数学三十六计续集27：延后算

15 ×15 ×12 15 ×15 ×12 4 = = 60 × 60 — 15 ×15 75 × 45 5 4 最终结果为： 12 + = 12.8 厘米。 5
【精典名题３】皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为 12 厘米，水桶底面直径为 60 厘米．皮球有 2/3 的体积浸在水中（下 图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？ 【思路点拨】 皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分 水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积， 再用这个体积除以圆柱 形水桶底面积，就得到水面升高的高度．方案设计为： 2/3 的球体体积 水桶底面积 可以发现在设计的方案中分子分母部分都有圆周率，可以约去，所以不必在算球 体积时乘出具体得数。球的体积：
＝3.14×（18＋60＋20） ＝3.14×98 =314-6.28 ＝307.72（平方厘米）．
－－省去了三次乘 3.14
－－可当成 100 个 3.14-2 个 3.14，体现运算的灵活。
这个计算过程一个竖式也不用列，全部可以口算得出。在讲课中发现大部分学员 都在一部分一部分算再加起来，结果数据很难精确。听我讲完这题后都感触很深，一 定要把简算的思路体现到所有的运算中去，这才是学习速算与巧算的目的。
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－马到成功老师
第一块草地扩大 24 倍 ，可供 10×24 头吃 30 天，吃草 10×24×30 份， 第二块草地扩大 8 倍，可供 8×28 头吃 45 天，吃草：8×28×45 份，（以上每个 算式可以不算出具体得数。） 可得 120 公顷每天长草量：（8×28×45-10×24×30）÷（45-30）=（8×28× 15×3-10×24×15×2）÷15=24×28-24×20=24×8 注：除数是 15，就把被除数中的 15 提取，不同因数相减，不算出具体结果。 120 公顷原有草量：8×28×45-24×8×45=32×45 120 公顷地可供多少头牛吃 80 天： 32×45÷80+24×8=210（头） 210÷5=42（头） 再从 120 公顷回归到 24 公顷可供多少头牛吃 80 天。 答案：42 头。 以上运算过程最值得借鉴的是：有些计算结果不是算出得数，而是用 24×8，32 ×45 这样的算式来表示， 代入下一步中可以利用提取公共因数或约分等来化简， 所以 上一步算出精确结果意义不大。 升学模拟 27 1. 如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并 排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C 为圆心， BK、 CK为半径画弧． 求阴影部分面积． ( π 3.14 ) 2. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米， 深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米， 高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中． 求这时容器的水 深是多少厘米？ 3. 把一块长15厘米、宽6.28厘米、高5厘米的长方体 铝锭，和底面直径8厘米、高14厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为5厘米 的圆锥体铝块，求这个圆锥体铝块高是多少厘米？ 4. 如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四 周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是 多少平方米？
2，若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积 应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：
5 2 15 2 2 17 5 2
它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中。 于是所求的水深便是 17.72 厘米。
17.72 (厘米)．列成综合算式 π 可以抵消。
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参考答案： 1，根据题意可知扇形的半径 r 恰是正方形的对角线，所以 r 2 32 2 18 ，如 右图将左 边的阴影翻转右 边阴影下部，
1 1 S阴影 S 扇形 S 柳叶 18π 2( 18π 3 3) 18 3π 8.5分的高度=木桩提起来的高度+水面下降的高度。 假设水凝固，木桩提起 12 厘米，腾出的空间是 15×15×12 立方厘米，再让水 流动填入这个空间，水面就会下降，而水面下降的部分的横截面是个“回”字形，表 示成：60×60-15×15，用腾出的空间的体积除以这个“回”字形横截面积可得到下 降的高度，计算过程注意使用平方差公式与约分，腾空体积的具体数据不必算出：
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理。 继续写：（97-100，1-8）（9-24）（25-40）（41-56）（57-72）（73-88）下一步 需小心。 （89-96，97-100，1-8）（9-40）（41-72）下一步各段合并， （73-100，1-8）（9-72），（73-100，1-72）结束。 可以看出最后一个括号内含 1-100，结果为 5050. 当操作完成后怎样算写出数的总和呢？可以从整体考虑， 从上往下累计有多少个 1-100，在每一个 1-100 处标上记号：一，二，三，……如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，……，99，100 一 （1，2）（3，4）(5，6) ……（97，98）（99，100 二） （1-4）（5-8）（9-12）（13-16）……（93-96）（97-100 三） （1-8）（9-16）……（89-96） （97-100 四，1-8）（9-24）（25-40）（41-56）（57-72）（73-88） （89-96，97-100 五，1-8）（9-40）（41-72） （73-100 六，1-8）（9-72）， （73-100 七，1-72） 很清楚地看出共有七个 5050，再加最后的 1-72.共计 2628+5050×7=37978。 可见笨算中也讲究巧算，只要能自己独立研究出解法，再笨的方法也是好方法。 另外介绍第二种解法： 当数列中有 2n 个数时，经过 n 次操作后将被全部划去，同时出现 n 个新数，并 且这 n 个新数之和等于原来 2n 个数的和。 这提示我们去考虑数列包含 2， 2 ×2， 2 × 2 ×2，…项的时刻。 6 个 2 连乘是 64，当经过 100-64=36 次操作后，原来的数 1，2，…，71，36 ×2=72 被划去，划去的数的和是 1+2+…+71+72=2628。此时数列中共有 64 个数，并 且这 64 个数的和与原来 100 个数的和相等，是 5050。 从该时刻起，依次再经过 32，16，8，4，2，1 次操作后，纸上出现的新数的 个数依次为 32，16，8，4，2，1。根据前面的分析，每一轮出现的所有新数的和都是 5050。从数列中有 64 个数变为只有 1 个数，操作共进行了 6 轮。 综上所述，纸上写出的所有数之和为 2628+5050+5050×6=37978。
【思路点拨】解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还 要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要 有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆 环拼成一个圆，即原圆柱体的底面．涂漆总面积的方案设计为：底面×2+大侧面+小 侧面 可列出综合算式后观察，不要一步步算，而是将π运用乘法分配律提取出来：
5，在每次操作过程中，数列中添加的数等于划去的两个数之和，因此数列中所有数 的和保持不变，于是当最后只剩下一个数时，它就是原来的 100 个数之和，为 1+2+… +99+100=5050。 在没有更巧的解法之前，同学们一般都采取找规律的办法，一个个算出来，3，7， 11，15，19，这样往后列举，费时费力，不容易找出规律，算对结果。这种列举办法 究竟能不能解决问题？可以，关键是每一步不具体算出来。用括号来代表加法运算。 一轮轮操作如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，……，99，100 （1，2）（3，4）(5，6) ……（97，98）（99，100） （1-4）（5-8）（9-12）（13-16）……（93-96）（97-100） （1-8）（9-16）……（89-96）写到这里时因为每 8 个数一组，最后余到 4 个数，处 理这四个数是个关键。下一轮应把这四个数与 1-8 合起来，以后遇到类似问题同样处
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答：这个圆锥体铝块的高是 44.88 厘米。 4，画出图来，有５个小扇形分成Ａ、Ｂ、Ｃ三类，正五边形的每个内角等于 108 度， 每个外角等于 72 度， 扇形 A 的半径为 10，扇形 B 的半径为 6，扇形 C 的半径为 2。
252 2 72 72 +6 × × 2 + 22 × × 2） 360 360 360 = 3.14 × （70 +14.4 +1.6） 3.14 × （10 2 × = 3.14 ×86 = 270.04
＝288π（立方厘米）． 水桶的底面积：π×30 ＝900π（平方厘米）．
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发现部分同学做此题时按步算出，费时太长，不够算便，还有更简便的是列出综 合式，约分到最后再乘，连 288π，900π都无需算出。
5 【精典名题４】高中学生人数是初中学生人数的 ，高中毕业生的人数是初中毕业生 6 12 人数的 ，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是 520 人，问高、初中 17 毕业生共有多少人？ 【思路点拨】用第一句话设未知数： 5 初中学生 X 人，高中学生为 X 人， 6 用第三句话来表示毕业人数： 5 初中毕业人数 X-520 人,高中毕业人数为 X-520 人， 6 用第二句话来确定等量关系： 12 5 （X-520） = X-520 17 6 以上是列方程解本题的精典思路，可以找题中的各条关键句来配合你的解题过程。 关键是本题的解方程过程，很多同学会列方程但解不出方程，非常烦恼，或许我 介绍的不急着算能为你打开思路。 12 解方程第一步展开，其中 520× 不算出来： 17 12 12 5 X-520* = X-520（*为乘号） 17 17 6 第二步，合并同类项，等式左右两边移动要注意变号： 12 5 12 520-520* = X- X 17 6 17 5 13 第三步，其中 520* 与 都不必算出， 17 6 *17 5 13 520* = X 17 6 *17 第四步，还是忍几个算式不算出结果： 5 6 *17 X=520* * 17 13 直到最后通过约分，非常轻松地得到结果： X=1200 则：高中人数为 1000 人， 所求毕业总人数为：1200+1000-520-520=1160（人）。 【精典名题５】有三块草地，面积分别是 5 公顷，15 公顷和 24 公顷。草地上的草一 样厚而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天；第二块草地可供 28 头牛吃 45 天。那么第三块草地可供多少头牛吃 80 天？（牛吃草复杂变化处理，引自华校考 题） 【思路点拨】可先统一三块地的面积取 5，15，24 的最小公倍数 120 公顷来计算，设 每头牛每天吃草量为 1 份。
3,分析：要想求出圆锥体的高，要先能确定其体积就可以办到。而圆锥体是用两个 不同形状的几何体而铸成的，故其体积就等于长方体体积与圆柱体体积的和。 解：长方体的体积为： 15 6.28 5 150 （立方厘米）；
8 圆柱体的体积为： 14 224 （立方厘米）； 2 1 则圆锥体铝块高为 150 224 5 5 44.88 （厘米）。 3
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【精典名题２】有一个长方体水池，底面为边长 60 厘米的正方形。里面插着一根长 1 米的木桩，木桩的底面是一个边长 15 厘米的正方形。木桩有一部分浸在水中， 一部分露出水面。现在将木桩提起来 12 厘米（仍有部分浸在水里），那么露出 水面的木桩浸湿部分的高度为 厘米。
5. *在纸上写着一列自然数1，2，……，99，100。一次操作是指将这列数中最 前面的两个数划去，然后把这两个数的和写在数列的最后面，例如一次操作后得 到3，4，…，99，100，3；而两次操作后得到5，6，…，99，100，3，7。这样不 断进行下去，最后将只剩下一个数。问：最后剩下的数是多少？最初的100个数连 同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是多少？（北京市仁华学校超常儿童 综合素质调查五年级解答题）
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数学三十六计搞定小升初续集之 27：延后算
作者：马到成功老师
每一场数学竞赛都有大量的繁杂的计算， 想节约运算时间， 提高速度与正确率， 获得理想成绩，速算与巧算的理念必须贯穿在整个解题的过程中，解决问题时的有些 前期步骤的计算不是马上求出精确结果， 而是期待在下一步的运算中能够获得约简或 抵消，当然这种期待是在预料之中的。 【精典名题 1】有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端 有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是 4 厘米，孔深 5 厘米．如果将这个零件 接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？（π取 3.14））