苏教版数学高二-《新学案》 选修1-1教学案 3.2.1瞬时变化率 导数(1)

3.2.1瞬时变化率——导数(1)
教学过程
一、数学运用
【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率. (见学生用书P47) 让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:①求差商f(x0+Δx)-f(x0);②当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;③曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.
解==
-.
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.
本题应注意分子有理化思想的应用,再用逼近思想处理.
变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.
解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.
【例2】物体自由落体的运动方程为S=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求该物体在t=3时的瞬时速度.(见学生用书P48)
瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.
解取一小段时间,位移改变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.
如何求t=3时的瞬时加速度呢?
变式设一物体在时间t(单位s)内所经过的路程为S(单位m),并且S=4t2+2t-3,试求物体在运动开始及第5s末的瞬时速度.
解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,
当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻ts的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.
【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.
(见学生用书P48)
曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.
解设切点坐标为(x,x3+x-10).
==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1.由题意,3x2+1=4,得x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为
4x-y-8=0.
变式已知曲线y=x2上过某一点的切线满足下列条件,求此点坐标.
(1) 平行于直线y=4x-5;
(2) 垂直于直线2x-6y+5=0;
(3) 与x轴成135°倾斜角.
利用导数的概念及两直线的位置关系.
解设P(x0,y0) 是满足条件的点.
==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.
(1) 因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,得x0=2,y0=4,即P(2,4).
(2) 因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1,得x0=-,y0=,即P.
(3) 因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,则2x0=-1,得x0=-,y0=,即P-,.
【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.
利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程求解.
解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.
变式4已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.
利用导数的几何意义:函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率.
解由题意,得.
二、课堂练习
1. 如图,直线l是过曲线上P, Q两点的直线,当点Q沿曲线向点P靠近时,直线l的斜率变大.(填“变大”或“变小”)
(第1题)
2. 已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.
提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.
3. 质点沿x轴运动,设距离为x(单位:m),时间为t(单位:s),运动方程为x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt m/s;当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0 m/s;当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10 m/s2;当t=t0时,质点的瞬时加速度为10 m/s2.
提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt;
当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0m/s;
当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10 m/s2;
当t=t0时,质点的瞬时加速度为10m/s2.
三、课堂小结
1. 求曲线上一点处的切线的方法.
2. 运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.
3. 导数的定义及几何意义.。