湖北省武汉市第二中学2021-2022学年高三上学期暑期模拟数学试题

武汉二中2022届新高三暑期模拟考试
数学试卷
考试时间：2021年8月22日上午7:30-9:30 试卷满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 复数3
21
i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）
A.15
B.15i
C. 15i -
D. 15
- 3. 已知且都不为0（），则“”是“关于的不等式与
同解”的（ ） A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到
个新人，这
人中有
个人
接种过疫苗(
称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某
地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（ ） A.
B.
C.
D.
5. 过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α，使//α平面11A B CD ，11A D 和11D C 的中点分别为E 和
F ，则直线EF 与平面α所成角的正弦值为( )
A ．1
2
B 3
C ．
23
D 3
6. 已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心.已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为（ ）
A ．
6π B ．3π C ．4π D ．2
π 7. 如图所示，已知()1,0F c -和()2,0F c 分别是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，
圆()2
224x c y c ++=与双曲线位于x 轴上方的图像从左到右依次交于、两点，如果12120AF F ∠=，则21BF F ∠的余弦值为( )。

A ．312-
B .312-
C .1
2
D .32 8.若ln ln ln 1a a b b c c >>=，则（ ） A ．ln ln ln b c c a a b e a e b e c +++>> B ．ln ln ln c a b c a b e b e a e c +++>> C ．ln ln ln a b c a b c e c e b e a +++>>
D ．ln ln ln a b b c c a e c e a e b +++>>
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是
（ ）
参考数据：随机变量
，则
，
，． A ．该校学生体育成绩的方差为10 B ．该校学生体育成绩的期望为70 C ．该校学生体育成绩的及格率不到85%
D ．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 10.已知数列的前项和是
，则下列结论正确的是（ ）
A ．若数列为等差数列，则数列为等差数列
B ．若数列
为等差数列，则数列
为等差数列
C ．若数列和均为等差数列，则
D ．若数列
和
均为等差数列，则数列
是常数数列
11.已知函数与函数有相同的对称中心，则下列结论正确
的是（ ） A ．若方程在
上有两个不同的实数根，则
取值范围是
B ．将函数的图象向右平移个单位，会与函数
的图象重合
C ．函数的所有零点的集合为
D ．若函数
在
上单调递减，则
，
12．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello )，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo ，于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个Trullo 的屋顶，得到圆锥其中为顶点，
为底面圆心)，母线
长为6米，
是母线
的靠近点的三等分点.从点
到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为
米.下面说法正确的是
（ ）
A ．圆锥的侧面积为平方米
B ．过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米
C ．圆锥的外接球表面积为
平方米
D ．棱长为
米的正四面体在圆锥
内可以任意转动
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设a Z ∈，且013a ≤<，若202151a +能被13整除，则a = 。

14.已知关于的不等式
的解集为
，则
的最小值为
________________．
15. 某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的A ，B ，C ，D 四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：A ，B ，C ，D 四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅A 一人获得最高得票的概率为 ．
16．在平面直角坐标系中，定义、两点间的直角距
离为，如图，
是圆
当时的一段弧，是
与轴的交点，将
依次以原点
为中心逆时针旋转
五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则
_______．若
点为曲线上任一点，则
的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：
km )，已知曲线ASB 为函数
()sin 0,01,2y A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+><<< ⎪⎝⎭，[]0,3x ∈的图像，且最高
点为()1,2S ，折线段AOD 为固定线路，其中3,4AO OD ==，，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定120BCD ∠=。

(1)求A 、ω、ϕ的值；
(2)若CBD θ∠=，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值。

18. 已知数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，数列{}n b 满足112,n n n b b b a n +==+-。

(1)证明数列{}n a n -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}n c 满足()()
111n n n n a n
c b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

19．如图，平面，，，，四边形
的对角线交于点M，N为棱上一点，且平面.
（1）求的值：
（2）求二面角的余弦值.
20.某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：
好评差评合计
男性68 108
女性60
合计216
（1）请将22
列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有
关”？
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；
（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取()m m *
∈N 人．现从这(10)m +人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽
到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：
()
20P x χ
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0x
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21.已知椭圆的左、右顶点分别为
，
，为原点.以
为对角线的正方形
的顶点，在
上.
（1）求的离心率； （2）当时，过
作与轴不重合的直线与交于
，
两点，直线，
的斜率分别为
，，试判断
是否为定值？若是，求出定值，
并加以证明；若不是，请说明理由.
22.已知函数．
（1）判断函数的零点个数； （2）求证：有两个极值点
，且
．
武汉二中2022届新高三暑期模拟考试数学
参考答案
1-8 DABCA AAC 9.BC 10.BCD 11. BD 12． AD 13.1 14. 45 15.
5
27 16． 132+ ,13222
++ 17. 【解析】(1)由已知，且有
，即3sin 2ϕ=
，由2
π
ϕ<， 得3
π
ϕ=
， 2分
又∵最高点为
，∴2sin 23πω⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，解得6πω=，∴2sin 6
3y x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4分
(2)∵B 点的横坐标为3，代入函数解析式得，
∴， 5分 在
中，设
，则
，
由正弦定理，有，
∴，， 7分
∴
， 9分
∴当且仅当6
πθ=
时，折线段BCD 最长，最长为
26
3
千米。

10分 18. 【解析】(1)∵当时，
， 1分
又∵，∴数列
是首项为，公比为的等比数列， 3分 ∴，∴
(
)； 5分
(2)∵，∴
， 6分
当
时
，当时
， 7分
∴，
当
时符合，∴
， 9分
∴， 10分
∴。

12分
19．（1）因为
，且
，所以
，从而
，
因为平面，平面，
平面
平面
，所以
，所以
.
（2）以点A 为坐标原点､方向为y 轴正方向､
方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，
，，由（1）知
，解得
，所以
，
，
设平面法向量为，则，，令
，得，平面的法向量为，所以
，由图可知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
20. 解：（1）填写22⨯列联表如下：
好评 差评 合计 男性 40 68 108 女性 60 48 108 合计
100
116
216
所以222
2
()216(68604048)2162160()()()()100116108108100116108108
n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯⨯=
==++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2162020216
7.45 6.63510011629
⨯⨯=
=≈>⨯，所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关”．
（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为
402
1005
=，且各次抽取之间相互独立，所以2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以3327(0)5125
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2
1
32354(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭， 2
23
2336(2)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，3
28(3)5125
P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭． 故X 的分布列为
X 0
1
2
3
P
27125 54125 36125 8125
（3）从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人，女性6人. 则Y 的可能取值为0，1，2．
所以24210(0)m m C P Y C ++==，1146210(1)m m C C P Y C ++==，0246
2
10
(2)m m C C P Y C ++==． 所以2110244646
222
101010
()0121m m m m m m C C C C C E Y C C C ++++++=⨯+⨯+⨯≥，即12410630m m C C +++≥， 即27180m m +-≤，解得92m -≤≤，又*m ∈N ，所以m 的最大值为2． 21.解法一：（1）以
为对角线的正方形
的顶点坐标分别为
，
，
.因
为，在椭圆上，所以，所以，
所以，所以椭圆的离心率；
（2）当时，，所以椭圆的方程为
.为定值，理由如下：
①当直线的斜率不存在时，的方程为，则
，
， 所以
，
，所以.
②当直线的斜率存在时，设的方程为，， 设，
，不妨设
，且.
由
可得
，
，，.
要证，只要证明：，只要证：，
只要证：，只要证：，
因为，，即证，
因为，，所以.
所以成立，综上所述：.
解法二：（1）同解法一；
（2）当时，，所以椭圆的方程为.
设的方程为，，设，，不妨设. 由可得，
，，.
所以，即.
.综上所述：.
22.（1）定义域为．
当时，令，得，令，得，
故在上单调递增，在上单调递减．∴至多有两个零点．
∵，∴，∴，∴在上有一个零
点．，所以在上导数大于零，函数递增，在上导数小于零，函数递减，，所以，
即，从而，
又∵，∴在上有一个零点．综上，函数有两个零点．
（2）的定义域为．
由（1）知有两个零点，设为，且，
且．又∵在上单调递增，在上单调递减．
∴当，或时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故为的两个极值点．
，同理．
欲证，即证．
∵，∴
∴，
令，即证，即证．
记，
∴在上单调递增，故，。