2010级高二暑假数学补充作业(11)

3
图2010级高二暑假数学补充作业（11）
1．设a ∈R ，若i )i (2-a （i 为虚数单位）为正实数，则a =
2．设集合}21|{<-=x x M ，{|(3)0}N x x x =-<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的 条件
3．已知函数x x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--
=x x x h 的零点分别为,,21x x
3x ，则321,,x x x 的大小关系是从小到大为
4．若曲线C ：045422
2
2
=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为 5．（理科做）设n a a a ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（n i ,,2,1 =）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为
6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则
=+85a a ．
7．图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法
．若输入
2010=m ，1541=n ，则输出=m ．（注：框图中的的
赋值符号“＝”也可
以写成“←”或“：＝”）
8．已知443322104)21(x a x a x a x a a x ++++=+， 则4321432a a a a -+-= ．
9．若双曲线
22
13x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重=m ． 10．若不等式a
a x x 4
|3||1|+≥-++对任意的实数x 的取值范围是
11．（理科做）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧-=-=.
24,
12t y t x （参数R ∈t ），以直角坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离为 ． 12、已知函数)3
sin()6sin(2)(π
+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π． （1）求ω的值；
（2）在△ABC 中，若B A <，且21
)()(==B f A f ，求AB
BC ．
13、如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，
AB AC AE ==．
（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你
的结论；
（2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角
θ的余弦值．
14、已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ， 2
)1()(x x f x f ++='恒成立．
（1）求)(x f 的解析表达式；
（2）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值．
15、在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，
22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．
（1）分别计算
3513,a a a a 和4
6
24,a a a a 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列}1
{n
a 的前n 项和为n S ，证明：24+<
n n S n ，*n N ∈．
3
图2010级高二暑假数学补充作业（11）
1．设a ∈R ，若i )i (2-a （i 为虚数单位）为正实数，则a =1
2．设集合}21|{<-=x x M ，{|(3)0}N x x x =-<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的必要而不充分条件 3．已知函数x x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--
=x x x h 的零点分别为,,21x x
3x ，则321,,x x x 的大小关系是123x x x <<
4．若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为),2(∞+ 5．（理科做）设n a a a ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（n i ,,2,1 =）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为144
6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则
=+85a a 27．
7．图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法
．若输入
2010=m ，1541=n ，则输出=m 67．（注：框图中的的赋值
符号“＝”也可以写
成“←”或“：＝”）
8．已知443322104)21(x a x a x a x a a x ++++=+， 则4321432a a a a -+-=－8．
9．若双曲线
22
13x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重=m 6． 10．若不等式a
a x x 4
|3||1|+≥-++对任意的实数x
}
2{)0,( -∞．
11．（理科做）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧-=-=.
24,
12t y t x （参数R ∈t ），以直角坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离为
2
．
12、已知函数)3
sin()6sin(2)(π
+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π． （1）求ω的值；
（2）在△ABC中，若B
A<，且
2
1
)
(
)
(=
=B
f
A
f，求
AB
BC
．
解：（1）∵⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡π
-
π
+
π
-
=
π
+
π
-
=
2
)
3
(
cos
)
6
sin(
2
)
3
sin(
)
6
sin(
2
)
(x
ω
x
ω
x
ω
x
ω
x
f
)
6
cos(
)
6
sin(
2
π
-
π
-
=x
ω
x
ω)
3
2
sin(
π
-
=x
ω．
而)
(x
f的最小正周期为π，ω为正常数，∴π
=
π
ω
2
2
，解之，得1
=
ω．
（2）由（1）得)
3
2
sin(
)
(
π
-
=x
x
f．
若x是三角形的内角，则π
<
<x
0，∴
3
5
3
2
3
π
<
π
-
<
π
-x．
令
2
1
)
(=
x
f，得
2
1
)
3
2
sin(=
π
-
x，∴
6
3
2
π
=
π
-
x或
6
5
3
2
π
=
π
-
x，
解之，得
4
π
=
x或
12
7π
=
x．
由已知，B
A,是△ABC的内角，B
A<且
2
1
)
(
)
(=
=B
f
A
f，
∴
4
π
=
A，
12
7π
=
B，∴
6
π
=
-
-
π
=B
A
C．
又由正弦定理，得2
2
2
2
6
sin
4
sin
sin
sin
=
=
π
=
=
C
A
AB
BC
．
13、如图5，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，90
BAC ACD
∠=∠=︒，60
EAC
∠=︒，AB AC AE
==．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得//
DP平面EAB？请证明你的结论；
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．
解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P．
证明如下：
取AB的中点F连结DP PF EF
、、，则
AC
FP//，AC
FP
2
1
=，
取AC的中点M，连结EM EC
、，
∵AC
AE=且60
EAC
∠=︒，
∴△EAC是正三角形，∴AC
EM⊥．
∴四边形EMCD为矩形，
∴AC
MC
ED
2
1
=
=．又∵AC
ED//，
∴FP
ED//且ED FP
=，
四边形EFPD是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
M
F
G
∴EF
DP//，
而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，
∴//
DP平面EAB．
（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连结DG，
∵AC
ED//，∴l
ED//，
l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，AC
DC⊥，∴⊥
DC平面ABC，
又∵⊂
l平面ABC，∴⊥
l平面DGC，∴DG
l⊥，
∴DGC
∠是所求二面角的平面角．
设a
AE
AC
AB2
=
=
=，则a
CD3
=，a
GC2
=，
∴a
CD
GC
GD7
2
2=
+
=，
∴
7
7
2
cos
cos=
=
∠
=
GD
GC
DGC
θ．
14、已知)
(x
f是二次函数，)
(x
f'是它的导函数，且对任意的R
∈
x，2
)1
(
)
(x
x
f
x
f+
+
=
'恒成立．
（1）求)
(x
f的解析表达式；
（2）设0
>
t，曲线C：)
(x
f
y=在点))
(
,
(t
f
t
P处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为)
(t
S．求)
(t
S的最小值．
解：（Ⅰ）设c
bx
ax
x
f+
+
=2
)
(（其中0
≠
a），则b
ax
x
f+
=2
)
('，
c
b
a
x
b
a
ax
c
x
b
x
a
x
f+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+)
2(
)1
(
)1
(
)1
(2
2．
由已知，得2
2(1)(2)
ax b a x a b x a b c
+=++++++，
∴
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
=
+
b
c
b
a
a
b
a
a
2
2
1
，解之，得1
-
=
a，0
=
b，1
=
c，∴1
)
(2+
-
=x
x
f．
（2）由（1）得，)
1,
(2t
t
P-，切线l的斜率t
t
f
k2
)('-
=
=，
∴切线l的方程为)
(
2
)
1(2t
x
t
t
y-
-
=
-
-，即1
22+
+
-
=t
tx
y．
从而l与x轴的交点为)0,
2
1
(
2
t
t
A
+
，l与y轴的交点为)1
,0(2+
t
B，
∴
t
t
t
S
4
)1
(
)(
2
2+
=（其中0
>
t）．
∴
2
2
4
)1
3
)(
1
3
)(
1
(
)('
t
t
t
t
t
S
-
+
+
=．
当3
3
0<
<t 时，0)('<t S ，)(t S 是减函数； 当3
3
>
t 时，0)('>t S ，)(t S 是增函数． ∴93
433)]([min
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=S t S ． 15、在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列，
,3,2,1=n ．
（1）分别计算
3513,a a a a 和4
6
24,a a a a 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列}1
{
n
a 的前n 项和为n S ，证明：24+<n n S n ，*n N ∈． 解：（1）由已知，得31222123=-⨯=-=a a a ，2
9
23222
34===a a a ，
632922345=-⨯=-=a a a ，82
962
4
2
56===a a a ．
（2）（法1）∵12212,,+-n n n a a a 成等差数列，∴122122-+-=n n n a a a ， ,3,2,1=n ； ∵22122,,++n n n a a a 成等比数列，∴n
n n a a a 22
12
2
2++=， ,3,2,1=n ． 又
1313=a a ，2435=a a ，3557=a a ，……；4924=a a ，91646=a a ，16
25
68=
a a ，…… ∴猜想n n a a n n 21212+=-+，2
22212⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+n n a a n n ，*n N ∈，
以下用数学归纳法证明之．
①当1=n 时，1211313112112+===-⨯+⨯a a a a ，2
2412212112149⎪⎭⎫ ⎝⎛++===⨯+⨯a a a a ，猜想成立；
②假设)1(≥=k k n 时，猜想成立，即k k a a k k 21212+=-+，2
22212⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+k k a a k k ，
那么
1222212121
222
12
1
21
2221232-=-⨯=-=+++++++++k
k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a
1212
411412
21
21
212121
2121
2-+++⨯
=-+⨯
=-+=
-+-++-+k k k k a a a a a a a k k k k k k k 1
2)1(11)2(2+++=-++=k k k k ， 2
22122222232222223
22
24
22⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==++++++++++k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a 2
2222222
222
2222122⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=+++++k k k k k k k k a a a a a a a a 2
21)1(2)1(121122⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++++=⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⨯=k k k k k k ． ∴1+=k n 时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立． ∴3
2125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=n n n n n a a a a a a a a a a a a 2)
1(1123524131+=-+⨯-⨯
⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ， 22268462422-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n
a a a a a a a a a a 2)1(1453423222
2
2
2
+=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n ． （注：如果用数学归纳法仅证明了
n
n a a n n 2
1212+=
-+，*n N ∈， 则由21(1)
2
n n n a -+=
，得 2
)1(22)
2)(1(2)1(2
21
2122+=
+++
+=+=
+-n n n n n a a a n n n ； 如果用数学归纳法仅证明2
22212⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+n n a a n n ，*n N ∈，
则由2
)1(2
2+=n a n
，得
2
)
2)(1(2)2(2)1(222
2212++=
+⨯+==++n n n n a a a n n n ， 又2)11(111+⨯=
=a 也适合，∴2
)1(12+=-n n a n ．） ∴当n 为奇数时，8
)
3)(1(212121++=⎪⎭⎫
⎝⎛+++=n n n n a n ；
当n 为偶数时，8
)2(21222
+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=n n a n ．
即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8
)2(,8
)
3)(1(2
． （注：通项公式也可以写成16
)1(721
812n n n n a -+++=）
（法2）令1
21
2-+=
n n n a a b ，*n N ∈，则 1222212121
22212
1
21
22212321-=-⨯=-==
++++++++++k
k k k k k k k k k k n a a a a a a a a a a a b
11411412
21
21212121
2121
2-+=-+
⨯
=-+=
-+-++-+n n
k k k k k k k b b a a a a a a a ．
∴n n n b b b +-=
-+1)1(211，11
21)1(22)1(111-+
=-+-=-+n n n n b b b b ． 从而
211111
1=--
-+n n b b （常数），*n N ∈，又2
1
111=-b ，
故}11{
-n b 是首项为21，公差为21的等差数列，∴2
21)1(2111n
n b n =⨯-+=-，
解之，得n n b n 2+=
，即n n a a n n 21212+=-+，*n N ∈． ∴3
2125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=n n n n n a a a a a a a a a a a a 2
)1(1123524131+=-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ，
从而2
)1(22)
2)(1(2)1(2
21
2122+=
+++
+=+=
+-n n n n n a a a n n n ．（余同法1） （注：本小题解法中，也可以令n n n a a b 222+=
，或令1
22-=n n n a a
b ，余下解法与法2类似） （3）（法1）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)
2(8
,)
3)(1(812
． 显然，2
11
4341111+⨯=<==
a S ； 当n 为偶数时，
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++⨯+++⨯++⨯++⨯=2222)2(1)2(18186161641414218n n n S n ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯<)2(1)2(18618616416414214218n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211
8161614141218n n
242121
8+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=n n n ； …………………12分 当n 为奇数（3≥n ）时，)
3)(1(8
2)1()1(411+++
+--<+
=-n n n n a S S n n n 24)3)(2)(1(8242)3)(1(211424+<+++-+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++++-++=
n n n n n n n n n n n n n n n . 综上所述，2
4+<
n n
S n ，*n N ∈． （解法2）由（2），得⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧
+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)
2(8,)
3)(1(812
． 以下用数学归纳法证明2
4+<n n
S n ，*n N ∈． ①当1=n 时，2
11
4341111+⨯=
<==
a S ； 当2=n 时，2
22
422321111212+⨯=
<=+=+=
a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立． ②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即2
4+<k k
S k ， 那么，当k 为奇数时，
2
1
1)
3(8
241+++<
+
=++k k k a S S k k k 2
2)3)(2(8
3)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-++++++=
k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时，
)
4)(2(8
2411
1++++<
+
=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+++++++=
k k k k k k k k k k k k k
2
)1()1(4+++<
k k ．
∴1+=k n 时，不等式也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，不等式24+<n n S n 成立．。