苏科新版数学八年级上册《全等三角形》单元测试

《全等三角形》单元测试
考试分值：120；考试时间：100分钟
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．（4分）如图所示正方形网格中，连接AB、AC、AD，观
测∠1+∠2+∠3=（）
A．120°B．125°C．130°D．135°
2．（4分）长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，
一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线
AX上移动，若△ABC和△APQ全等，则AP的值为（）
A．6cm B．12cm C．12cm或6cm D．以上答案都不对
4．（4分）如图，已知△ABC≌△CDA，∠B=∠D，
则下列结论中正确的是（）
①AB=CD，BC=DA．②∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠
CAD．③AB∥CD，BC∥DA．
A．①B．②C．①③D．①②③
5．（4分）下列说法正确的是（）
A．全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B．全等三角形的周长和面积都一样
C．全等三角形是指形状相同的两个三角形
D．全等三角形的边都相等
6．（4分）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC
≌△DBE，且∠BDA=∠A，若∠A：∠C=5：3，则∠DBC=（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
7．（4分）如图所示，△ABC≌△EDF，DF=BC，AB=ED，
AE=20，AF=5，则AC的长为（）
A．20 B．5 C．10 D．15
8．（4分）下列不能判定三角形全等的是（）
A．如图（1），线段AD与BC相交于点O，AO=DO，BO=CO．△ABO与△BCO
B．如图（2），AC=AD，BC=BD．△ABC与△ABD
C．如图（3），∠A=∠C，∠B=∠D．△ABO与△CDO
D．如图（4），线段AD与BC相交于点E，AE=BE，CE=DE，AC=BD．△ABC 与△BAD
9．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠
DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平
分∠ABC，则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB；
=S四边形ABCD；
②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S
△ABE
⑤BC=CE．（）
A．0个B．1个 C．2个 D．3个
10．（4分）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，
成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细
的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师
傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．（4分）如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，
AD=9cm，BC=5cm，AB的长为cm．
12．（4分）如图：已知DE=AB，∠D=∠A，请你补
充一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明你判断的理由：
或．
13．（4分）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，它虽然
只有七块，但是可以拼出多种多样的图形，如图就是一
个七巧板，七块刚好拼成一个正方形，图中全等的三角
形有对．
14．（4分）在△ABC和△DEF中，AB=4，∠A=35°，∠B=70°，DE=4，∠D=°，∠E=70°，根据判定△ABC≌△DEF．
15．（4分）如图，AB，D相交于点O，已知OC=OA，请
你补充的一个条件或使△AOD≌△COB．
三．解答题（共5小题，满分60分）
16．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．
（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
17．（12分）如图，在△ABC和△DCB中AC与BD
相交于点O，AB=DC．
（1）请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DCB；
（2）根据（1）中你所添加的条件，求证：△ABC≌
△DCB；
（3）△OBC的形状是．（直接写出结论，不需证明）
18．（12分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠
D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′
点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．
19．（12分）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
20．（14分）点D是等边△ABC（即三条边都
相等，三个角都相等的三角形）边BA上任意一
点（点D与点B不重合），连接DC．
（1）如图1，以DC为边在BC上方作等边△
DCF，连接AF，猜想线段AF与BD的数量关
系？请说明理由．
（2）如图2，若以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，
连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．D．
2．A．
3．C．
4．D．
5．B．
6．C．
7．D．
8．C．
9．B．
10．D．
二．填空题
11．2．
12．∠B=∠E或∠ACB=∠DFE或AF=CD．
13．3．
14．35，ASA．
15．OB=DO或∠A=∠C．
三．解答题
16．解：（1）3对．分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．
（2）△BDE≌△CDF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
又D是BC的中点，
∴BD=CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
17．解：（1）添加∠ABC=∠DCB，
（2）证明如下：
∵AB=DC，
∠ABC=∠DCB，
BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
（3）由（2）知△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴△OBC的形状是等腰三角形．
18．解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，∠AB′E=∠B=∠D=90°，
∴B′E∥DC；
（2）∵折叠，
∴△ABE≌△AB′E，
∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，
∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°，
∴∠AEB=∠BEB′=65°．
19．证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
20．解：（1）BD=AF，
理由：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，∴BC=AC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
（2）AB=AF+BF′，
理由：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，∴BC=AC，CF′=CD，∠F′CD=∠BCA=90°，∴∠F′CB=∠DCA，
在△F′CB和△DCA中，
，
∴△F′CB≌△DCA（SAS），
∴BF′=DA，
由（1）知，BD=AF，
∵AB=BD+AD，
∴AB=AF+BF′．
《全等三角形》单元检测与简答
一．选择题（共10小题）
1．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）
A．150°B．180°C．210°D．225°
2．下列说法正确的是（）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
3．如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（）
A．68°B．62°C．60°D．50°
4．如图，△ABC≌△BAD，则下列结论正确的是（）
A．AD=DC B．AC=BD C．∠A=∠B D．∠D=∠C
5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
6．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）
A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等
7．如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
8．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）
A．30°B．35°C．45°D．60°
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距高，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使得CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是（）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
二．填空题（共8小题）
11．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．
12．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于1
2
DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=cm．
14．如图，直线l1∥l2∥l3，l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．
15．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于．
16．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则
∠3=．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠A的度数是度．（用含α的代数式表示）
18．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．
三．解答题（共6小题）
19．如图，在△ABC中，∠C=90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．
20．如图，△ADF≌△BCE，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm
求：（1）∠1的度数
（2）AC的长
21．如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（），
∴∠2=∠3（），
又∵∠1=∠3（），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴+∠DAC=+∠DAC（），
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵
∴△ABC≌△ADE（）．
22．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD=EC+ED．
23．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB．
24．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB 上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D 运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
2018—2019学年人教版八年级数学上册第12章《全等三角形》单元检测简答
一．选择题（共10小题）1．B．2．C．3．A．4．B．5．D．6．D．7．D．8．B．9．B．10．C．
二．填空题（共8小题）
11．4．12．SSS．13．7．14．34
5
．15．4．
16．55°．17．180°﹣2α度．（用含α的代数式表示）18．①．三．解答题（共6小题）
19．如图，在△ABC中，∠C=90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．
【学会思考】（1）根据三角形角平分线的定义，即可得到AD；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解】：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=4，
∴S △ABD =
12AB ×DE=12
×10×4=20cm 2． 20．如图，△ADF ≌△BCE ，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm ，CD=1cm 求：（1）∠1的度数
（2）AC 的长
【学会思考】（1）根据全等三角形的对应角相等和三角形外角性质求得答案；
（2）根据全等三角形的对应边相等求出AD ，根据图形计算即可．
【解】：（1）∵△ADF ≌△BCE ，∠F=28°，
∴∠E=∠F=28°，
∴∠1=∠B +∠E=32°+28°=60°；
（2）∵△ADF ≌△BCE ，BC=5cm ，
∴AD=BC=5cm ，又CD=1cm ，
∴AC=AD +CD=6cm ．
21．如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1=∠3，∠E=∠C ，AE=AC ，求证：△ABC ≌△ADE ．
证明：∵∠E=∠C （已知），
∠AFE=∠DFC （ 对顶角相等 ），
∴∠2=∠3（ 三角形内角和定理 ），
又∵∠1=∠3（ 已知 ），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴ ∠1 +∠DAC= ∠2 +∠DAC （ 等式的性质 ），
即∠BAC=∠DAE ，
在△ABC 和△ADE 中
∵
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【学会思考】首先证明∠2=∠3，再证明∠BAC=∠DAE，进而可利用SAS判定三角形全等即可．
【证明】：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴∠2=∠3（三角形内角和定理），
又∵∠1=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质），
即∠BAC=∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故答案为：对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；SAS．
22．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD=EC+ED．
【学会思考】由题中AB=AC，以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明△ABD≌△CAE．
【证明】：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．
∴∠ABD=∠DAC．
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，EC=AD．
∵AE=AD+DE，
∴BD=EC+ED．
23．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB．
【学会思考】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；
【证明】：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE和△BDF中，，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A=∠B，
∴AE∥BF；
24．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB 上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D 运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【学会思考】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【解】：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC +∠BPQ=∠APC +∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直．
（2）①若△ACP ≌△BPQ ，
则AC=BP ，AP=BQ ， 则
， 解得；
②若△ACP ≌△BQP ，
则AC=BQ ，AP=BP ， 则
， 解得：； 综上所述，存在或，使得△ACP 与△BPQ 全等．
《全等三角形》压轴题训练
(1)
1.如图，在ABC ∆中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( )
A. 4
B. 5
C. 1
D. 2
2.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边,AC AB
于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12
MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ∆的面积为( )
A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
3.如图，在Rt ABC ∆中，90,12,6C AC BC ∠=︒==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ∆和QPA ∆全等，则AP 的长为 .
4.如图，//,,,,2,3AD BC AB
BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥=
==，则A D E ∆的面积
为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ∆中，90,ACB AC BC ∠=︒=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ∆≅∆.
(2)类比探究:如图②，在Rt ABC ∆中，90,4ACB AC ∠=︒=，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '∆的面积.
(3)拓展提升:如图③，在EBC ∆中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=︒==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t .
6.【初步探索】
(1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=︒. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究
此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ∆≅∆，再证AEF AGF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是 .
【灵活运用】
(2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=︒. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由.
【延伸拓展】
(3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=︒=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.
(2)
1.如图，在ABC ∆中，12,8,AB BC BD ==是AC 边上的中线，则BD 的取值范围是( )
A. 28BD <<
B. 310BD <<
C. 210BD <<
D. 420BD <<
2.如图，在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以,AB AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接,CE BG 和,EG EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论:①BG CE =;②BG CE ⊥;③AM 是AEG ∆的中线;④EAM ABC ∠=∠.其中正确结论的个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3.如图，//,AB CD O 是ACD ∠和BAC ∠的平分线的交点，且OE AC ⊥，垂足为E , OE =2. 5 cm ，则AB 与CD 间的距离为 cm.
4.如图，在ABC ∆中，90,45C BAC ∠=︒∠=︒，点M 在线段AB 上，12GMB A ∠=∠，BG MG ⊥，垂足为,G MG 与BC 相交于点H .若MH = 8 cm ，则BG = cm.
5.如图，在ABC ∆中10AB AC ==cm, BC =8 cm, D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动.设运动的时间为t s.
(1)求CP 的长;(用含t 的代数式表示)
(2)若以,,C P Q 为顶点的三角形和以,,B D P 为顶点的三角形全等，且B ∠和C ∠是对应角，求a 的值.
6.【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC ∆和DEF ∆中， ,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠，然后对B ∠进行分类，可以分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当B ∠为直角时，ABC DEF ∆≅∆.
(1)如图①，在ABC ∆和DEF ∆中,AC DF BC EF ==,90B E ∠=∠=︒，根据 ，可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆.
第二种情况:当B ∠为钝角时，ABC DEF ∆≅∆.
(2)如图②，在ABC ∆和DEF ∆中,AC DF BC EF == ,B E ∠=∠，且,B E ∠∠都是钝角.求证: ABC DEF ∆≅∆.
第三种情况:当B ∠为锐角时，ABC ∆和DEF ∆不一定全等.
(3)在ABC ∆和DEF ∆中，,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠,且,B E ∠∠都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF ∆，使DEF ∆和ABC ∆不全等.(不写作法，保留作图痕迹)
(4) B ∠还要满足什,,,AC DF BC EF B E ==∠=∠，且,B E ∠∠都是锐角.若 ，则ABC DEF ∆≅∆
.
参考答案(1)
1.C
2. B
3.6或12
4. 1
5. (1),BD l AE l ⊥⊥Q
∴90BDC AEC ∠=∠=︒
∴Rt AEC ∆中90EAC ACE ∠+∠=︒
∵90ACB ∠=︒，180ECD ∠=︒
∴90DCB ACE ∠+∠=︒
∴EAC DCB ∠=∠
在AEC ∆和CDB ∆中
A E C C D
B E A
C
D C B
A C C
B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEC CDB ∆≅∆
(2)如图①，作'B D AC ⊥于点D ，则'90ADB BCA ∠=∠=︒
∵斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至'AB ，
∴'AB AB =，'90B AB ∠=︒
即'90B AC BAC ∠+∠=︒
∵在ACB ∆中，90B CAB ∠+∠=︒
∴'B B AC ∠=∠
在'B AD ∆和ABC ∆中，
'''ADB BCA B AD B AB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴'B AD ABC ∆≅∆
∴'4B D AC == ∴'11'44822
AB C S AC B D ∆=⨯⨯=⨯⨯= (3)如图②根据题意，画出图形.
∵3,2BC OC ==
∴1OB BC OC =-=
∵线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .
∴120FOP ∠=︒，OP OF =
∴1260∠+∠=︒
∵在BCE ∆中，60E ECB ∠=∠=︒
∴120OBF PCO ∠=∠=︒
∴在PCO ∆中，2360∠+∠=︒
∴13∠=∠
在BOF ∆和CPO ∆中
13
OBF PCO OF PO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BOF CPO ∆≅∆
∴1PC OB ==
∴314EP EC PC =+=+=
∴点P 运动的时间44()1
t s ==
6.(1) BAE FAD EAF ∠+∠=∠
(2)成立.
理由：延长FD 倒点G ，使得DG BE =，连接AG
∵180ADG ADC ∠+∠=︒，180B ADC ∠+∠=︒
∴ADG B ∠=∠
在ABE ∆和ADG ∆中
A B A D B A D G B E D G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE ADG ∆≅∆
∴BAE DAG ∠=∠，AE AG =
∵EF BE FD =+
∴EF DG FD GF =+=
在AEF ∆和AGF ∆中
AE AG AF AF EF GF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴AEF AGF ∆≅∆
∴EAF GAF ∠=∠
∵GAF FAD DAG FAD BAE ∠=∠+∠=∠+∠
∴BAE FAD EAF ∠+∠=∠ (3) 11802
EAF DAB ∠=︒-∠. 证明：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG
∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒
∴ADC ABE ∠=∠
在ADG ∆和ABE ∆中
AD AB ADG ABE DG BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADG ABE ∆≅∆
∴AG AE =，DAG BAE ∠=∠
∵EF BE FD =+
∴EF DG FD =+
∵GF DG FD =+
∴EF GF =
在AEF ∆和AGF ∆中
EF GF AE AG AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴AEF AGF ∆≅∆
∴EAF GAF ∠=∠
∵360EAF GAF GAE ∠+∠+∠=︒
∴2()360EAF GAB BAE ∠+∠+∠=︒
∴2()360EAF GAB DAG ∠+∠+∠=︒
即2360EAF DAB ∠+∠=︒ ∴11802
EAF DAB ∠=︒-∠ (2)
1.C
2.A
3.5
4. 4
5. (1)由题意，得3BP t =cm ，8BC =cm.
∴(83)CP BC BP t =-=-cm.
(2)分两种情况讨论:①当BD CP =时，BDP CPQ ∆≅∆
∵ 10AB =cm ，D 为AB 的中点 ∴152
BD AB =
= cm. ∴583t =-
解得1t = ∵BDP CPQ ∆≅∆
∴BP CQ =
即311a ⨯=⨯ 1.解得3a =
②当BP CP =时，BDP CQP ∆≅∆
∴383t t =-，解得43
t =
∵BDP CQP ∆≅∆
∴BD CQ = 即453a =⨯，解得。

154
a = 综上所述，a 的值为3或154. 6. (1)HL.
(2)如图①，过点C 作CG AB ⊥的延长线于点G ，过点F 作FH DE ⊥的延长线于点H ∵,CG AG FH DH ⊥⊥
∴90CGA FHD ∠=∠=︒
∵180CBG ABC ∠=︒-∠，180CBG ABC ∠=︒-∠，ABC DEF ∠=∠
∴CBG FEH ∠=∠
∵BC EF =
∴BCG EFH ∆≅∆
∴CG FH =
又∵AC DF =
Rt ACG Rt DFH ∆≅∆
∴A D ∠=∠
在ABC ∆和DEF ∆中
∵ABC DEF ∠=∠，A D ∠=∠，AC DF =
∴ABC DEF ∆≅∆
(3)如图②，DEF ∆即为所求
(4)答案不唯一，如由(3)知以点C 为圆心，AC 的长为半径画弧时，当弧与边AB 的交点在点A 、B 之间时，DEF ∆和ABC ∆不全等;当弧与边AB 交于点B 或没有交点时， ABC DEF ∆≅∆，故AC BC ≥，即当B A ∠≥∠时，ABC DEF ∆≅∆.因此可以填B A ∠≥∠.。