近年高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用课后作业理(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.3 平面向量的数量积及其应用课后作业理
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4．3 平面向量的数量积及其应用
[基础送分 提速狂刷练]
一、选择题
1．a ，b 为平面向量,已知a ＝（4,3），2a ＋b ＝(3，18），则a ,b 夹角的余弦值等于（ )
A 。

错误!
B ．－错误!
C 。

错误!
D ．－错误!
答案 C
解析 由题可知，设b ＝（x ,y ）,则2a ＋b ＝（8＋x ，6＋y )＝(3,18),所以可以解得x ＝－5,y ＝12，故b ＝(－5,12）．由cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ｜｜b |
＝错误!。

故选C.
2．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2,－1),且a ⊥b ，则错误!等于（ ）
A ．－错误!
B ．1
C ．2 D.错误!
答案 B
解析 ∵a ⊥b ,∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0，5)，a ＋b ＝(3,1）,∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5,∴错误!＝错误!＝1.故选B 。

3．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果错误!＋错误!＋错误!＝0，且|错误!|＝｜错误!|,则向量错误!在错误!方向上的投影为（ )
A ．6
B ．－6
C ．2 3
D ．－2错误!
答案 B
解析 由错误!＋错误!＋错误!＝0得，错误!＝错误!＋错误!。

∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF .
连接OF ，∵｜错误!｜＝|错误!｜＝｜错误!|＝4，
∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°。

∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin60°×2＝4错误!.
∴向量EF →
在错误!方向上的投影为｜错误!｜·cos〈错误!，错误!>＝4错误!cos150°＝－6，故选B 。

4．已知非零向量错误!与错误!满足错误!·错误!＝0且错误!·错误!＝错误!，则△ABC 为( ）
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
答案 D 解析 因为非零向量错误!与错误!满足错误!·错误!＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝错误!·错误!＝错误!，所以∠BAC ＝错误!.
所以△ABC 为等边三角形．故选D.
5．在△ABC 中，|错误!＋错误!|＝错误!｜错误!－错误!|，｜错误!｜＝｜错误!|＝3，则错误!·错误!的值为（ )
A ．3
B ．－3
C ．－错误! D.错误!
答案 D
解析 由｜错误!＋错误!|＝错误!|错误!－错误!｜两边平方可得，错误!2
＋AC →2＋2错误!·错误!＝3(错误!2＋错误!2－2错误!·错误!),即错误!2＋错误!2＝4错误!·错误!，又｜错误!｜＝|错误!｜＝3，所以错误!·错误!＝错误!，又因为错误!＝错误!－错误!，所以错误!·错误!＝（错误!－错误!)·(－错误!）＝错误!2
－错误!·错误!＝9－错误!＝错误!，故选D 。

6．(2017·龙岩一模）已知向量错误!与错误!的夹角为60°,且|错误!｜＝3，｜错误!｜＝2,若错误!＝m 错误!＋n 错误!,且错误!⊥错误!，则实数错误!的值为
( )
A 。

错误! B.错误! C ．6 D ．4
答案 A
解析 错误!·错误!＝3×2×cos60°＝3，∵错误!＝m 错误!＋n 错误!，且错误!⊥错误!,
∴(m 错误!＋n 错误!）·错误!＝（m 错误!＋n 错误!）·(错误!－错误!）＝(m －n )错误!·错误!－m 错误!2＋n 错误!2＝0，
∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0,
∴m n
＝错误!。

故选A.
7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若错误!·错误!＝错误!，则实数m ＝( ） A ．±1 B．±错误! C ．±错误! D ．±错误!
答案 C
解析设A(x A，y A），B（x B,y B），联立错误!消去y得2x2＋2mx＋m2－1＝0,由Δ＝4m2－8(m2－1)〉0，得－2〈m〈2，又x A x B＝错误!,x A＋x B＝－m，所
以y A y B＝（x A＋m）（x B＋m）＝m2－1
2
，由错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!)＝
－错误!·错误!＋错误!2＝－x A x B－y A y B＋1＝－m2＋2＝错误!，解得m＝±错误!。

故选C.
8．对任意两个非零的平面向量α和β,定义α·β＝错误!。

若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈错误!，且a·b和b·a都在集合错误!中，则a·b等于（）
A.错误! B。

错误! C．1 D。

错误!
答案D
解析根据新定义，得a·b＝错误!＝错误!＝错误!cosθ，b·a＝错误!＝错误!＝错误!cosθ.
又因为a·b和b·a都在集合错误!中，设a·b＝错误!，b·a＝错误!(n1，n
2
∈Z)，那么（a·b)·（b·a)＝cos2θ＝错误!，又θ∈错误!，所以0〈n1n2〈2。

所以n1，n2的值均为1,故a·b＝错误!＝错误!.故选D.
9．已知a,b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t,错误!的最小值是（)
A．2 B．2错误! C．4 D．4错误!
答案B
解析设a＝（1,0），b＝(0，1），c＝(x,y），则由c·a＝c·b＝1，得c
＝（1,1）,c＋t a＋1
t
b＝(1，1）＋t（1，0)＋
1
t
(0，1）＝错误!，错误!＝错误!＝
错误!≥2错误!，当且仅当t＝1时等号成立．故选B.
10．已知a,b是单位向量,a·b＝0。

若向量c满足｜c－a－b|＝1，则｜c|的取值范围是（)
A．［错误!－1,错误!＋1］B．[错误!－1,错误!＋2］
C．[1,错误!＋1] D．［1，错误!＋2]
答案A
解析以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a＝(1，0），b＝(0,1），设c＝（x，y),则c－a－b＝(x－1，y－1)，∵｜c－a －b｜＝1，∴(x－1）2＋(y－1）2＝1。

即（x，y)是以点M（1，1）为圆心,1
为半径的圆上的点，而｜c|＝错误!。

所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知,｜OM|－r≤｜c｜≤|OM|＋r，即|c｜∈［错误!－1，错误!＋1]．故选A.
二、填空题
11．已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝2，|a－2b|＝2错误!，则|b|＝________.
答案3
解析因为｜a｜＝2,｜a－2b|＝27,所以(a－2b)2＝28，即4－4a·b＋4｜b｜2＝28，又向量a，b的夹角为60°,所以4－4×2×｜b｜cos60°＋4｜b｜2＝28,解得|b|＝3。

12．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝错误!,向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
答案错误!
解析a·b＝(3e1－2e2)·（3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×错误!＝8。

∵|a|2＝（3e1－2e2）2＝9＋4－12×1×1×错误!＝9,
∴|a｜＝3。

∵｜b｜2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×错误!＝8,
∴|b|＝2错误!，
∴cosβ＝
a·b
｜a|｜b｜
＝错误!＝错误!.
13．在平行四边形ABCD中，∠A＝错误!，边AB,AD的长分别为2，1。

若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足错误!＝错误!，则错误!·错误!的取值范围是________．
答案[2,5]
解析如图所示，设错误!＝错误!＝λ，则λ∈[0，1]，
错误!·错误!＝(错误!＋错误!）·(错误!＋错误!）＝(错误!＋λ错误!）·[错误!＋（λ－1)错误!］＝错误!·错误!＋（λ－1)错误!·错误!＋λ错误!·错误!＋λ(λ－1)错误!·错误!＝1×2×错误!＋(λ－1)×(－4）＋λ×1＋λ（λ－1）
×（－1）＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.
∵λ∈［0，1］，∴错误!·错误!∈［2,5]．
14．在△ABC中，∠A＝60°,AB＝3，AC＝2，若错误!＝2错误!，错误!＝λ错误!－错误!（λ∈R)，且错误!·错误!＝－4，则λ的值为________．答案错误!
解析由题意，知｜错误!|＝3，|错误!｜＝2，
错误!·错误!＝3×2×cos60°＝3,
错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!，
∴错误!·错误!＝错误!·(λ错误!－错误!)
＝λ－2
3错误!
·错误!－错误!错误!2＋错误!错误!2
＝错误!×3－错误!×32＋错误!×22
＝错误!λ－5＝－4,解得λ＝错误!.
三、解答题
15．在直角坐标系xOy中，已知点A（1,1),B(2，3），C(3，2），点P（x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界）上，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R)．
(1)若m＝n＝错误!,求|错误!|；
（2）用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解（1)∵m＝n＝错误!，错误!＝(1，2）,错误!＝（2,1）,
∴错误!＝错误!(1，2)＋错误!（2,1）＝（2,2），
∴｜错误!|＝错误!＝2错误!.
(2）∵错误!＝m(1,2）＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n），
∴错误!
两式相减，得m－n＝y－x。

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B（2,3）时,t取得最大值1，故m－n的最大值为1。

16．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos（A－B)，sin（A－B）),n＝(cos B，－sin B），且m·n＝－错误!.
(1）求sin A的值；
(2)若a＝4错误!，b＝5，求角B的大小及向量错误!在错误!方向上的投影．
解(1)由m·n＝－错误!,
得cos（A－B)cos B－sin（A－B）sin B＝－错误!，
所以cos A＝－错误!。

因为0〈A<π，
所以sin A＝错误!＝错误!＝错误!.
(2)由正弦定理，得错误!＝错误!，
则sin B＝错误!＝错误!＝错误!，
因为a>b，所以A〉B，且B是△ABC一内角，则B＝错误!.
由余弦定理得(4错误!）2＝52＋c2－2×5c×错误!，
解得c＝1，c＝－7（舍去)，
故向量错误!在错误!方向上的投影为｜错误!|cos B＝c cos B＝1×错误!＝错误!.。