2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆课件
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第九章 平面解析几何
第5讲 椭 圆
1．椭圆的定义
条件
结论 1
结论 2
平面内的动点 M 与
平面内的两个定点
_F_1_、__F_2_为椭圆的
F1，F2
M 点的轨 焦点__|_F_1_F_2_| __为
迹为椭圆
|MF1|＋|MF2|＝2a
椭圆的焦距
2a＞|F1F2|
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
－b)，B2(0，b)
b，0)，B2(b，0)
轴
长轴 A1A2 的长为_2_a_短轴 B1B2 的长为_2_b_
性质 焦距
|F1F2|＝_2_c_
离心率
a，b，c 的关系
c e＝__a_，e∈(0，1)
c2＝_a_2_－__b_2_
3.点与椭圆的位置关系
已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202<1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202>1.
(2)不妨设点 A 在第一象限，如图所示．因为 AF2⊥x 轴，所以 |AF2|＝b2.
因为|AF1|＝3|BF1|， 所以 B－53c，－13b2.
将 B 点代入椭圆方程，
得－53c2＋－13bb2 22＝1，所以295c2＋b92＝1.
又因为 b2＋c2＝1，所以cb22＝＝1323，. 故所求的方程为 x2＋y22＝1.
4．椭圆中四个常用结论 (1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]， 即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c； (2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通径是最短 的焦点弦；
(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2 为椭圆的 两焦点，则△PF1F2 的周长为 2(a＋c)． (4)设 P，A，B 是椭圆上不同的三点，其中 A，B 关于原点对 称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜 率之积为定值－ba22.
角度一 由椭圆的方程研究其性质
已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x ＋8＝0 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0)B．Biblioteka －4，0)C．(－10，0)
________． 解析：△F1AB 的周长为
|F1A|＋|F1B|＋|AB|
＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|
＝2a＋2a＝4a. 在椭圆2x52＋1y62 ＝1 中，a2＝25，a＝5， 所以△F1AB 的周长为 4a＝20. 答案：20
椭圆的定义及应用 (1)(2019·金华十校联考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：xa22＋by22 ＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16.则|AF2| ＝________． (2)(2019·杭州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________．
过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2 ⊥x 轴，则椭圆 E 的标准方程为________．
【解析】
(1)
依
题
意
，
可
设
椭
圆
的
标
准
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以 c＝1，
又离心率 e＝ac＝12，解得 a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程 为x42＋y32＝1.
1．(2019·温州模拟)设 F1，F2 是椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2 的面积为
()
A．4
B．6
C．2 2
D．4 2
解析：选 A.因为点 P 在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为 |PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝ 2 5，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2 为直角三角形， 所以△PF1F2 的面积为12×2×4＝4.故选 A.
且hk＝ 23，解得 h2＝235，k2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52＝1.
34
法二：(椭圆系法)
若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为x42＋y32＝t(t>0)，将点 (2， － 3)代入，得 t＝242＋（－3 3）2＝2.故所求方程为x82＋y62＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为y42＋x32＝λ(λ>0)， 代入点(2，－ 3)，得 λ＝2152，故所求方程为2y52 ＋2x52＝1.
①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. ③焦点三角形的周长为 2(a＋c)． ④S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ＝b2·1＋sincoθs θ＝b2tan θ2＝c|y0|， 当|y0|＝b，即 P 为短轴端点时，S△PF1F2 取最大值，为 bc.
34 答案：2y52 ＋2x52＝1 或x82＋y62＝1
34
椭圆的几何性质 (高频考点) 椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难 度一般较大．主要命题角度有： (1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(范围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(范围)； (4)椭圆性质的应用．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹 是椭圆．( × ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ ) (4) 方 程 mx2 ＋ ny2 ＝ 1(m>0 ， n>0 ， m ≠ n) 表 示 的 曲 线 是 椭 圆．( √ ) (5)xa22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋xb22＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )
【解析】 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3， 因为△ABF2 的周长为 16，所以 4a＝16，所以 a＝4. 则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， 所以|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则rr121＋ ＋rr222＝ ＝24ac2，， 所以 2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2， 所以 S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9， 所以 b＝3.
＝
1
表示椭圆，则
k
的取值范围是
________．
5－k>0， 解析：由已知得k－3>0，
解得 3<k<5 且 k≠4.
5－k≠k－3，
答案：(3，4)∪(4，5)
(教材习题改编)椭圆 C：2x52＋1y62 ＝1 的左右焦点分别为 F1， F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，则△F1AB 的周长为
3 【答案】 (1)A (2)x2＋y22＝1
3
1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)，P2(－ 3，－ 2)，则该椭圆的方程为________． 解析：设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且 m≠n)．因 为椭圆经过 P1，P2 两点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程， 则63mm＋ ＋n2n＝＝1，1，①②
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
标准方程 性质 范围
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a－b≤y≤b
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：__x__轴__、__y__轴___对称中心：(0，0)
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－
①②两式联立，解得mn＝＝1319.， 所以所求椭圆方程为x92＋y32＝1. 答案：x92＋y32＝1
2．已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且
与 C1 有相同的离心率，则椭圆 C2 的方程为________． 解析：法一：(待定系数法)由已知可设椭圆 C2 的方程为ay22＋x42 ＝1(a>2)，其离心率为 23，故 a2a－4＝ 23， 解得 a＝4，故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
法二：(椭圆系法)因椭圆 C2 与 C1 有相同的离心率，且焦点在 y 轴上，故设 C2：y42＋x2＝k(k>0)，即4yk2 ＋xk2＝1. 又 2 k＝2×2，故 k＝4，故 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1. 答案：1y62 ＋x42＝1
3．与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆的 方程为________________．
解析：选 C.直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为y52＋x42＝1.故选 C.
若
方
程
x2 5－k
＋
y2 k－3
解析：法一：(待定系数法) 因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba22＝ 1－34＝12，若焦点在 x 轴上， 设所求椭圆方程为mx22＋ny22＝1(m>n>0)， 则 1－mn 2＝14.从而mn 2＝34，mn ＝ 23.
又m42＋n32＝1，所以 m2＝8，n2＝6. 所以方程为x82＋y62＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为hy22＋xk22＝1(h>k>0)，则h32＋k42＝1，
(2017·高考浙江卷)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
A．
13 3
B．
5 3
C．23
D．59
解析：选 B.根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5，
所以椭圆的离心率 e＝ac＝ 35，故选 B.
若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则
该椭圆的标准方程为( ) A．x52＋y2＝1 B．x42＋y52＝1 C．x52＋y2＝1 或x42＋y52＝1 D．以上答案都不对
【答案】 (1)5 (2)3
本例(2)中增加条件“△PF1F2 的周长为 18”，其他条件不变， 求该椭圆的方程． 解：由原题得 b2＝a2－c2＝9， 又 2a＋2c＝18， 所以 a－c＝1，解得 a＝5， 故椭圆的方程为2x52 ＋y92＝1.
(1)椭圆定义的应用范围 ①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的结论 椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作焦点三角 形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
椭圆的标准方程
(1)(2019·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离
心率 e＝12，且它的一个焦点与抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，
则此椭圆方程为( )
A．x42＋y32＝1
B．x82＋y62＝1
C．x22＋y2＝1
D．x42＋y2＝1
(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的左、右焦点，
2．已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动 圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆 心 M 的轨迹方程为________． 解析：设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋ r)＝16，又|C1C2|＝8<16，所以动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，则 a＝8，c＝4，所以 b2 ＝48，又焦点 C1、C2 在 x 轴上，故所求的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝ 1. 答案：6x42＋4y82 ＝1
第5讲 椭 圆
1．椭圆的定义
条件
结论 1
结论 2
平面内的动点 M 与
平面内的两个定点
_F_1_、__F_2_为椭圆的
F1，F2
M 点的轨 焦点__|_F_1_F_2_| __为
迹为椭圆
|MF1|＋|MF2|＝2a
椭圆的焦距
2a＞|F1F2|
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
－b)，B2(0，b)
b，0)，B2(b，0)
轴
长轴 A1A2 的长为_2_a_短轴 B1B2 的长为_2_b_
性质 焦距
|F1F2|＝_2_c_
离心率
a，b，c 的关系
c e＝__a_，e∈(0，1)
c2＝_a_2_－__b_2_
3.点与椭圆的位置关系
已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202<1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202>1.
(2)不妨设点 A 在第一象限，如图所示．因为 AF2⊥x 轴，所以 |AF2|＝b2.
因为|AF1|＝3|BF1|， 所以 B－53c，－13b2.
将 B 点代入椭圆方程，
得－53c2＋－13bb2 22＝1，所以295c2＋b92＝1.
又因为 b2＋c2＝1，所以cb22＝＝1323，. 故所求的方程为 x2＋y22＝1.
4．椭圆中四个常用结论 (1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]， 即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c； (2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通径是最短 的焦点弦；
(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2 为椭圆的 两焦点，则△PF1F2 的周长为 2(a＋c)． (4)设 P，A，B 是椭圆上不同的三点，其中 A，B 关于原点对 称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜 率之积为定值－ba22.
角度一 由椭圆的方程研究其性质
已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x ＋8＝0 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0)B．Biblioteka －4，0)C．(－10，0)
________． 解析：△F1AB 的周长为
|F1A|＋|F1B|＋|AB|
＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|
＝2a＋2a＝4a. 在椭圆2x52＋1y62 ＝1 中，a2＝25，a＝5， 所以△F1AB 的周长为 4a＝20. 答案：20
椭圆的定义及应用 (1)(2019·金华十校联考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：xa22＋by22 ＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16.则|AF2| ＝________． (2)(2019·杭州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________．
过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2 ⊥x 轴，则椭圆 E 的标准方程为________．
【解析】
(1)
依
题
意
，
可
设
椭
圆
的
标
准
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以 c＝1，
又离心率 e＝ac＝12，解得 a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程 为x42＋y32＝1.
1．(2019·温州模拟)设 F1，F2 是椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2 的面积为
()
A．4
B．6
C．2 2
D．4 2
解析：选 A.因为点 P 在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为 |PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝ 2 5，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2 为直角三角形， 所以△PF1F2 的面积为12×2×4＝4.故选 A.
且hk＝ 23，解得 h2＝235，k2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52＝1.
34
法二：(椭圆系法)
若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为x42＋y32＝t(t>0)，将点 (2， － 3)代入，得 t＝242＋（－3 3）2＝2.故所求方程为x82＋y62＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为y42＋x32＝λ(λ>0)， 代入点(2，－ 3)，得 λ＝2152，故所求方程为2y52 ＋2x52＝1.
①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. ③焦点三角形的周长为 2(a＋c)． ④S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ＝b2·1＋sincoθs θ＝b2tan θ2＝c|y0|， 当|y0|＝b，即 P 为短轴端点时，S△PF1F2 取最大值，为 bc.
34 答案：2y52 ＋2x52＝1 或x82＋y62＝1
34
椭圆的几何性质 (高频考点) 椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难 度一般较大．主要命题角度有： (1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(范围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(范围)； (4)椭圆性质的应用．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹 是椭圆．( × ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ ) (4) 方 程 mx2 ＋ ny2 ＝ 1(m>0 ， n>0 ， m ≠ n) 表 示 的 曲 线 是 椭 圆．( √ ) (5)xa22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋xb22＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )
【解析】 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3， 因为△ABF2 的周长为 16，所以 4a＝16，所以 a＝4. 则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， 所以|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则rr121＋ ＋rr222＝ ＝24ac2，， 所以 2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2， 所以 S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9， 所以 b＝3.
＝
1
表示椭圆，则
k
的取值范围是
________．
5－k>0， 解析：由已知得k－3>0，
解得 3<k<5 且 k≠4.
5－k≠k－3，
答案：(3，4)∪(4，5)
(教材习题改编)椭圆 C：2x52＋1y62 ＝1 的左右焦点分别为 F1， F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，则△F1AB 的周长为
3 【答案】 (1)A (2)x2＋y22＝1
3
1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)，P2(－ 3，－ 2)，则该椭圆的方程为________． 解析：设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且 m≠n)．因 为椭圆经过 P1，P2 两点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程， 则63mm＋ ＋n2n＝＝1，1，①②
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
标准方程 性质 范围
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a－b≤y≤b
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：__x__轴__、__y__轴___对称中心：(0，0)
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－
①②两式联立，解得mn＝＝1319.， 所以所求椭圆方程为x92＋y32＝1. 答案：x92＋y32＝1
2．已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且
与 C1 有相同的离心率，则椭圆 C2 的方程为________． 解析：法一：(待定系数法)由已知可设椭圆 C2 的方程为ay22＋x42 ＝1(a>2)，其离心率为 23，故 a2a－4＝ 23， 解得 a＝4，故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
法二：(椭圆系法)因椭圆 C2 与 C1 有相同的离心率，且焦点在 y 轴上，故设 C2：y42＋x2＝k(k>0)，即4yk2 ＋xk2＝1. 又 2 k＝2×2，故 k＝4，故 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1. 答案：1y62 ＋x42＝1
3．与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆的 方程为________________．
解析：选 C.直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为y52＋x42＝1.故选 C.
若
方
程
x2 5－k
＋
y2 k－3
解析：法一：(待定系数法) 因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba22＝ 1－34＝12，若焦点在 x 轴上， 设所求椭圆方程为mx22＋ny22＝1(m>n>0)， 则 1－mn 2＝14.从而mn 2＝34，mn ＝ 23.
又m42＋n32＝1，所以 m2＝8，n2＝6. 所以方程为x82＋y62＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为hy22＋xk22＝1(h>k>0)，则h32＋k42＝1，
(2017·高考浙江卷)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
A．
13 3
B．
5 3
C．23
D．59
解析：选 B.根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5，
所以椭圆的离心率 e＝ac＝ 35，故选 B.
若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则
该椭圆的标准方程为( ) A．x52＋y2＝1 B．x42＋y52＝1 C．x52＋y2＝1 或x42＋y52＝1 D．以上答案都不对
【答案】 (1)5 (2)3
本例(2)中增加条件“△PF1F2 的周长为 18”，其他条件不变， 求该椭圆的方程． 解：由原题得 b2＝a2－c2＝9， 又 2a＋2c＝18， 所以 a－c＝1，解得 a＝5， 故椭圆的方程为2x52 ＋y92＝1.
(1)椭圆定义的应用范围 ①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的结论 椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作焦点三角 形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
椭圆的标准方程
(1)(2019·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离
心率 e＝12，且它的一个焦点与抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，
则此椭圆方程为( )
A．x42＋y32＝1
B．x82＋y62＝1
C．x22＋y2＝1
D．x42＋y2＝1
(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的左、右焦点，
2．已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动 圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆 心 M 的轨迹方程为________． 解析：设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋ r)＝16，又|C1C2|＝8<16，所以动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，则 a＝8，c＝4，所以 b2 ＝48，又焦点 C1、C2 在 x 轴上，故所求的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝ 1. 答案：6x42＋4y82 ＝1