八年级数学频率与机会华东师大版知识粗讲

初二数学频率与机会华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
第十五章 频率与机会
本周教学目标：
1. 借助实验，进一步体会随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性。

2. 观察大量反复实验后获得的频率折线统计图，发现只要保持实验条件不变，随机事件的发生频率也会表现出规律，即随着相同条件下实验次数的增大，其值逐渐趋于稳定。

3. 通过实验，相信经过大量的重复实验后得到的频率值确实可以作为随机事件每次发生的可能性大小（即机会）的估计值，体会随机事件中所隐含着的确定性内涵。

4. 在简单的问题情境中会用不同的工具（包括计算器）进行模拟实验。

5. 通过动手实验和合作交流，进一步培养收集、描述、分析数据的技能，提高数学交流的水平，发展探索、合作的精神。

二. 重点、难点
1. 让学生理解随机事件的频率值可以对机会进行估计。

2. 实验前对机会的估计。

3. 用替代的实物模拟实验。

教学过程： 一. 相关知识复习 1. 可能性
2. 频数、频率
3. 机会计算
【典型例题】
例1. 下面第一排表示各立方体盒子里黑白棋的情况，请用第二排的语言来描述摸到白棋的可能性，并用线连起来。

30粒白棋 0粒黑棋
0粒白棋 30粒黑棋
5粒白棋 25粒黑棋 15粒白棋 15粒黑棋 28粒白棋 2粒黑棋 不可能 摸到白棋
一定 摸到白棋
很可能 摸到白棋
可能 摸到白棋
不太可能 摸到白棋
解析：略
例2. 解答题
（1）有一个可以自动转动的转盘，转盘上均匀排列着1～9九个数，游戏规则是： ①转动转盘，将转出的数填入两个方格的任意一个；
②继续转动转盘，再将转出的数填入剩下的方格中，得到一个两位数； ③比较得到的两位数，谁大谁就赢。

甲与乙转动转盘，第一次转出7，甲把“7”填入个位，乙把“7”填入十位，把第二次转出的数字填入剩下的方格中后，甲的两位数为m ，乙的两位数为n ，谁赢的可能性大？为什么？
（2）假如小猫在地上自由走动，随意停留在某块方砖上；
①它最终停留在黑色方砖上的机会是多少？
②有同学认为①的结果与下面的事件发生的机会相同：“密封袋中装有11个黑球5个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球是白球的机会是多少？”你同意吗？请简述理由。

解析：（1）乙赢的可能性大，因为比7大的数只有2种，而比7小的数有6种，所以“7”放在“十”位胜的机会多。

（2）机会均等。

例3. ①小明往下面的靶子上投石子，最容易投中黑色区的哪号？
1 2 3 4
②把标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9个球放在一个不透明的罐子里，从中任取两个球，记录20次，结果统计如下： 一奇一偶
两奇 两偶 甲 8 8 4 乙 6 6 8 丙
10
4
6
（1）甲取到的两球中：两偶的频率为_______；两奇的频率为_______；和为偶数的频率为___________。

（2）乙取到的两个球中：一奇一偶的频率为_________；差为偶数的频率为_______。

（3）丙取到的两个球上数字的和不大于17的频率为___________。

（4）合并甲、乙、丙三人的结果，则一奇一偶的频率为_______，两奇的频率为________，两偶的频率为_________。

（5）（4）中的频率能作为相应的事件发生的机会吗？继续实验，统计结果，分别估计一奇一偶、两奇、两偶三个事件发生的机会。

③如图是芳芳设计的自由转动的转盘，上面写有10个有理数。

想想看，转得下列各数的机会是多少？
1
－2
6 －10 8
9 －1
23
13
（1）转得8 （2）转得正数 （3）转得正整数
（4）转得绝对值大于6的数解：①2号
②（1）20％；40％；60％（2）30％；70％
（3）100％
（4）40％，30％，30％（5）不能
③（1）
1
10
（2）
1
2
（3）
2
5
（4）
3
10
二. 新知识体验
1. 在实验中寻找规律
例4. 一个布袋里有5个红色球，5个白色球，从中摸出一个记下颜色后放入布袋里，再摸出一个记下颜色后，再放入布袋里，这样重复100次，记录下的颜色是：
红红黄红黄黄红黄黄黄
黄红黄红黄红黄黄红红
黄黄红红红黄黄黄红红
红黄黄红黄黄黄黄黄红
黄红黄黄黄红红黄红红
红红黄黄黄红黄红黄红
红红红黄黄黄黄红红红
红红黄黄黄黄红黄黄红
黄红黄红红黄红黄红黄
红红黄黄红红黄黄红黄
将数据整理后填入下表：
投掷次数 5 10 15 20 25 30
出现红色的次数
出现红色的频率
投掷次数40 50 60 70 80 100
出现红色的次数
出现红色的频率
观察表中数字，你发现了什么规律？
投掷次数 5 10 15 20 25 30
出现红色的次数 3 4 6 9 12 14
出现红色的频率60％40％40％45％48％47％
投掷次数40 50 60 70 80 100
出现红色的次数17 22 27 33 37 47
出现红色的频率43％44％45％47％46％47％
随着实验次数的增加，频率逐渐趋于稳定。

例5. 不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，每次从袋中摸1个球，然后放回搅匀再摸，在摸球实验中得到下列表中部分数据。

摸球次数40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现红色球的频数14 23 38 52 67 86 97 111 120 136
出现红色球的频率35％32％33％35％35％
（1）请将数据表补充完整；
（2）画出折线图
出现红色球的频率
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 实验次数
20％
40％
35％
30％
25％
（3）观察上面的图表可以发现：随着实验次数的增大，出现红色小球的频率______。

解析：（1）29％；33％；36％；35％；34％
（2）略
（3）逐渐趋于稳定
例6. 不透明的袋中有4个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，1个为绿色，每次从袋中摸摸球次数 1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80
出现红球的频数 1 2 4 6 9 14 15 17 21 21
出现红球的频率40.0% 32.0%
摸球次数90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
出现红球的频数22 30 32 36 40 41 45 49 51 54
出现红球的频率26.0% 25.4%
（1）请将数据表补充完整；
（2）根据表中数据绘制折线图；
（3）摸球5次和摸球10次后所得频率值的差是多少？25次和30次之间呢？30次和40次呢？90次和100次呢？190次和200次呢？从中你发现了什么规律？
（4）根据以上数据你能估计红球出现的机会吗？是多少？
（5）你能估计白球出现的机会吗？你能估计绿球出现的机会吗？试一试。

解析：略
2. 用频率估计机会的大小
例7. 有一个“摆地摊”的主，他拿出3个白球和3个黑球，放在一个袋子里，让人摸球中奖，只要交2元钱，就可以从袋里摸3个球，如果摸到的3个球都是白球，可以得到10元的回报，请计算一下中奖的机会，如果全校有一半学生每人摸了一回，主将从学生身上骗走多少钱？
分析：机会是
20
1
，若全校有x名学生，将被骗走x
4
3
元
例8. 掷两个骰子，求投掷出点数之和为7的机会是多少。

分析：掷两颗普通的正方体骰子，记录两颗骰子的点数之和，如果第一颗骰子的点数为a，第二颗骰子的点数为b，我们将它记为（a，b）（注意：第一颗骰子的点数在前面）
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
总共36种结果，点数之和为7；有6种，则机会是1
6。

3. 模拟实验
例9. 抽屉中有同样质地、大小的两条红手帕，两条白手帕，一条花手帕，估计下列事件发生的机会，如果用实验的方法进行估计，但没有这样的手帕，你打算用什么替代物进行模拟实验？
（1）一次摸出两条手帕，其中一条红手帕，一条花手帕；
（2）一次摸出5条手帕，其中两条红手帕，两条白手帕，一条花手帕；
（3）一次摸出3条手帕，其中一条红手帕，两条花手帕。

答案：（1）20％；（2）100％；（3）0
若用替代物进行模拟实验，可以用同样大小、质地相同的2个红球、2个白球、一个黄球分别代替2条红手帕、2条白手帕、一条花手帕。

最简单的替代物是同样大小的纸条分别写上相应颜色手帕进行实验。

剖析：（1）一次摸出2条手帕，所有可能出现的结果有：（红，红）（红，白），（红，花），（白，
白），（白，花）共五种，其中1条红手帕，1条花手帕的情况是其中的一种情况，因此，发生的机会是1
5
，
即20％；
（2）因为抽屉里只有5条手帕，其中2条红手帕，2条白手帕，1条花手帕，所以这是个必然事件，发生的机会是100％；
（3）因为抽屉里只有1条花手帕，无论怎么摸，都不可能摸出2条花手帕，所以它是不可能事件，发生的机会等于0，用替代物模拟实验时，应注意两点：一是在相同的条件下进行，二是不影响实验结果。

例10. 电视台“幸运52”节目中有一猜商标获取奖金的栏目，其中设置了如图所示的翻奖牌：
正面：
云南白药南方日报脑白金
上海强生招商银行东风汽车
中华牙膏万利达伊利牛奶
反面：
500元合家欢乐100元
身体健康万事如意恭喜发财
下一次？100元笔记本电脑
参加活动的人要翻开一个商标，才能领取商标反面所示意的奖品，现在要考虑“中奖金”的机会。

（1）如果用实验进行估计，但又觉得制作翻奖牌太麻烦，你有什么简便的模拟实验的方法
（2）写出实验数据的结果
（3）如果不做实验，你能估计问题的答案吗？
解析：略
例11. 掷骰子时，若用计算器模拟实验
（1）若研究恰好出现1的机会，则要在_______到______范围中产生随机数，若产生的随机数是
__________，则代表“出现1”，否则就不是。

（2）若研究出现是2的倍数的机会，则要在_______到_______范围中产生随机数，若产生的随机数是__________，则代表“是2的倍数”，否则就不是。

解析：（1）1～6，1；（2）1～3，2
例12. 某彩票的投注方式如下：你可以从1～30中选出5个号码组成一注投注号码，中奖号码中有13，只要你所选的号码中有一个与中奖号码相同即可获奖。

若用计算器模拟实验，则要在_____到_______范围中产生随机数，若产生的随机数有__________，则表示这注投注号码可中奖。

解析：1～30；13
例13. 下面的各表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由。

另外，请提出一个新的你认为合理的模拟实验的方法。

（1）
需要研究的问题用替代物模拟实验的方法新的模拟实
验的方法
2副白手套2双白袜子
用什么实物抽屉中
1副黑手套
不透明袋
中1双黑袜子
怎样实验黑暗中摸出2只闭上眼摸出2只
考虑哪一事件
出现的机会
2只手套恰为1副的机会2只袜子恰为1双的机会
（2）
需要研究的问题用替代物模拟实验的方法新的模拟实
验的方法
2个红球
用什么实物不透明
袋中2个黑球
一枚硬币
怎样实验摸出1个球抛起后落地
考虑哪一事件
出现的机会
恰好摸出红球的机会正面朝上的机会
（3）
需要研究的问题用替代物模拟实验的方法新的模拟实
验的方法
3个红球3个男生名字
用什么实物不透明
袋中2个黑球
不透明
袋中2个女生名字
怎样实验摸出1个球摸出1个名字
考虑哪一事件
出现的机会
恰好摸出红球的机会恰好摸出男生名字的机会
分析：（1）不合理，手套分左右手，而袜子不分左右。

（2）、（3）略
三. 小结：
1. 知识结构
在实验中观察某
事件出现的频率
随着实验次数的增大，事件出现的频率逐渐稳定
用比较稳定的频率值近似地对机会进行估计模拟实验
用实物替代
用计算器产生随机数
2. 知识归纳
（1）在抛掷硬币的实验中，我们可以发现，虽然每次抛掷的结果是随机的、无法预测的，但随着实验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，我们就用平稳时的频率估计这一事件在每次抛掷时发生的可能性，也就是“机会”。

它反映了某一事件发生的规律性。

（2）我们知道，实验是估计机会大小的一种方法。

在实验中，观察某事件出现的频率，当频率逐渐稳定时，这个值就可以作为我们对该事件发生机会的估计。

对于有些事件，即使不做实验，也能估计机会的大小。

（3）在实验中，如果手边没有相应的实物，或者用实物进行实验困难较大，这就需要借助替代物进行模拟实验或用计算器产生一个随机数，这种替代物的模拟实验或计算器模拟实验不会对结果产生影响。

【模拟试题】
一. 选择题（每小题4分，共28分）
1. 抛掷均匀的正六面体的骰子，出现6的机会约是（）
A. 1
3
B.
1
4
C.
1
6
D. 无法确定
2. 在抛掷一枚硬币的实验中，某一小组做了500次实验，最后结果表示出现正面的频率是49.6％，此时出现正面的频数为（）
A. 248
B. 250
C. 258
D. 无法确定
3. 现给出1个30 的角、3个45 的角、3个60 的角和1个90 的角；从中任取3个角，能构成直角三角形的机会是（）
A. 9
56
B.
3
8
C.
6
56
D. 不能确定
4. 抛掷两枚普通的骰子，则出现数字之积为奇数的机会是（）
A. 1
4
B.
1
2
C.
1
3
D. 不能确定
5. 某事件发生的机会经过实验得到的频率是（1）50％；（2）3％；（3）56％；（4）98％，那么很可能发生但不一定发生的是（）
A. （1）
B. （2）
C. （3）
D. （4）
6. 在20名男生和15名女生的班级中，用抽签确定一名代表时，发生的机会大的是（）
A. 男生作代表
B. 女生作代表
C. 都一样
D. 不确定
7. 掷骰子时，发生的机会较大的是（）
A. 出现1点
B. 出现偶数点
C. 小于3的点
D. 大于5的点
二. 填空题（每小题4分，共32分）
8. 在实验掷骰子时，估计“出3点”发生的可能性为________，“出3点以上”发生的机会为_________，“不出现3点”的可能性为________，“出奇数点”发生的可能性为_________。

9. 从装有10个白球，15个红球和25个蓝球的袋中，掺杂搅匀后取出1个时，估计它是白球的机会为
________，是红球的机会为________，是蓝球的机会为_________。

10. 将由1到5的数字各写一张卡片，将这5张卡片很好洗开，从其中取出一张时，估计它是写有偶数的卡片的可能性为_________。

11. 在实验扔A、B两枚硬币时，估计两枚硬币都出现正面的机会为_________。

12. 在50根纤维中，有16根长度超过30mm，从这些纤维中任意取出一根，估计这根纤维长度超过30mm 的可能性为__________。

13. 某电视台综艺节目接到热线电话3000个，现要从中抽出“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的可能性为_________。

三. 解答题
14. 下表是某厂抽查一批产品的数据统计表，请将此表填写完整。

抽查产品件数100 250 500
一等品件数49 248
一等品的频率52.8％
15. 对下列说法谈谈你的看法：
（1）在乒乓球比赛中，抽球的成功率的大小与许多外界因素有关，所以，小林认为教练估计明明抽这个球的成功率为60％是毫无根据的。

（2）一种彩票的中奖率是1％，李明说，他买一张彩票中奖的机会是1％，买2张彩票中奖的机会是2％，……，因而他买100张彩票的机会是100％。

16. 有两组球票：第二组有足球票2张，篮球票3张，甲从第一组中任抽一张票，乙从第二组中任抽一张票，小名想通过实验估计这两张票都是足球票的机会，但是小名手中没有票，应该怎么办？
17. 抛两枚均匀的硬币，出现点数之积为偶数的机会是多少？如果没有硬币，请你设计一个用替代物模拟实验的方案。

18. 甲、乙、丙三个人戴了一顶一模一样的帽子，进舞厅前让服务员保存在同一个柜子里，粗心的服务员忘记留下记号，跳舞结束后，服务员随意地把帽子递给甲、乙、丙三人，试通过模拟实验估计他们都戴错了帽子的机会。

19. 16名棋手抽签分成五组，开始第一轮预赛，其中有两个是兄弟，则他们恰好抽到同一组的机会是多少？你有什么办法估计出本题的答案。

20. 某次市科普知识大奖赛中，第一轮比赛每人抽答5道选择题，每个选择题有4个选择支，其中有且只有一个选择支是正确的答案，答对一道题得20分，得分在60分或60分以上为及格。

一名参赛者抽到的5道选择题没有一道是会答的，他便随便选择了5个答案。

试通过模拟实验估计这名参赛者能及格的机会。

【试题答案】
1. C
2. A
3. C
4. A
5. D
6. A
7. B
8. 1
6
1
2
5
6
1
2，，，
9. 1
5
3
10
1
2，，
10. 2
5
11.
1
4
12.
8
25
13.
1
300
14. 49％131 49.6％
15. （1）不正确，可以预测成功；（2）不正确
16. 12张纸片，写上“足球票”“篮球票”字样
17. 2.75％，方案略
18. 1 6
19. 用模拟实验
20. 6.25％。