暑期备课笔记-初三数学第6讲：图形的旋转和中心对称(教师版)

第5讲图形的旋转和中心对称
图形的旋转和中心对称
1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换
叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．
2、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______，
那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______．
3、旋转的特点：旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线
段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．
4、中心对称的特点：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______．
(2)关于中心对称的两个图形是______．
5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的
图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．
1、旋转的定义和性质；
2、中心对称的定义和性质；
3、会画旋转后的图形和中心对称图形；
例1、下图中，不是旋转对称图形的是( )．
答案：B
解析：根据旋转的定义；
例2、有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：D
解析：利用旋转的特征；
例3、下列图形中，不是
．．中心对称图形的是( )．
A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形
答案：D
解析：中心对称的定义；
例4、以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )．
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
解析：旋转和中心对称的定义结合。

例5、已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．
求证：BE=AF＋CE
答案：先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG
∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FBC=∠EBG，
∵AD∥BC，
∴∠5=∠FBC=∠EBG，
∴∠EBG=∠G，
∴BE=CG+CE=AF+CE．
解析：通过截长补短，构造全等来证明；
例6．已知：如图，在四边形
ABCD 中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD 上的点，且BE＋FD=EF．
求证：.
2
1
BAD
EAF∠
=
∠
答案：把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如
图，
∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B+∠ABG=180°，
∴点G、B、C共线，
∵BE+FD=EF，
∴BE+BG=GE=EF，
在△AEG和△AEF中，
AG=AF
AE=AE
EG=EF
∴△AEG≌△AEF，
∴∠EAG=∠EAF，
而∠BAG=∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，.
2
1
BAD
EAF∠
=
∠
解析：旋转构造全等，找相等的角代换。

A
1、下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合?( )．
A．①、④、⑤B．①、③、⑤
C．②、③、⑤D．②、④、⑤
答案：A
解析：中心对称的定义
2、如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心
的点共有( )个．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：以C为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，可得到正方形CDEF 以D为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，可得到正方形CDEF
以CD的中点为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，可得到正方形CDEF
3、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )．
答案：C
解析：旋转和中心对称的定义
4、如图4可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是
( )
图4
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
答案：C
解析：图形可看做是正八边形的中心角；
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是( ) (A)等腰三角形 (B)平行四边形 (C)等边三角形 (D)等腰梯形 答案：C
解析：轴对称定义；绕着旋转中心旋转120°可与原图形重合；
6．将点A (4，0)绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ′，则点A ′的坐标是( ) (A))2,32( (B)(4，－2) (C))2,32
(-
(D))32
,2(-
答案：C
解析：根据旋转后特殊的直角三角形，30°锐角所对直角边等于斜边的一半； 7．要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针旋转( ) (A)9° (B)18° (C)30° (D)36° 答案：C
解析：正十二边形中心角为360°÷12=30°。

8、如图，已知D ，E 分别是正三角形的边BC 和CA 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于P ，求∠BPD 的度数？
答案：60°
解析：∵正三角形ABC ∴AB=BC=AC ，∠C=∠BAC=60°，AE =CD ，可得△ACD ≌△ABE ， 可得∠CAD=∠ABE ，即∠BPD=∠ABE ＋∠BAD=60°
9、已知，如图7，E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB＝1，∠EDF＝45°，求△BEF 的周长．
图7
答案：2
解析：把△ADE沿点D按逆时针方向旋转90°到△CDG处。

则∠GDF=∠EDF=45°，DE=DG，
△EDF≌△GDF，
所以EF=GF，
△BEF的周长=BE+BF+EF=BE+BF+GF=BE+BF+FC+FG=BE+BF+FC+AE=AB+BC=2
B
1．如图3，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是( )
图3
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解析：根据旋转后的特点；
2．下列说法中，正确的个数有( )
(1)如果两个图形关于一点中心对称，则对称点的连线必经过对称中心；
(2)如果两个图形关于一点中心对称，则对应线段一定平行或在同一直线上；
(3)如果一个图形经过平移得到另一个图形，那么它们的对应点的连线一定平行．
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
答案：D
解析：中心对称的性质应用；
3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴
上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( )．
A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的
B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的
C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的
D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的
答案：A
解析：根据对应点A和D与旋转中心的连线夹角正好是90°。

4．下列说法错误的是( )
(A)全等的两个图形不一定成中心对称
(B)中心对称的两个图形一定是全等图形
(C)能够完全重合的两个图形中心对称
(D)中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系
答案：C
解析：完全重合不一定中心对称
5、如图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处
后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为______°．
答案：22°
解析：∠AMB=45°+22°=67°，∠67°-45°=22°
C
1．下列正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是( )
(A) (B) (C) (D)
答案：A
解析：B 是轴对称和中心对称，C 是中心对称，D 是轴对称图形； 2．下列语句中，不正确的是( )
(A)图形的平移是由移动的方向和移动的距离所决定的
(B)图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定的 (C)中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形 (D)旋转对称图形是中心对称图形 答案：D
解析：旋转对称图形可以是任意角度的旋转，而中心对称只是180°旋转。

3、如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形A ′B ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于______．
答案：√33
解析：设CD 与C ′D ′交于O ，AB=1，所以O B ′=√33
，所以公共部分的面积=1X √33
X 1
2
X2=√33
4、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =3，BC =5，AB =1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为______．
答案：2√5
解析：过点E作EF垂直于AD，交AD的延长线于点F
易得EF=5-3=2
DF=AB=1
所以AF=4
所以AE=2√5
5.已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．
求证：BD2=AB2＋BC2．
∴BD²=AB²+BC²
解析：旋转构造全等，得出直角三角形，利用勾股定理，等量代换可得结论。

1．在下列图形中，中心对称图形有( )
(A)③
(B)①③
(C)②③
(D)③④
答案：B
解析：2和4都不是中心对称图形，4是轴对称图形
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
：
答案：A
解析：B 是轴对称，C 和D 只是轴对称
3．点P (5，－3)关于原点对称的点的坐标是( ) (A)(－5，3) (B)(－5，－3) (C)(3，－5) (D)(－3，5) 答案：A
解析：关于原点对称x,y 都变。

4．如图3，△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1，将△ABC 绕顶点A 旋转180°，点C 落在C ′处，则CC ′的长为( )
图3
(A)34 (B)4 (C)32
(D)52
答案：B
解析：根据30°锐角所对直角边等于斜边的一半；
5．点M(m，n)在第二象限，则点M′(mn－n，n－m)关于原点对称的点在( )
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
答案：D
解析：第二象限，可得m＜0，n＞0，所以mn-n＜0，n-m＞0，所以在第二象限，关于原点对称后在第四象限。

6．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
(1)三角尺旋转了多少度?
(2)连结CD，试判断△CBD的形状；
(3)求∠BDC的度数．
答案：（1）150°（2）△CBD是等腰三角形（3）15°
解析：⑴所求角度就是∠ABE。

∵△BAC≌△BED
∴∠ABC=∠EBD=30度
∵C、B、E在一条直线上
∴∠ABE＝180度－∠ABC=180度－30度＝150度
即三角尺旋转了150度。

⑵∵△BAC≌△BED
∴BC=BD（全等三角形的对应边相等）
∴△CBD是等腰三角形（等腰三角形的定义）
⑶∵△CBD是等腰三角形（已证）
∴∠BDC＝∠BCD（等腰三角形的底角相等）
∴∠BDC＝（180度－∠CBD）÷2＝（180度－150度）÷2＝15度
7、已知：直线l的解析式为y=2x＋3，若先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1
关于y轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式．
答案：y=-2x+1．
解析：∵关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，
∴直线l关于原点的对称直线l1的解析式为：-y=-2x+3，即y=2x-3；
∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴直线l1关于y轴的对称直线l2的解析式为：y=-2x-3；
由“上加下减”的原则可知，将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3的解析式为：y=-2x-3+4，即y=-2x+1．
8．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
(1)如果CA=CB，求证：AE2＋BF2=EF2；
(2)如果CA＜CB，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解析：证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
．
（2）成立．
证明：延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
答案：B
解析：A和C是轴对称，不是中心对称，D是中心对称而不是轴对称。

2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )．A．等边三角形B．菱形
C．等腰梯形D．平行四边形
答案：B
解析：A和C是轴对称，不是中心对称，D是中心对称不是轴对称
3．下列命题正确的是( )
(A)两个会重合的三角形一定成轴对称
(B)两个会重合的三角形一定成中心对称
(C)成轴对称的两个图形中，对应线段平行且相等
(D)成中心对称的两个图形中，对应线段平行(或在同一条直线是)且相等答案：D
解析：A、B、因不知道两个能重合的三角形的位置关系，故无法判断其如何对称，错误；
C、成轴对称的两个图形中，对应线段相等但不一定平行，错误；．
故选D．
4．下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( )
(A)正六边形(B)正五边形(C)正方形(D)正三角形
答案：A
解析：正六边形中心角是60°。

正五边形72°，正方形90°，正三角形120°
5、如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边
△DCE，B，E在C，D的同侧．若,2
=
AB则BE=______．
答案：1
解析：由题意可得，△ACD≌△BED，可得BE=AC，∵等腰直角△ABC，,2
AB所以AC=1，
=
BE=1
6．如图1，P为正方形ABCD内的一点，△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBE，则△BPE是______三角形．
图1
答案：等腰直角
解析：由题意可知，△ABP≌△BCE，所以，BP=BE，∠PBE=90°，即为等腰直角三角形。

7．如图3，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为______．
图3
答案：（-b,a ）
解析：旋转后三角形全等，可得OB ′=OB ，A ′B ′=AB ，所以A ′（-b,a ）
8．如图5，△COD 是△AOB 绕点O 旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，
求∠B 的度数．
答案：60°
解析：由旋转及对应关系知，∠AOC=40°，AO=CO(所以∠A=∠OCA=70°)，∠B=∠D ，∠A=∠OCD （所以∠OCD=70°）
因为∠AOD=90°，所以∠COD=50°。

由△OCD 内角和180毒知，∠D=180°-∠COD-∠OCD=60°，所以∠B=60°
9．已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠.7,1,135=
==AP BP APB
求PC 的长．
答案：√5
解析：将△ABP 顺时针旋转到△CBQ 的为位置， △ABP ≌△CBQ ， ∠ABP=
∠CBQ ，则∠PBQ 是
课程顾问签字： 教学主管签字：。