，
{45}=B ，A B =I {4}【答案】4
考点】集合的运算。

解析】因为，，所以，a ＝4。

A B =I {4}{45}=B ，复数（为虚数单位）的实部为 ▲ ．2i
2i z =
+i 【答案】2
5
考点】复数的概念与运算。

解析】，所以，实部为2i 2(2)242i (2)(2)55i i z i i i -=
=+++-＝25
某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，
现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为，则该单位行政人员的人数为 ▲ ．【答案】35考点】分层抽样。

解析】抽取的比例为：，所以，普通职工的人数为：49×5＝245，
5612805
=行政人员的人数为：280－245＝35
从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选
中的概率为 ▲ ．【答案】23
考点】古典概型。

解析】随机选派2人，共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种，甲、乙两人中恰有1人被选中的有：甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，4种所以，所标概率为：42
63
=、执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．
【答案】30考点】算法初步。

解析】第1步：S ＝2，i ＝3；第2步：S ＝6，i ＝5；第3步：S ＝30，i ＝7，退出循环，所以，输出。

函数的定义域为 ▲ ．
416x y =-【答案】[2)+∞，
考点】函数的定义域，指数函数的性质。

解析】由－16≥0，得：≥16＝42，所以，x ≥2
4x 4x
将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为 ▲ ．
2sin 3y x =π12()y f x =()
π3
f 【答案】2
-考点】正弦函数图象的平移，三函数诱导公式。

解析】，()2sin 3()2sin(3)124y f x x x ππ==+=+。

2sin(3)2sin 2344
πππ⨯+=-=-在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的xOy 22221(00)y x a b a b
-=>>，(20)A ，
距离为，则b 的值为 ▲ ．2【答案】2
考点】双曲线的性质。

解析】因为双曲线的右顶点为A （2,0），所以，a ＝2，双曲线的渐过线为：，即，
2
b y x =±20bx y ±-=，即：，解得：b ＝22=22428b b =+在△ABC 中，已知C ＝ 120°，sin B ＝2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．
23
【答案】27
考点】正弦定理，三角形面积公式。

解析】因为sin B ＝2 sin A ，由正弦定理，得：b ＝2a ，，解得：a ＝2，b ＝4，
23sin120232a ︒==＝222cos 416224cos12027
a b ab C +-=+-⨯⨯︒=P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 2 m ，PB = 3 m ，
= 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2．【答案】29π
考点】正方体与球的结构特征，球的表面积公式。

解析】根据题意，可知三棱锥P-ABC 是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P ，A ，四点的球，∵PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，∴长方体的对角线的长为
PA 2+PB 2+PC 2＝29，
即外接球的直径2R ＝，可得R ＝
，29292
因此，外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×＝29π2
29(
)2
定义在R 上的奇函数满足，且在区间上，()f x (4)()f x f x +=[)24，223()434x x f x x x -<⎧=⎨
-<⎩≤≤，，
，，
则函数的零点的个数为 ▲ ．5()log y f x x =-| |【答案】5
考点】函数的零点，分段函数，对数函数，函数的奇偶性和周期性。

解析】依题意，得：是周期为4的奇函数，
()f x ，得：，在［0,4）上图象关于（2,0）对称，(4)()f x f x +=(2)(2)f x f x +=-1）＝f （－3）＝－f(3)=1，
＝0，得：，分别画出和的图象，
5()log f x x =-| |5()log f x x =| |()y f x =5log y x =| |
如下图可知，两图象有5个交点，所以，零点的个数为5。

已知关于的不等式( a ，b ，c R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则的最小x 2
0ax bx c ++>∈25c a b
++值为 ▲ ．【答案】45
考点】一元二次不等式，基本不等式。

解析】依题意，得：，且：，即：，
0a <9301640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩712b a
c a =-⎧⎨=⎩＝，
5b
++222451445144545766a a a a a a a -++=≥=---当且仅当，即时，取等号。

21445a =512
a =-在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆上，且，点P （3，-1），
224x y +=22AB =，设的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．
()
16PO PA PB ⋅+=u r u u r u u r
AB 【答案】115
，考点】圆的标准方程，平面向量的数量积与平行四边形法则。

解析】设M （x 0，y 0），由：AB ＝2，得：
2
422OM
-=，
222002OM x y =+=，
()
216PO PA PB PO PM ⋅+=⋅=u u u r u u r u u r u u u r u u u r
所以，，
0000(3,1)(3,1)3108PO PM x y x y ⋅=--+=-++=u u u r u u u r
，解得：x 0＝1或。

220000232
x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩15
已知集合，从集合中取出个不同元
{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，A m 素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的S B n T 967S T +≤n m 2+最大值为 ▲ ．【答案】44
考点】综合应用数学知识解决问题有能力。

解析】设从A 中取出m 项，序号为：I 1，I 2，…，I m ，从B 中取出n 项，序号为：k 1，k 2，…，＋2I 2－1＋…＋2I m －1＋8k 1－8＋8k 2－8＋…＋8k n －8≤967，1＋I 2＋…＋I m ）－m ＋8（k 1＋k 2＋…＋k n ）－8n ≤967，
＋I 2＋…＋I m ≥1＋2＋…＋m ＝，(1)
2
m m +＋…＋k n ≥1＋2＋…＋n ＝，
(1)
2
n n +，(1)4(1)8967m m m n n n +-++-≤，
2
2
(21)968m n +-≤二、解答题：本大题共6小题，共计90分．本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，设向量a =，b = ，其中．
(cos sin )αα，()
ππsin()cos()66
αα++，π02α<<1）若a ∥b ，求的值；
α2）若，求的值．
1tan 27
α=-⋅a b 【解】（1）因为a ∥b ，
所以，……………………………………………2分
ππcos cos()sin sin()066
αααα+-+=
所以． …………………………………………………………………4分
πcos(2)06α+=因为，所以．
π02α<<ππ7π2666
α<+<于是 解得． ………………………………………………………6分ππ262α+=，π6α=2）因为，所以，又，故．
π02α<<02πα<<1tan 207α=-<π2π2α<<因为，所以，sin 21tan 2cos 27ααα==-cos 27sin 20αα=-<，
22sin 2cos 21αα+=解得．……………………………………………………10分272sin 2cos 21010αα==-，因此， …………………………12分
⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666
ααααα=++=+ππsin 2cos cos 2sin 66
αα=+． ……………………………………14分
()
3672272110210220
-=⋅+-⋅=本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于D ，B 1C 与BC 1交于点E ．
求证：（1）DE ∥平面ABB 1A 1；
（2）BC 1⊥平面A 1B 1C ．证明】（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1 A 1为平行四边形．A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点，
同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ．………………3分
AB ⊂平面ABB 1 A 1，DE ⊄平面ABB 1 A 1，
所以DE ∥平面ABB 1A 1． ………………………………………………………………6分
2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1． ………………………………………8分A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1 = B 1，
所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………………10分又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1．………………………………………12分又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ．
A 1
B 1∩B 1
C = B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，
所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．………………………………………………………………14分本小题满分14分)
图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ，
梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = ．
θπ(0)4
θ<<1）求屋顶面积S 关于的函数关系式；
θ2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其
A B C
A 1
B 1
C 1
E D （第16题）
高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当为θ何值时，总造价最低？
【解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ，又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． …………2分Rt △FHM 中，HM = 5，，FMH θ∠=所以．……………………………………4分5cos FM θ
=
因此△FBC 的面积为．
1525102cos cos θθ
⨯⨯=从而屋顶面积．
22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ
=⨯+⨯⨯=所以S 关于的函数关系式为()． ………………………………6分
θ160cos S θ=π04θ<<2）在Rt △FHM 中，，所以主体高度为． ……………8分5tan =FH θ65tan =-h θ所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k
160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k
θθ
16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ
…………………………………………10分
()
2sin 8096cos -=⋅+k k θθ
，，
2sin ()cos -=f θθθ
π04θ<<所以，2sin 1()cos f θθθ
-'=2
，得，又，所以．………………………………12分
()0'=f θ1sin 2=θπ04θ<<π6=θ列表：
所以当时，有最小值．
π6
=θ()f θθ()
π06，π
6
()
ππ64，()f θ'-
0+()
f θ]
3
Z
A
B
C D
E F H
M
θ
答：当为时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分
θπ6（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：，椭圆C 2：，
2214x y +=22221(0)y x a b a b
+=>>与C 1的长轴长之比为∶1，离心率相同．
21）求椭圆C 2的标准方程；2）设点为椭圆C 2上一点．P ① 射线与椭圆C 1依次交于点，求证：为定值；
PO A B ，PA PB
② 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C 1均有且只有
P 12k k ，12l l ，12l l ，一个公共点，求证：为定值．
12k k ⋅【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，，，，
22a =32
c a =222a b c =+解得，因此椭圆C 2的标准方程为． ……………………………3分2b =22182
y x +
=2）①1°当直线OP 斜率不存在时，
，，则． ……………………………4分
21PA =-21PB =+2132221PA PB -==-+°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为，y kx =代入椭圆C 1的方程，消去y ，得，22(41)4k x +=所以，同理．………6分
22
441
A x k =
+22
841
P x k =
+所以，由题意，同号，所以，
222P A x x =P A x x 与2P A x x =从而．||||
21322||||21
P
A P A P
B P A x x x x PA PB x x x x ---====--++所以为定值． ……………………………………………………………8分322PA PB =-②设，所以直线的方程为，即，00()P x y ，1l 010()y y k x x -=-1100y k x k y x =+-，则的方程为，
100t k y x =-1l 1y k x t =+代入椭圆C 1的方程，消去y ，得，22211(41)8440k x k tx t +++-=因为直线与椭圆C 1有且只有一个公共点，
1l 所以，即，
22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V 221410k t -+=代入上式，整理得，， ……………12分100t k y x =-222010010(4)210x k x y k y --+-=同理可得，，
222020020(4)210x k x y k y --+-=所以为关于k 的方程的两根，
12k k ，2220000(4)210x k x y k y --+-=P
A
B
（第18题）
x
y
O
从而．……………………………………………………………………14分
2012201
4
y k k x -⋅=-又点在椭圆C 2：上，所以，00()P x y ，22182y x +=2200124
y x =-所以为定值． ………………………………………………16分20122
0121
1444
x k k x --⋅==--（本小题满分16分）
已知函数．21()2ln 2
f x x x ax a =+-∈，R 1）当时，求函数的极值；
3a =()f x 2）设函数在处的切线方程为，若函数是上
()f x 0x x =()y g x =()()y f x g x =-()0+∞，的单调增函数，求的值；
0x 3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由． ()y f x =【解】（1）当时，函数的定义域为．
3a =21()2ln 32
f x x x x =+-()0+∞，，2
232()3x x f x x x x
-+'=+-=得，或． ………………………………………………………2分()f x '0=1x =2x =列表：
所以函数的极大值为；极小值为． ………………4分
()f x 5(1)2f =-(2)2ln 24f =-）依题意，切线方程为，0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>从而，0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>，
()()()p x f x g x =-在上为单调增函数，000()()()()()p x f x f x f x x x '=---()0+∞，所以在上恒成立，
0()()()0p x f x f x '''=-≥()0+∞，在上恒成立． …………………………………8分
0022()0p x x x x x '=-+-≥()0+∞，法一：变形得在上恒成立 ，
()
00
2()0x x x x --≥()0+∞，所以，又，所以． ………………………………………………10分
00
2x x =00x >02x =x ()01，1()
12，2()
2+∞，()f x '+0-0+()
f x ↗
极大值
↘
极小值
↗
法二：变形得在上恒成立 ，
0022x x x x ++≥()0+∞，因为（当且仅当时，等号成立）
，222
22x x x
x
+⋅=≥2x =所以，从而，所以．……………………………10分
00
222x x +≥()2
02
0x -≤0
2x
=3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，()f x 111()T x y ，222()T x y ，不妨，则处切线的方程为：，
120x x <<1T 1l 111()()()y f x f x x x '-=-处切线的方程为：．
2T 2l 222()()()y f x f x x x '-=-因为，为同一直线，所以……………………12分
1l 2l 12111222
()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，
(
)()112
1222111112222
2
12
2212122ln 2ln .
22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨
⎪+--+-=+--+-⎪⎩
，
整理得， ………………………………………………14分122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪
⎨-=-⎪⎩，消去得，．
2x 22112122ln 022
x x x +-=①，由与，得，
2
12x t =120x x <<122x x =(01)t ∈，，则，
1()2ln p t t t t =+-2
22
(1)
21()10t p t t t t -'=--=-<所以为上的单调减函数，所以．
()p t (01)，()(1)0p t p >=从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个①()f x 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分（本小题满分16分）
已知数列的各项均不为零．设数列的前n 项和为S n ，数列的前n 项和为T n ，
{}n a {}n a {}2
n a ．2
340n
n n S S T -+=，n *∈N 1）求的值；
12a a ，2）证明：数列是等比数列；
{}n a 3）若对任意的恒成立，求实数的所有值．1()()0n n na na λλ+--<n *∈N λ【解】（1）因为，．
2340n n n S S T -+=*n ∈N ，得，因为，所以．
1n =22111340a a a -+=10a ≠11a =
，得，即，
2n =()()()2
2222314110a a a +-+++=22220a a +=因为，所以．……………………………………………………………3分
20a ≠212a =-2）因为， ①2340n n n S S T -+=所以， ②2111340n n n S S T +++-+=①得，，
-()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=因为，所以，③ …………………………………5分10n a +≠()11340n n n S S a +++-+=所以， ④
()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥时，③④得，，即，
2n ≥-()1130n n n n a a a a ++++-=112n n a a +=-因为，所以
．0n a ≠1
12
n n a a +=-又由（1）知，，，所以，
11a =212a =-2112
a
a =-所以数列是以1为首项，为公比的等比数列． ……………………………8分{}n a 12-3）由（2）知，．
()
1
1
2
n n a -=-因为对任意的，恒成立，
*n ∈N ()()10n n na na λλ+--<所以的值介于和之间．
λ()1
1
2
n n --()
12
n
n -因为对任意的恒成立，所以适合． ……………10分
()()1
11022
n n
n n --⋅-<*
n ∈N 0λ=，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立．
0λ>n ()()1
1122n n n n λ--<<-1
2
n n λ-<，因为，2()(4)2n n p n n =≥22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<所以，即，所以（*），
()(4)1p n p =≤2
12n n ≤12
n n n ≤从而当时，有，所以不符． ………………………13分
25n n
λ
≥且≥1
22
n n n λ-≥≥
0λ>，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立．
0λ<n ()
()
1
1
1
22
n
n n n λ--<<-2n n λ-<由（*）式知，当时，有，所以不符．15n n λ
≥且≥-
12n
n n λ-≥≥0λ<综上，实数的所有值为0． ………………………………………………………………16分
λ【选做题】
选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知m ，n ∈R ，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α1
2m n ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
M 及另一个特征值．
【解】由题意得，即3=，M αα11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，所以即矩阵. …………………………………………………5分2 1.m n ==，1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=M 矩阵的特征多项式，M ()2
1
2()14021
f λλλλ--=
=--=--解得矩阵的另一个特征值为.…………………………………………………10分M 1λ-=选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线的参数方程为( t 为参数)，椭圆C 的参数方程
l 1x t y t =+⎧⎨=⎩，
.设直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．)(sin cos 2为参数，
θθ
θ⎪⎩⎪⎨⎧==y x l 【解】由题意得，直线的普通方程为．①
l 10x y --=椭圆C 的普通方程为．② …………………………………………………4分
2
212x y +=由①②联立，解得A ，B ， ……………………………………………8分(01)，-()
4133
，所以．…………………………………………………10分
()()2
2
4241013
3
3AB =
-++=选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x ，y ，z 均是正实数，且求证：．，164222=++z y x 6x y z ++≤【证】由柯西不等式得， ……………5分
()()
()2
2
2
2
2221
2112
x y z x y z ⎡
⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
≥因为，所以222416x y z ++=()
2
916364
x y z ++⨯
=≤，所以，当且仅当“”时取等号．
…………………………10分6x y z ++≤，2x y z ==【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． （本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，AB = 1，AP = AD = 2.ABCD P -ABCD ⊥PA ABCD 1）求直线与平面所成角的正弦值；
PB PCD 2）若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且平面，试确定点M ，N 的位置．⊥MN PCD 【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．
为正交基底，建立如图所示的空间
{}AB AD AP u u u r u u u r u u u r ，，直角坐标系，则
A xyz -(100)(120)(020)(002)
C D P ，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)
PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，.u u r u u u r u u u r 设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，，即00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r
，，220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩
，，不妨取则．
1y =，01x z ==，所以平面PCD 的一个法向量为． ………………………………………3分(011)=n ，，设直线PB 与平面PCD 所成角为所以θ，10sin cos 5
PB PB PB θ⋅=〈〉=
=⋅n n n
u u r
u u r
u u r
，，即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为．……………………………………5分
105
2）设则(00)M a ，，，(00)MA a =-，，，u u u r
则而PN PC λ=，u u u r u u u r ()22PN λλλ=，，-，u u u r (002)AP =，，，
u u u r
所以． ……………………………………8分
(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--u u u r u u u r u u u r u u u r
，，由（1）知，平面PCD 的一个法向量为，(011)=n ，，因为平面PCD ，所以∥．
MN ⊥MN u u u r
n 所以解得，．
0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，
1122a λ==，所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点． …………………………………………10分
（本小题满分10分）
已知均为非负实数，且．*12(4)n a a a n n ∈N ≥，，，，
122n a a a +++= 证明：（1）当时，；
4n =12233441+++1a a a a a a a a ≤ （2）对于任意的，．
*4n n ∈N ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -≤L 证明：（1）当时，因为，，…，均为非负实数，且，4n =1a 2a 4a 12342a a a a +++=所以………………………2分
122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
．………………………………………………………………4分2
31
24(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2）①当时，由（1）可知，命题成立；4n =②假设当时，命题成立，
(4)n k k =≥即对于任意的，若，，…，均为非负实数，且，4k ≥1x 2x k x 12+++2k x x x =L ．
122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L 则当时，设，并不妨设．+1n k =12+1++++2k k a a a a =…{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，，则．
()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，12+++2k x x x =…由归纳假设，知．………………………………………8分122311++++1k k k x x x x x x x x - ≤因为均为非负实数，且，123a a a ，，+11k a a ≥所以121123112+()()
k k x x x x a a a a a a +=+++．
23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥所以，1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++ ≥≥，1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤也就是说，当时命题也成立．
+1n k =所以，由①②可知，对于任意的，．…………10分
4n ≥122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤。