第1章 单自由度系统振动

例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体
l3
l2
l1
m1 k1
x
k
2
m
2
求：
系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
• 阻尼自由振动
前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的 机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中 将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结 构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是 实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动 或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度称正比，即：
Pd cv
c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数
单位： N s / m 建立平衡位置，并受力分析 动力学方程： 或写为：
k m
c 0
kx cx
x
m
kx 0 m x cx
2 0 x 0 2 x 0 x
固有频率
c 2 km
• 能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：
或：
T V const
d T V 0 dt
弹簧质量系统 动能： 势能：
max 0 x max x
0
k m mt
若忽略 mt ，则0 增大
• 等效质量和等效刚度
方法1：
选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 1 1 2 T Mex V Ke x2 2 2
当
x
、 x分别取最大值时：
T Tmax
V Vmax
则可得出：
A sin( d t )
tg
1
0 0 x0 2 x 2 A x0 ( ) wd
x0d 0 0 x0 x
欠阻尼
1
0
振动解： x (t ) e t ( x0 cos d t
0 0 x0 x sin d t ) e 0t A sin( d t ) d
阻尼固有频率
d 0 1 2
阻尼自由振动周期： Td
2
d

2
0 1
2

T0 1 2
T0：无阻尼自由振动的周期
阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期
欠阻尼
1
0
振动解： x (t ) e t ( x0 cos d t
2
ka m gl 0 m l2
2
方法2：定义法
等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度 等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量
例：串联系统
在质量块上施加力 P
设新坐标
kx m g m x
ky 0 m y
mg y x x k
• 瑞利法
利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑 了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动 能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在 许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本 身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算 出的固有频率明显偏高。
不可能恒为 0 x
kx 0 m x
d T V 0 dt
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位 置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：
1 2 T mx 2
x
0
静平衡位置
势能： V m gx kxdx 0 1 2 mgx kx x kxx 0 m x
0 t
( c1 cos d t c 2 sin d t )
(0) x 0 x
设初始条件： 则：
x(0) x0
x (t ) e
0 0 x 0 x ( x 0 cos d t sin d t ) d
0 t
或：
x (t ) e
c1 初相位 ： tg c2
1
c1 , c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c1 c2
2 2
3. 单自由度线性系统的受迫振动
kx 0 m x
0 x 0 x
2
k 0 m
x (t ) c1 cos( 0 t ) c 2 sin( 0 t ) A sin( 0 t )
0 K e / M e
Me：简化系统的等效质量
Ke：简化系统的等效刚度
这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势 能分别相等
动能
1 2 2 T ml 2
m k/2
零平衡位置1
k/
2
M e ml2
势能

a
l
1 V (ka 2 mgl ) 2 2
Ke ka mgl
j0t
ae
j / 2
j(0t )
0 ae
j ( 0t / 2 )
je
ae z
2 0 j ( 0t )
ae
2 0
j ( 0t )
1 e j
三种表示法的差异
三角函数最直接、最常用。 旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。
结构动力学
第1章 单自由度系统振动
振动分类（自由度）
• 单自由度
• 多自由度（有限自由度）－>大自由度
• 连续体（无限自由度）
振动工程研究所
振动分类（运动特点）
• 简谐振动 • 周期振动（可分解为若干简谐振动之和） • 非周期确定性振动
（可分解为无限个简谐振动之和）
*概周期振动 *一般确定性运动 • 随机振动 • 混沌振动
m x
k 0 m
相对阻尼系数
cx kx 0 m x
令： 特征方程： 特征根：
xe
t
m c k 0
2
1,2 c 2m
c 2m
或
2
k
m
令：
c0
2m
k
m
n
c0 2mn 2 mk
1,2 1 n
1. 基本概念
自由度：
1. 基本概念
振动的描述 三要素：振幅、频率、相位 简谐振动的表示法——三角函数法
u(t ) a sin( 0 t )
(t ) 0 a sin( 0t u

2
)
2 2 u(t ) 0 a sin(0t ) 0 u(t )
A c1 c2
x
2 2
c1 tg c2
1
T 2 / 0
A
0
0
t
3. 单自由度线性系统的受迫振动
系统固有的数值特征，与系统是否正在 振动着，以及如何进行振动的方式都毫 无关系
0：
不是系统的固有属性的数字特征，与系 A, ： 统过去所受到过的激励和考察开始时刻 系统所处的状态有关
m g k
弹簧原长位置
1 2 T mx 2
mgx
（重力势能）
x
m
0

静平衡位置

x
0
k ( x)dx
k
x
（弹性势能）
1 V m gx k x dx mgx kx kx 2 1 kx 2 0 2 2
kx) x 0 (m x
振动工程研究所
研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。
• 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
振动工程研究所
1. 基本概念
自由度： 确定某个机械系统几何位置的独立参数的数目。
单自由度系统,多自由度系统:
若只用一个独立参数即可确定机械系统的几何位 置,称为单自由度系统。 需要两个或两个以上独立参数才能确定机械系统 的几何位置的系统称多自由度系统。
sincos按指数规律衰减的非周期运动比过阻尼衰减快振幅衰减振动振动工程研究所简谐力激励下的受迫振动无阻尼系统的受迫振动力激励位秱激励振动工程研究所cossin强迫振动的响应非齐次方程解由两部分组成通解自由振动特解强迫振动sincoscossincossincos积分常数变为系统位秱响应中最后一部分随时间增加趋于无穷这是激励频率不系统固有频率相等时的共振现象
0 t
1
两个复数根
1,2 0 id
x (t ) e
( c1 cos d t c 2 sin d t )
有阻尼的自由振动频率
c1、c2：初始条件决定
d 0 1 2 阻尼固有频率
欠阻尼 振动解：
1
x (t ) e
0 t
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ
m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
解：
取平衡位置
以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系 静变形
l/2
3
m h

0
l/2
静平衡位置
m gl 由材料力学 ： 48EJ
自由振动频率为 ： 0
x
g

48EJ m l3
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
m h
0 2gh x
则自由振动振幅为 ：
x 0 2 A x0 0
2

l/2
0
l/2
静平衡位置
x
2 2h
梁的最大扰度：
max A
0 x x (t ) x0 cos( 0 t ) sin( 0t ) 0
复数法与三角函数是一致的。
向Y轴投影 取虚部
2.常见单自由度系统建模
3. 单自由度线性系统的受迫振动
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，λ为静变形。
当系统受到初始扰动时，由牛顿 第二定律，得：
m g k ( x) m x
在静平衡位置： m g k 固有振动或自由振动微分方程 ：
1, 2 0 0 2 1
1
欠阻尼
1
过阻尼
1
临界阻尼
2 动力学方程： 2 0 x 0 x 0 x
特征方程： 特征根：
2 20 0 2 0
1, 2 0 0 2 1
第一种情况： 欠阻尼 特征根： 振动解：
0 k m x
例如：弹簧质量系统
0
x
设弹簧的动能:
1 mt 2 Tt mt x 2 弹簧等效质量
k mt m
系统最大动能：
1 2 1 1 2 2 max Tmax mxmax mt xmax (m mt ) x 2 2 2 1 2 系统最大势能： Vmax kx max 2
1. 基本概念
旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im Q P
0
Im
0
Im
0
u
a
O
t
a
O
a a
2 0
0
a
O
0
Re
Re
Re
a
b
c
• 复数法
z ae e
j
j0t
ae
j(0t )
复数法的位移、速度、加速度关系
z ae e
j 0 ae z
j ( 0t )
j
例：并联系统
在质量块上施加力 P 两弹簧变形量相等： 受力不等：P 1 k1
m
k1
P
k1
m
k2
P2 k 2
k2
由力平衡： P P 1P 2 (k1 k2 ) 根据定义： K e
P

k1 k 2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
2
2 c 1,2 c c 1 n c 0 0


动力学方程：
2 0 x 0 x 0 x
2
k 0 m
c 2 km
令：
x e t
20 0 0
2 2
特征方程： 特征根： 三种情况：
P 弹簧1变形：1 k1
P 弹簧2变形：2 k2
k1 k2
m
1 1 总变形： 1 2 ( ) P k1 k 2
P
根据定义：
Ke
P


k1k2 k1 k2
或
1 1 1 K e k1 k2
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
kx 0 m x
3. 单自由度线性系统的受迫振动
固有振动或自由振动微分方程 ：
kx 0 m x
单位：弧度/秒（rad/s）
k 令 ： 0 m
则有 ： 通解 ：
固有频率
2 x 0 x 0
x (t ) c1 cos( 0 t ) c 2 sin( 0 t ) A sin( 0 t )