九年级数学上册 期末试卷达标检测(Word版 含解析)

九年级数学上册 期末试卷达标检测（Word 版 含解析）
一、选择题
1．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ）
A ．13
B ．512
C ．12
D ．1
2．如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8，则EF ＝（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4
3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则ADE ABC 的面积的面积
＝（ ）
A ．13
B ．14
C ．16
D ．19
4．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）
A ．18°
B ．24°
C ．30°
D ．26° 5．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m≥1
B ．m≤1
C ．m ＞1
D ．m ＜1 6．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A ．19 B ．13 C ．12 D ．23
8．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A ．平均分不变，方差变大
B ．平均分不变，方差变小
C ．平均分和方差都不变
D ．平均分和方差都改变
9．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根 10．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．中位数是3，众数是2
B ．中位数是2，众数是3
C ．中位数是4，众数是2
D ．中位数是3，众数是4 11．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A ．-2
B ．2
C ．-3
D ．3 12．下列说法正确的是（ ）
A ．所有等边三角形都相似
B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C ．所有直角三角形都相似
D ．所有矩形都相似
二、填空题
13．若m 是方程2x 2﹣3x ＝1的一个根，则6m 2﹣9m 的值为_____．
14．已知∠A ＝60°，则tan A ＝_____．
15．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m .
16．如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝6，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点C 作⊙O 的切线交AD 于点N ，切点为M ．当CN ⊥AD 时，⊙O 的半径为____．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，
则OD 的长为______．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.
19．方程22x x =的根是________．
20．把抛物线2
2(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是__________．
21．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).
22．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）
23．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表 x
… －1 0 1 2 3 … y … －3 －3 －1 3
9 … 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝
________．
24．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2
S 甲、2S 乙，且22S S >甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．
三、解答题
25．某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y （件）与销售单
价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．
26．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．
27．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：
数量/条平均每条鱼的质量/kg
第1次捕捞20 1.6
第2次捕捞15 2.0
第3次捕捞15 1.8
（1）求样本中平均每条鱼的质量；
（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；
（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x （kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
29．解下列方程：
（1）()2
239x +=
（2）2430x x --=
30．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号)
①ABM ；②AOP ；③ACQ
（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为12
，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 3为半径画⊙B ，若直线3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于32
，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围．
31．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
32．如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，
DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案.
【详解】
解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴红灯的概率是：
301 302552
=
++
.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键. 2．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．
【详解】
解：∵a∥b∥c，
∴AB DE BC EF
=,
∵AB＝1.5，BC＝2，DE＝1.8,
∴1.5 1.8
2EF
= , ∴EF=2.4
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
由DE∥BC知△ADE∽△ABC，然后根据相似比求解．
【详解】
解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC.
又因为DE＝2，BC＝6，可得相似比为1:3.
即ADE
ABC
的面积
的面积
=22
13：=
1
9
.
故选D.
【点睛】
本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．
【详解】
解：如图，连接CO,
∵CE ＝OB ＝CO=OD ，
∴∠E ＝∠1，∠2＝∠D
∴∠D=∠2＝∠E +∠1＝2∠E ．
∴∠3＝∠E +∠D ＝∠E +2∠E ＝3∠E ．
由∠3＝72°，得3∠E ＝72°．
解得∠E ＝24°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．
5．D
解析：D
【解析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，
∴()2
240m =-->，
解得：m ＜1．
故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 6．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB ＝OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
解：连接OB ，OC ，
∵∠BAC ＝30°，
∴∠BOC ＝60°．
∵OB＝OC，BC＝8，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝8．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】
解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是31 93 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平均数、方差的定义计算即可.
【详解】
∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，
∴40人的平均数是90分，
∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41，
∴方差变小，
∴平均分不变，方差变小
故选B.
【点睛】
本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，
1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，
∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
先将这组数据从小到大排列，找出最中间的数，就是中位数，出现次数最多的数就是众数．
【详解】
解：将这组数据从小到大排列为：
2，2，2，3，5，6，8，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了三次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是2；
故选：A.
【点睛】
此题考查了众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B．
【点睛】
考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-b
a
，x1•x2=
c
a
．要求
熟练运用此公式解题．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．
【详解】
解：A、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
B、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
C、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
D、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形各内角为60°，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键．
二、填空题
13．3
【解析】
【分析】
把m代入方程2x2﹣3x＝1，得到2m2-3m=1，再把6m2-9m变形为3（2m2-
3m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，
解析：3
【解析】
【分析】
把m代入方程2x2﹣3x＝1，得到2m2-3m=1，再把6m2-9m变形为3（2m2-3m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m＝3(2m2﹣3m)＝3×1＝3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】
tanA=tan60°=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】
tan A=tan60°．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
15．54
【解析】
【分析】
在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.
【详解】
解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，
，
解得x=0.54
即举起的手臂超出头顶0.54m
解析：54
【解析】
【分析】
在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.
【详解】
解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，
1.8 1.80.60.78
x ， 解得x=0.54
即举起的手臂超出头顶0.54m.
故答案为：0.54.
【点睛】
本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.，
16．2或1.5
【解析】
【分析】
根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.
【详解】
解：设半径为r ，
∵AD、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，AB ＝
解析：2或1.5
【解析】
【分析】
根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.
【详解】
解：设半径为r ，
∵AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，AB ＝5，AD ＝6
∴GC=r ，BG=BF=6-r ，
∴AF=5-（6-r ）=r-1=AE
∴ND=6-（r-1）-r=7-2r ，
在Rt △NDC 中，NC 2+ND 2=CD 2，
（7-r ）2+（2r ）2=52，
解得r=2或1.5.
故答案为：2或1.5.
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，正确得出线段关
系，列出方程是解题关键.
17．4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=1
BC=3，
2
∵OB=1
AB=5，
2
∴在Rt△OBD中，=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
18．2
【解析】
【分析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求
解析：2
【解析】
【分析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=1
2
CK，BF=
1
2
BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=1
2
CF=
1
2
BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF=BF
OF
=2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为2
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
19．x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x(x-2)=0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一
解析：x1＝0，x2＝2
【解析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵22x x =，
∴22=0x x -，
∴x(x-2)=0，
x 1＝0，x 2＝2．
故答案为：x 1＝0，x 2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
20．【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移规律平移即可．
【详解】
抛物线向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是
即
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函
解析：22(1)2y x =+-
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移规律平移即可．
【详解】
抛物线2
2(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是 22(12)13y x =-++-
即2
2(1)2y x =+-
故答案为：22(1)2y x =+-．
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 21．>
【解析】
利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，
∴点，都在对称轴右侧的抛物线
解析：>
【解析】
【分析】
利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，
∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，
∴1y ＞2y ．
故答案为＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．
22．乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲的方差为0
解析：乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，
∴S 甲2＞S 乙2，
∴成绩较为稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
23．－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3
解析：－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得
3 1 3c
a b c a b c
-=⎧
⎪
-=++⎨
⎪-=-+⎩，解得
1
1
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，∴y=x²+x-3,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴
x=
1
22
b
a
-±-±
=
=−1±
2
，
∵1x<0,
∴1x=−1
＜0，
∵-4≤
-3，
∴
3
2
22 -≤-≤-，
∴-
≤ 2.5 -，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
24．乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵，
∴队员身
解析：乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵22S S >甲乙，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差．解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量
三、解答题
25．（1）10700y x =-+；（2）销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元；（3）44≤x ≤56
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；
（3）利用w=3640，进而解方程，再利用二次函数增减性得出答案．
【详解】
解：（1）y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+
把（35，350），（55，150）代入得：
由题意得：3503515055k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得：10700k b =-⎧⎨=⎩
∴y 与x 之间的函数关系式为：10700y x =-+．
（2）设销售利润为W 元
则W=（x ﹣30）•y =（x ﹣30）（﹣10x +700），
W =﹣10x 2+1000x ﹣21000
W =﹣10（x ﹣50）2+4000
∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．
（3）令W =3640
∴﹣10（x ﹣50）2+4000=3640
∴x 1=44，x 2=56
如图所示，由图象得：
当44≤x ≤56时，每天利润不低于3640元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
26．
173
cm 【解析】
【分析】 设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，由垂径定理可求出BD 的长，再根据最深地方的高度是3cm 得出OD 的长，根据勾股定理即可求出OB 的长．
【详解】
解：设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，
则AD ＝BD ＝
12AB ＝12
×10＝5cm ， ∵最深地方的高度是3cm ，
∴OD ＝r ﹣3，
在Rt △OBD 中，
OB 2＝BD 2+OD 2，即2r ＝52+（r ﹣3）2， 解得r ＝173
（cm ）， ∴输水管的半径为
173cm ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，构造圆中的直角三角形，灵活利用垂径定理是解题的关键. 27．（1）1.78kg；（2）8900kg；（3）y＝14x，0≤x≤8900．
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的公式求解即可；
（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；
（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．
【详解】
（1）样本中平均每条鱼的质量为20 1.615 2.015 1.8
1.78
201515
⨯+⨯+⨯
=
++
（kg）．
（2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg，
∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝8900（kg）．
（3）∵每千克的售价为14元，
∴所求函数表达式为y＝14x，
∵该种鱼的总质量约为8900kg，
∴估计自变量x的取值范围为0≤x≤8900．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．
28．（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q 坐标为：(﹣2，2)或(﹣515或(﹣155)或(2，﹣2)．
【解析】
【分析】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知
PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则
BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．【详解】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得
420
2
a b c
c
a b c
-+=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪++=
⎩
，
解得：
1
1
2 a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，
∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB
＝1
2 MD•OA
＝1
2
×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m
＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，
∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，
即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+5，x2＝﹣1﹣5，
∴Q（﹣1+5，1﹣5）或（﹣1﹣5，1+5），
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，
∴BQ ＝OP ＝2，点Q 的横坐标为2，
把x=2代入y ＝﹣x 得y=-2， ∴Q （2，﹣2），
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，2）或（﹣515155（2，﹣2）．
【点睛】
本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，熟练掌握二次函数的性质把运用分类讨论的思想是解题关键．
29．（1）13x =-，20x =；（2）127x =，227x =
【解析】
【分析】
（1）直接用开平方求解即可．
（2）用配方法解方程即可．
【详解】
（1）解：由()2
239x +=
得233x +=±
即233x +=-或233+=x ∴26x =-，或20x =
解得13x =-，20x =
（2）解：243x x -=
∴24434x x -+=+
∴2
(2)7x -=
∴27x -=∴127x =，227x =．
【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
30．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜3或73-＜B x ＜23-- 【解析】
【分析】
（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．
（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围．
【详解】
（1）如下图所示：
∵PM 是⊙O 的切线，
∴∠PMO=90°，
当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-
∵1=2
PMO S PM OM ••， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．
（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：
按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ． 则由已知可得：111=1222
AEF S AE EF EF ••=⨯⨯=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE =
=．
∵A(0,2)，即OA=2， ∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==，
∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，
将F 点代入y=kx 可得：1k =-．
②当k ＞0时，同理可得k=1．
故综上：1k =±．
（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：
在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC ODC OD
∠==ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形，
∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°，
在直角△BDN 中，sin BN BDN BD ∠=
， 故23=sin sin 60?BN BN BD BN BDN =∠． ∵⊙B 3，
∴3BM =．
当直线CD 与⊙B 相切时，3BN BM ==
因为直线CD 与⊙B 相离，故BN BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞2．
由已知得：11=22BMN S MN BM MN ••=•=MN ＜1．
在直角△BMN 中，BN ==，此时可利用勾股定理
算得BD OB BD OD =- -
则2＜B x
②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：3-
＜B x ＜2-
故综上：2＜B x B x ＜2- 【点睛】 本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
31．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
【解析】
【分析】
（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；
（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．
【详解】
（1）根据题意得3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩
， 解得12a b =⎧⎨=-⎩
， 所以抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a ＞0，
∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
【点睛】
此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．
32．（1）见解析；（2。