高三数学函数与导数练习题及答案

高三数学函数与导数练习题及答案（一）
1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2，求函数 f(x) 的定义域。

解析：定义域为使函数 f(x) 有意义的 x 的取值范围。

首先，由于函数 f(x) 中存在 x^3 和 x^2，所以 f(x) 对于任意实数 x 都有定义。

然后，我们要找出使函数 f(x) 有意义的 x 的取值范围，即求解不等式：
x^3 - 3x^2 - 9x + 2 ≥ 0
通过求解不等式，我们可以得到函数定义域的范围。

答案：函数 f(x) 的定义域为全体实数。

2. 已知函数 f(x) = |x + 2| - |x - 2|，求函数 f(x) 的值域。

解析：值域是函数 f(x) 在定义域内可以取到的所有值的集合。

首先，我们来研究函数 f(x) 在闭区间[2, +∞) 上的取值情况。

当x ≥ 2 时，|x + 2| - |x - 2| = (x + 2) - (x - 2) = 4
因此，函数 f(x) 在闭区间[2, +∞) 上的值取 4。

接下来，我们来研究函数 f(x) 在开区间 (-∞, 2) 上的取值情况。

当 x < 2 时，|x + 2| - |x - 2| = -(x + 2) + (x - 2) = -4
因此，函数 f(x) 在开区间 (-∞, 2) 上的值取 -4。

综上，函数 f(x) 的值域为{-4, 4}。

（二）
3. 已知函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上连续，且 f(-2) = 1, f(1) = 2，证明方
程 f(x) = 0 在区间 (-2, 3) 内有根。

解析：根据函数 f(x) 的连续性和介值定理，可以证明方程 f(x) = 0
在区间 (-2, 3) 内有根。

首先，根据函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上连续，且 f(-2) = 1, f(1) = 2，可
以得知函数 f(x) 在闭区间 [-2, 3] 上存在连续的曲线。

由于 f(-2) ≠ 0, f(1) ≠ 0，所以函数 f(x) 的图像在闭区间 [-2, 3] 上既不与 x 轴交于正轴，也
不与 x 轴交于负轴。

然后，根据介值定理，对于任意介于 f(-2) 和 f(1) 之间的数 k（1 < k < 2），在闭区间 [-2, 3] 上一定存在一个数 c，使得 f(c) = k = 0。

由于区间 (-2, 3) 包含于闭区间 [-2, 3]，所以方程 f(x) = 0 在区间 (-2, 3) 内有根。

综上，方程 f(x) = 0 在区间 (-2, 3) 内有根。

4. 已知函数 f(x) = x^2 - 4ax + a^2 + 1 在区间 [1, 2] 上单调递增，求
实数 a 的取值范围。

解析：要使函数 f(x) = x^2 - 4ax + a^2 + 1 在区间 [1, 2] 上单调递增，需要满足以下条件：
a. 在区间 [1, 2] 上的导数 f'(x) > 0，即 2x - 4a > 0；
b. 在区间 [1, 2] 上函数 f(x) 是凹上函数。

根据条件 a，我们可以得到不等式 2x - 4a > 0，即 x > 2a。

根据条件 b，我们可以得到函数 f(x) 的二阶导数 f''(x) > 0，即 2 > 0。

综上，我们可以得到 a 的取值范围为 -∞ < a < 1/2。

（三）
5. 已知函数 f(x) = 2x^3 + 3ax^2 - 36x + 4 在区间 [-2, 3] 内有两个极
值点，求实数 a 的值。

解析：要在区间 [-2, 3] 内找到函数 f(x) = 2x^3 + 3ax^2 - 36x + 4 的
极值点，需要满足以下条件：
a. 函数 f(x) 的一阶导数 f'(x) = 6x^2 + 6ax - 36 的零点；
b. 函数 f(x) 的二阶导数 f''(x) = 12x + 6a 的符号变化。

首先，求解一阶导数 f'(x) = 6x^2 + 6ax - 36 = 0。

令 f'(x) = 0，我们可以得到 x^2 + ax - 6 = 0。

通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解为 x = -2 或 x = 3。

然后，求解二阶导数 f''(x) = 12x + 6a 的符号变化。

当 x < -2 时，f''(x) = 12x + 6a < 0；
当 -2 < x < 3 时，f''(x) = 12x + 6a > 0；
当 x > 3 时，f''(x) = 12x + 6a < 0。

根据以上分析，我们可以得知在区间 [-2, 3] 内函数 f(x) = 2x^3 +
3ax^2 - 36x + 4 的极值点有两个，分别为 x = -2 和 x = 3。

由于题目中要求函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 内有两个极值点，所以我们需要满足条件 a > 0。

综上，实数 a 的取值范围为 a > 0。