福建省龙岩市一级达标校高二数学上学期期末质量检查试题理.docx

福建省龙岩市一级达标校2014-2015学年高二上学期期末质量检查
理科数学试题
第I 卷（选择题共50分）
一、选择题（本人题共10小题，每小题5分，共50分，每小题屮给出四个选项，只有一项 是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置.） 1. 等差数列的前几项和为以,若则S9的值是 A. 25 B. 26 C. 27 D. 28
2. UBC 内角A,B,C 的对边分别为abc 已知a = 3,A = 60°,b = y/6，则B 二 A. 45。

B . 30。

c. 60。

D . 135°
3. 若动点戶到定点F （Z°）的距离与它到直线兀+ 2 = °的距离相等，则动点P 的轨迹方程是 A y 2
= -8x B 〉'2=_]6兀
（ y 2
=8x D y 2
=\6x
4. MBC 内角的对边分别为a,b,c.已知d = 2ccosB ，则AABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰氏角三角形
D.等腰三角形或在角三角形
丄 V 丄 <0（a,bwR ） 5. 若a b ,则下列不等式恒成立的是 A. ci < b B . a + b > ab
Q a > P ?l □ ab < b~
y <2x x+y<\
6. 若实数兀』满足约束条件,则2x + V 的最大值是
4 A. 3
B . 3
C. -2
D. 2
7. 如图,在长方体
ABCD
~ A i B t C i D
i 中,M=AD = 2AB = 2
若E ，F 分别为线段A® , CC
i 的中点，则直线EF 与平面
ADD
^所成角的止弦值为
8. 已知命题P ： “x>2是* >4的充要条件”,命题q ： “P〃R,2' >0” .则下列结论
V6
A. 3
V2 B. 2
正确的是
A . PS 为假
B .卩“ 为真
c. p7e 为假D . p ，q 均为其
X V
c
M ： — -^ = \（a >0,b>0）
—
9.
已知c 是双ill ］线 © /r 的半焦距，则Q + b 的取值范围是
10. 已知。

>1, ^2.71828…是自然对数的底数，若两数与）心/的图象与直 线）'=“相切于同一点，则。

=
e 2
A. e
B.旷 C- e D.
第I 【卷（非选择题共100分） 二、填空题（本人题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置•）
11. Illi 线/（X ）=川—兀+ 2在点（1，2）处的切线方程为 12. 关于兀的不等式^~2ax + a> °的解集为R ,则实数。

的 取值范围为
13. 如图,在正四棱柱
ABCD
~A B I C I D 1 4>, AB = 1,AA }=2 点M 为CG 的
中点，则点9到平面的距离为 .
71
ZBAC = -
厂 14. 如图，在人4^C 中， 3
= 若E 为BC
的中点，则4E 的最大值是 15. 下列四个结论正确的序号是 ・（填上所有正确的序
号） ① 函数>
，= xsinx
在区间（％内无最大值；
② 数列{勺」的前n
项和» =
2"血耐）,对任意的正整数〃
总存在正整数加,使得S,严佥;
A.
72 >/2 C. F D. W )
sinx ---- =比伙〉0）
③若方程 X
有且仅有两个不同的实数根西，花（兀2 >西），则
B \
（笫13题图）
A
（第14题图）
sin Xj +X] cosx2 =0
三、解答题（共80分，解答写在答题卡的相应位置，应写出必耍的文字说明、证明过程及演算步骤•）
16.（本小题满分13分）
已知疋项等比数列仏”｝中，坷+勺=6,4 = 24.
（1 ）求数列的通项；
（II ）数列｛"｝满足b n = l0§2色,求数列｛d“ + "｝的前n项和T n .
17.（本小题满分13分）
己知\ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c,且d cos C + （c - 2b）cos A = 0
（I ）求角A的大小；
（II）若AABC的面积为2巧，且a = 2^3 .求〃 + c的值.
18.（本小题满分13分）
7T 71
APCB = 一，ABPC一，PB = 4
如图，在“CB中，已知 2 3 ，点°为的中点•若MPC是NBPC绕直线PC顺时针旋转而成的，记二面角B-PC-A的人小为e •
e =-
（I ）当2吋，求证：平面4CD丄平面P3C；
(II) 2兀
3时，求锐二面角B-CD-A的余弦值.
（第18题
图）
19. （本小题满分13分）
如图，某养殖八要建一个血积为800平方米的矩形养殖场，要求养殖场的-边利用旧墙（旧 墙的长度大于4米），其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的止中间要留一个4米 的进出口•设短形的宽为x 米，铁丝网的总长度为 >' 米. （I ）问矩形的氏与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总 长度最小？
（II ）若山于地形限制，该养殖场的长与宽都不能超过32 米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长 度最小？
20. （本小题满分14分）
~~ = 1（。

〉b 〉0） ―― ］、
已知椭圆C ： a ~ b ~ 的离心率为2 , 口椭圆C 经过点（U 」）. （I ）求椭圆°的方程；
（II ）己知直线/与椭圆C 相交于巴°两点，以为直径的圆恒过原点。

，试问原点。

到 直线心勺距离〃是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由.
21. (本小题满分14分)
1 、
f(x) - x\nx ——ax~(a e R) 已知函数 2
（I ）当
a = Q
时，求/（兀）的最小值；
/（再+1）-/也 + 1）二 1
（II ）对于区间厲2）内的任意两个不相等的实数再*2 ,不等式 K 一兀2 恒成
4米
（第19题
X X
立，求实数Q的取值范围；
In 2 In 3 In 4 Inn 1 (III)设才3' 4 川，试比较6与“的大小.
(其中〃> 1/ w ", — 2.71828…是自然对数的底数.)
龙岩市一级达标校2014〜2015学年第一学期期末高二教学质量检查 数学（理科）试题参考答案
-、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
2^3
3 11. 2x_y = 0
12.〔°川
13. 3
14.2
15.②③
三、解答题（共80分） 16.（本小题满分13分）
（I ） 设数列的首项为⑷，公比为g ，（q>°）. 2分
5分 6分
S =丄 bcsin A =丄 be • — = 2\/3
（II ）
2
2
2
a 〕+ a 】• q = 6 则 M 7 + e • q =24
严=2 解得：—2 .% =2・2" =2"
（II ） b n = log Q 2"=刃 ............. *8 分• a
设匕+乞｝的前川项和为S”
则 s
n
= Gi + 外）+6 +6）+…+ G +6）=（珂 + 勺 +…+ aj+01 + ①
+ …®）3
=（2+2?+…+ 2"）+（1+2 +…+ ”）= 2?”；1）+
”
（】；”） (12)
分”
= 2^-2+-n 2
+ -« ....................................................... 13 分 a 2分
17.（本小题满分13分）
（j ）a cos C + c cos A = 2b cos A
:.sin A cos C + sinC cos A = 2sin B cos A 即 sin （力 + C ） = sin B = 2sin B cos A
cosA=-
八 ▲
2
•• 0< A <
v
a2 = b2 +c2 - 2bc cos A =(Z? + c)2 - 2bc — be =(b + c)2一 3bc
...(/; + c)2 =，+3^ = 12 + 24 = 36
12分
.I b + c = 6 (13)
夕｝
18.（本小题满分13分）
解：（I）依题可知AC丄PC t BC丄PC
.•・ ZACB =
e
当吩时平面咖
••• AC u平面ACD :.平面ACD丄平面PBC
（II）如图，以点C为处标原点，在平而内垂直于BC的直线为兀轴，C5CP所在的直线分别为丁轴，Z轴，逢立空间直角处标系C-xyz
则A®-石,0） B（0,273,0）0（0,0,0）P
（0,0,2）
•••点D为“的中点.•. ° （皿1）
设平面ACD的法向量为加=（旺』心）
m CA = 0 in - CD = 0（兀1，开,可）・（3,-屈0）= 0
（西,开,勺）・（0,巧,1） = 0
3西一侖必=0 V
..巧戸 + Z] = 0 • m = (l, >/3,-3)取X =巧••・州T・Zi =一3
10分
又平而BCD的法向量"=
（1，°，°）
设锐二面角B — CD — A的大小
为0C
m -n
COSQ =—―-
m • n V13~ 13
13分19.（本小题满分13
分）
x>0
800 / 八 ------- 4>0
x
800
•••函数 歹
在［恋32］单调递增 .・.当 X = 25 时 Jmin =78
•••当长为32米，宽为25米时，所用铁丝网的总长度最小.
(I)依题可得 型-4
/. 0 < x < 200
x
(0<x< 200)
・••当长为40米,宽为20米时,
型
当且仅当
兀 即兀=20时人in = 76
所用的铁丝网的总长度最小为76米.・・・ (II)依题意
c
800 力
y = 2x + ------- 4 x
0<x<32 0v 叫32
X
(25 < x < 32)
25 K 32
)"<
° •••函数在(°，2°)内单调递减
当兀>20时?.函数在(20,+00)内单调递增
11分
13分
20•(本小题满分14分)3
(ii)当直线/的斜率存在且不为0时,设直线/的方程为y =瓜+加做工0), ••• XjX 2 + VjV 2 = 0 :. X y X 2 + (阿 +?nX^2 + 加)=0 “
(l+V^jX. +mk(Xi +x 2)+m : = 0 ..................................................... 10 分卩 将 Y =A X + ?M (上工0)代入1 + 亍=1 得(l + 4F)x ： +8?»A X + 4?M : -4 = 0^ " 4 "
:.A = 4k 2 一加2
+1 ＞ 0 ・ a X, +x ： =
r 篇
，壬x ：=
:笃,
代入二 Q +V)XjX : + mk(x 2
+x ：)+加：=0 - -12 分P 得5汩=4(V +l)n £L =兰又因为点O 到直线/的距离d 二〒也=逆卩
Jl + F 〉
y/l^r 〉
综上r 当直线/满足题意时「点0到直线？的距离d 是走值且/二逆.…曲 分
“ 21.(本小题满分14分) (I )当 d = 0 时，/(x) = xlnjt(x 〉o)
1
令广（兀）=1 + In x > 0 得 X>
e
1
— ,+00 在I" 丿上递增
(II)解：不妨设 1＜州＜勺＜2,依条件得：/(x 1+l)-/(x 2+!)＜%,-x 2 即：/（x i +1）-（坷 +1）＜/（七 +1）-（勺+1）恒成立 设h(x) = f(x)-x 上式恒成立，只须此函数在(2,3)上单调递增 ....... 5分
(I )解：礎得・& j =£且21.2=4 ’
a 2
所以梯園c 如隹方程为-+/=1. ...............................................
4
(n )因为以PQ 为直径的园恒过原点o 』op 丄os 「-可•宛=0“ 设P(x 】 J 】),0(x ：jj 则些+比” =0 .................................................
°)当直线/的斜率不存在时『设直线/的方程为X = r 川 则X] =x 2 =f
=扌一1代入;v 】x ： +〉卩、=0得产+扌一1 = 0二『
所以点O 到直线/的距离d=迫.
衿分a
•6分a
•8分a 产(兀)在I ，幺丿上递减,
/?（%） = x\nx
1 2 ——ax -
x
（兀）=In x + 1 - 6/x - 1 = In x - 6/x > 0
lnx
即 X 恒成立 .................................... 6分
（、lnx “ 、 1-lnx 令g （x ）-〒得g （*）_ x2 ,由 g©） = 0 得 x = e 当心2间时,g'G ）＞0, g&）在（2疋）上单调递增 当心3）时，孑（兀）＜0, g&）在@,3）上单调递减 “w （厶卩时， e e
................................................. 8分
v （2）= — = In ＜ In ^9 =—
乂 2
3
（、/八 In 2
. In2
.-.g （x ）＞^（2） = — a -~^-
\n2
经检验：当"一 2时也符合题意，
In 2
a ＜ -------
综上得 2 .
.................................................................. 9分
lnx 1
--- --
（III ）由（2）得兀一 J 且兀＞°. lnx
10分
蛇昨+屹+…+哑<丄
• 23
33 43 n 3
~ e
13分
In 2 In 3 In 4 \nn 1 ---- + ----- + ----- +... + ------ < — /. 23
33 43 / £ 33 43 S n <-
e
14分
1 1 1 1 又尹++…h 1 1 ----- H + 1x
2 2x
3 ----- 3x4
1 1 一 + …+ --- 7— n 一 1)-7?
12分
1 1 1 1
岚 + 而 +而+•+(/?_])/ fi-r +
5 1> + <1 1、 /
+ ・
J
~3；
~4；
I 2丿
\
F +。