高中数学人教A版选修1-1学业分层测评18 函数的最大(小)值与导数 Word版含解析

学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．下列是函数f (x )在[a ，b ]上的图象，则f (x )在(a ，b )上无最大值的是( )
【解析】 在开区间(a ，b )上，只有D 选项中的函数f (x )无最大值．
【答案】 D
2．函数f (x )＝2x ＋1
x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174
D ．22＋1
2
【解析】 由f ′(x )＝1x －1
x 2＝x 32－1
x 2＝0，得x ＝1，
且x ∈(0,1]时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0， ∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 【答案】 B
3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值为( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 因为f (0)＝2，f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以M ＝2，m ＝－2. 所以M －m ＝4. 【答案】 C
4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )
A ．0≤a ＜1
B ．0＜a ＜1
C ．－1＜a ＜1
D ．0＜a ＜1
2
【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . ∴x ＝±a .
又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B. 【答案】 B
5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )
A ．1
B ．4
C ．－1
D ．0
【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2，
∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.
当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4. 【答案】 B 二、填空题
6．函数f (x )＝3x ＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x ln 3＋cos x .
∵x ∈[0，π]时，3x ln 3＞1，－1≤cos x ≤1， ∴f ′(x )＞0.
∴f (x )递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1. 【答案】 1
7．已知函数f (x )＝x 3
－32ax 2
＋b (a ，b 为实数，且a ＞1)在区间[－
1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a ＝________，b ＝________.
【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a . ∵a ＞1，
∴当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：
由题意得b ＝1.
f (－1)＝－3a 2，f (1)＝2－3a
2， f (－1)＜f (1)， ∴－3a 2＝－1，∴a ＝23. 【答案】 2
3 1
8．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________. 【导学号：26160094】
【解析】 ∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1
x 3.
设g (x )＝3x 2－1
x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4. 令g ′(x )＝0，得x ＝1
2. 当 0<x <1
2时，g ′(x )>0； 当1
2<x ≤1时，g ′(x )<0.
∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝4，
它也是最大值，故a ≥4.
【答案】 [4，＋∞) 三、解答题
9．求下列各函数的最值．
(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]； (2)y ＝5－36x ＋3x 2＋4x 3，x ∈(－2,2)．
【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.
即f (x )的最小值为－12，最大值为2.
(2)y ′＝－36＋6x ＋12x 2，令y ′＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝3
2，x 2＝－2(舍去)．
当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－2，32时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2时，f ′(x )＞0，函数单调递增． ∴函数f (x )在x ＝32时取得极小值f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－283
4，无极大值，即在(－2,2)上函数f (x )的最小值为－283
4，无最大值．
10．设f (x )＝－13x 3＋1
2x 2＋2ax .
(1)若f (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
(2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－16
3，求f (x )在该区间上的最大值．
【解】 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19.所以，当a >－1
9时，f (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a
2， x 2＝1＋1＋8a 2
. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．
当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－27
2＋6a <0，即f (4)<f (1)， 所以f (x )在[1,4]上的最小值为 f (4)＝8a －403＝－16
3，
得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝10
3.
[能力提升]
1．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续
且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )
A ．f (a )－g (a )
B ．f (b )－g (b )
C ．f (a )－g (b )
D ．f (b )－g (a )
【解析】 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为减函数，
∴u (x )在[a ，b ]上的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 【答案】 A
2．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )
A.1
3(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3
D ．ln 3－1
【解析】 由题意知，|MN |＝|x 3－ln x |.设h (x )＝x 3－ln x ，h ′(x )＝3x 2－1
x ，令h ′(x )＝0，得x ＝313，易知，当x ＝313时，h (x )取得最小值，h (x )min ＝13－13ln 13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 13>0，故|MN |min ＝13⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－ln 13＝13(1＋ln 3)．
【答案】 A
3．已知函数f (x )＝2ln x ＋a
x 2(a >0)，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：26160095】
【解析】 由f (x )≥2，得a ≥2x 2－2x 2ln x .
设g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 12
或x ＝0(舍去)，
因为当0<x <e 1
2 时，g ′(x )>0；当x >e 12 时，g ′(x )<0. 所以当
x ＝e 12
时，g (x )取得最大值
g (e 12
)＝e ，故a ≥e.
【答案】 a ≥e
4．设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－3
2ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－6
2，求常数a ，b 的值．
【解】 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 由题意可知当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，
而f (0)＞f (a )，f (1)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小． 因为f (0)－f (1)＝3
2a －1＞0，
所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1，
又f (－1)－f (a )＝1
2(a ＋1)2(a －2)＜0，
所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－3
2a ， 所以－32a ＝－62，所以a ＝63. 综上，a ＝6
3，b ＝1.。