求磁场最小的面积问题课后限时作业(四)附答案高中物理选修3-1

高中物理专题复习选修3-1
磁场单元过关检测
考试范围：求磁场最小面积问题；满分：100分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一、计算题
1．如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。

在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。

在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同
质量m、电荷量q（
q）和初速为0v的带电粒子。

已知重力加速度大小为g。

（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。

求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

（2）调节坐标原点。

处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。

现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?并求出符合条件的磁场区域的
最小面积。

2．如图，ABCD是边长为a的正方形。

质量为m、电荷量为e的电子以大小为0
v
的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。

不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。

3．如图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

4．如图5，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC 边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：
（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；
（2）该粒子在磁场里运动的时间t；
（3）该正三角形区域磁场的最小边长；
一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

6．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。

现有一质
v沿+x方向进量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度
入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30º，OP=L 求：⑴磁感应强度的大小和方向⑵该圆形磁场区域的最小面积。

评卷人得分
一、计算题
1．（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡。

设电场强度大小为E ，由平衡条件得：
qE mg = ∴q
mg
E =
电场方向沿y 轴正方向
带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R 。

设匀强磁场的磁感应强度大小为B 。

由牛顿第二定律得：
R
mv B qv 20
0=
∴qR
mv B 0
=
磁场方向垂直于纸面向外
（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角
θ，
则θ满足0≤2
π
θ<
，由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动，
故B 应垂直于xoy 平面向外，带电微粒在磁场内做半径为qB
mv R 0
=匀速圆周运动。

由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，它们所对应的运动的轨迹如图所示。

为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动。

由图可知，它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场。

这样磁场边界上P 点的坐标P （x ，y ）应满足方程：
θsin R x =，)cos 1(θ-=R y ，
所以磁场边界的方程为：
222)(R R y x =-+
由题中0≤2
π
θ<
的条件可知，
以2
π
θ→
的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹
222)(R y R x =+-即为所求磁场的另一侧的边界。

因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆2
22)(R R y x =-+与圆
222)(R y R x =+-的交集部分（图中阴影部分）。

由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：2220
2min
)12(B
q v m S -=π
2．解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。

令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。

电子所受到的磁场的作用力
0f ev B =
应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。

圆弧AEC 的圆心在CB 边或其延长线上。

依题意， 圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆
半径为a 按照牛顿定律有 2
2
v f m =
联立①②式得0
mv B ea
=
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运
动轨道只能在BAEC 区域中。

因而，圆弧AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02
π
θ≤<）的情形。

该电子的运动
轨迹qpA 如图所示。

图中，圆AP 的圆心为O ，pq 垂直于BC 边 ，由③式知，圆弧AP 的半径仍为
a ，在D 为原点、DC 为x 轴，AD 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为
sin [(cos )]cos x a y a z a a θθθ==---=-④
⑤
这意味着，在范围02
π
θ≤≤
内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周
AFC ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边
界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之
一圆周AEC 和AFC 所围成的，其面积为 2
221122()422
S a a a ππ-=-
=
3．答案（1）
m
q =4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ）；（2）s t 6
109.7-⨯= ； （3）2
25.0m S =
解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。

第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。

（1）设粒子在磁场中的运动半径为r 。

如图甲，依题意M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得
2
2L
r =
① 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得
r
v m qvB 2
= ②
联立①②并代入数据得
m
q =4.9×710C/kg （或5.0×7
10C/kg ） ③ （2）设所加电场的场强大小为E 。

如图乙，当粒子子经过Q 点时，速度沿y 轴正方向，依题意，在此时加入沿x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 qv B qE = ④
代入数据得 C N E /70= ⑤
所加电场的长枪方向沿x 轴正方向。

由几何关系可知，圆弧
PQ 所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的
周期为T ，所求时间为t ，则有
T t 0
036045= ⑥ v
r T π2= ⑦
联立①⑥⑦并代入数据得 s t 6
109.7-⨯= ⑧ （3）如图丙，所求的最小矩形是P P MM 11，该区域面积
22r S = ⑨
联立①⑨并代入数据得 2
25.0m S = 矩形如图丙中
P P MM 11（虚线）
4．解析：【磁场范围为三角形】
粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M 点作圆周运动到N
点。

最小三角形区域应于轨迹圆相切。

（1）r=mv/qB T=qB
m
π2
(2) qB
m
πT t 3565==
（3）qB mv )1334(
+
5．解析：α＝30°，
6．解析：【磁场范围为圆形】 找圆心（速度垂线与角平分线交点），要使磁场的区域有最小
面积，则OQ 应为磁场区域的直径。

（1）qL mv B 03=
（2）2
min 12L πS =。