2019-2020学年广东省揭阳市义西中学高三数学文模拟试题含解析

2019-2020学年广东省揭阳市义西中学高三数学文模拟
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）
A．2 B．4 C． D．
参考答案：
C
2. 某艺校在一天的5节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他两门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称
为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
4. 元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0时，问一开始输入的x=（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
第一次输入，；
第二次输入，；
第三次输入，；
第四次输入，，输出，解得.
故选B.
5. 函数的图象大致是（）
参考答案：
C
略
6. 将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．
【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P′（x′，y′），P（x，y），则
=，代入到已知解析式中可得选A
法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．
故选A．
7. 在数列{a n}中a1=2i（i为虚数单位），（1+i）a n+1=（1－i）a n（n）则a2013的值为
A．－2 B．－2i C．2i D．2
参考答案：
C
因为（1+i）a n+1=（1－i）a n，，所以，所以
，……，所以数列{a n}的周期为4，所以。

8. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数k等于（e为自然对数的底数）（）
A. 1
B. 2
C. e
D. 2e
参考答案：
C
试题分析：根据分段函数的解析式画出函数图像，得到函数的单调性，由图像知道函数和函数第一段相切即可，进而转化为方程的解得问题, 根据导数的几何意义得到
,解出方程即可.
详解：
根据分段函数的表达式画出函数图像得到函数是单调递增的，由图像知道函数和函数第一段相切即可，设切点为（x,y）则根据导数的几何意义得到解得，
k=e.
故答案为：C.
点睛:这个题目考查了导数的几何意义，本题中还涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
9. 已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且等于
A. B. C. D.
参考答案：
10. 已知复数，则该复数在复平面内对应的点在第( )象限
A.一
B.二
C.三
D.四
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. .右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 .
参考答案：
7500
略
12. 在边长为1的正三角形中，设，则。

参考答案：
本题考查向量数量积的运算和向量加法，难度中等。

因为所以
，
=。

13. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
参考答案：
14. 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1， x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）
参考答案：
①②④
【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）、赋值x=﹣3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0．
（2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），又因为f （x+6）=f （x），得周期为6，
从而f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴（3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．
（4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．
②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），
而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），
所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．
③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有
所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，
因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数
而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．
④：f（3）=0，f（x）的周期为6，
所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0
函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．
故答案为：①②④．
【点评】本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋值法求函数值．
15. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．
参考答案：
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数m=2×6+6×4﹣2×4=28，由此能求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率．
【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，
基本事件总数n=6×6=36，
小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数：
m=2×6+6×4﹣2×4=28，
∴小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为：
p==．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
16. 在边长为的正方形中, 动点和分别在边和上, 且
,则的最小值为．
参考答案：
考点：向量的几何运算和数量积公式及的运用．
【易错点晴】本题考查的是向量的几何形式为背景的数量的最小值问题.解答时充分借助题设条件和向量运算的三角形法则,将向量表示为；将向量表示为
,这是解答好本题的关键.然后运用向量的乘法运
算建立关于为变量的目标函数,在求该函数的最小值时,巧妙地运用了基本不等式这一重要工具.
17. 直线与抛物线相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知向量，函数·，且最小正周期为
．
（1）求的值；
（2）设，求的值．
（3）若，求函数f(x)的值域；
参考答案：
解:（1）由已知，易得
F(x)的最小正周期为，即，解得
………4分
（2）由（1），知，则
所以，又，所以
同理
所以，又，所以
所以
=
………10分
（3）当时，,令t=，则，
原函数可化为，
当
;
当
，函数f(x)的值域为：
………14分
19. （本小题满分12分）
空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的的茎叶图如图．
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）若从样本中的空气质量不佳（）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.
参考答案：
(1) ；(2) .
考点：1、茎叶图；2、古典概型的计算.
20. (本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=55,且a2、a4、a8成等比数列.
(I)求数列{a n}的通项公式；
(II)若数列{b n}满足b n =(n∈N*)，求b1 + b5+ b9+…+ b4n-3的值.
参考答案：
（1）由已知可得：，即，
，又，
(2)
分
又因为，
.
……………………6分
（2）由（1）可知，
可知是首项为1，公差为2的等差数
列. ……………………8分
……………………12分
21. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
参考答案：
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，
DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角．
（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
转化到直角三角形求解即可．
解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．
2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，
在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，
则 tan=tan∠DPF===，解得．
所以==
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时， =．
（解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），
于是=0，即PB⊥DE．
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．
因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，
则运用向量的数量积求解得出cos==，
解得．所以所以==
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时， =．
22. (本小题满分12分)已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差也为q，且．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若数列{b n}的首项为2，其前n项和为T n，当时，试比较b n与T n的大小. 参考答案：
解：（Ⅰ）由已知可得，……………………………………………1分∵是等比数列，
∴. ……………………………………………………………2分
解得或.
∵，
∴……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等差数列的公差为，∴，………………………………………………5分
，………………………………………7分
，…………………………………………………9分
当时，；当时，；当时，.
综上，当时，；
当时，；
当时，.………………………………………………12分。