2015年全国高考文科数学试题及答案-福建卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（文史类）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若(1)(23)(,i i a bi a b R i ++-=+∈、是虚数单位)，则,a b 的值分别等于
A.3，-2
B.3，2
C. 3，-3
D.-1，4
2.若集合M={x ︱-2≤x ＜2}，N={0，1，2}，则M ∩N 等于
A.{0}
B. {1}
C. {0，1，2}
D. {0，1}
3.下列函数为奇函数的是
A.x y =
B.x e y =
C.x y cos =
D.x x e e y --=
4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为
A.2
B.7
C.8
D.128
5.若直线
1=+b
y
a x （a ＞0，
b ＞0）过点（1,1）
，则a+b 的最小值等于 A.2 B.3
C.4
D.5
6.若135
sin -
=α，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A.512 B.512- C.125 D. 12
5- 7.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于
A.2
3
-
B. 3
5
-
C.
3
5
D.
2
3 8. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（1,0），且点C 与点D 在函数⎪⎩⎪
⎨⎧+-≥+=0,12
1
0,1)(＜x x x x x f 的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 A.
6
1
B.
4
1
C.
8
3
D.
2
1 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于
A.228+
B. 2211+
C. 2214+
D.15
10.变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥+.0,022,0y mx y x y x 若z=2x-y 的最大值为2，则实数m 等于
A.-2
B.-1
C.1
D.2
11. 已知椭圆E:122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交
椭圆E 于A,B 两点.若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离不小于5
4
，则椭圆E 的离心率的取值范围是
A.⎥⎥⎦
⎤ ⎝⎛230， B.⎥⎦
⎤
⎝⎛430， C.⎪⎪⎭
⎫⎢⎢⎣⎡123， D.⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,43 12.“对任意x x x k x ＜cos sin ,2,0⎪⎭
⎫
⎝⎛∈π”是“k ＜1”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中
抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数是 . 14.若△ABC 中，AC=3，A=45°，C=75°，则BC= . 15.若函数a
x x f -=2
)(（a ∈R ）满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m,+∞)上单调递增，则实数m 的最
小值等于 .
16.若,a b 是函数2
()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当
排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n b n a n +=-22，求12310...b b b b ++++的值. 18.（本小题满分12分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
（Ⅰ）现从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求
至少有1家的融合指数在[]7,8内的概率；
（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 19.（本小题满分12分）
已知点F 为抛物线E:2
2y px =（0p >）的焦点，点()2,m A 在抛物线E
上，且F 3A =．
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点G(-1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆
心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
20.（本小题满分12分）
如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1． （Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC 体积的最大值；
（Ⅲ）若C B =
，点E 在线段PB 上，求CE+OE 的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知函数()2cos 10cos 222
x x x
f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．
22.（本小题满分14分）
已知函数()
()2
1ln 2
x f x x -=-
．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；
（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()1f x k x >-.
参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

1.A
2.D
3.D
4.C
5.C
6.D
7.A
8.B
9.B
10.C
11.A
12.B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题4分，满分16分。

13. 25
15. 1
16. 9
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力。

考查函数与方程思想、化归与转化思想。

满分12分。

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d
由已知得111
4,
(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩
解得13,1.
a d =⎧⎨
=⎩
所以1(1)2n a a n d n =+-=+
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n
n b n =+
所以2310
12310...(21)(22)(23)...(210)b b b b ++++=++++++++
2310(222...2)(123...10)=+++++++++
102(12)(110)10122-+⨯=+-
11(22)55=-+
112532101=+=
18.本小题主要考查古典概型、频率分布表、平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能
力、应用意识，考查必然与或然思想等。

满分12分。

解法一：（Ⅰ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为123,,A A A ；融合指数在[4，5]内的
“省级卫视新闻台”记为12,B B 。

从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
12132311122122{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A B A B A B A B 313212{,},{,},{,}A B A B B B ，共10个
其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：121323{,},{,},{,},A A A A A A
111221223132{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B ，共9个
所以所求的概率910
P =
（Ⅱ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
28734.5 5.5 6.57.520202020
⨯
+⨯+⨯+⨯ 6.05=
解法二：（Ⅰ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为123,,A A A ；融合指数在[4，5]内的
“省级卫视新闻台”记为12,B B 。

从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
12132311122122{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A B A B A B A B 313212{,},{,},{,}A B A B B B ，共10个
其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：12{,}B B ，共1个 所以所求的概率19
11010
P =-
= （Ⅱ）同解法一
19.本小题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推
理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。

满分12分。

解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得
||22
p AF =+
因为||3AF =，即232
p
+=， 解得2p =，
所以抛物线E 的方程为2
4y x =
（Ⅱ）因为点(2,)A m 在抛物线2
:4E y x =上，
所以m =±
(2,A
由(2,(1,0)A F 可得直线AF
的方程为1)y x =-
由21),
4y x y x
⎧=-⎪⎨
=⎪⎩得2
2520x x -+=，
解得2x =或12x =
，从而1
(,2
B 又(1,0)G -，
所以(1)2
GA GB k k =
===--
所以0GA GB k k +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线,GA GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r
因为点(2,)A m 在抛物线2
:4E y x =上，
所以m =±
(2,A
由(2,A ，(1,0)F 可得直线AF 的方程
为
1)y x =-
由2
1),
4y x y x
⎧=-⎪⎨
=⎪⎩得2
2520,x x -+=
解得2x =或12x =
，从而1
(,2
B
又(1,0)G -，故直线GA 的方程为30y -+=，
从而
r =
=
又直线GB 的方程为30y ++=
所以点F 到直线GB 的距离
d r =
==
这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切
20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、椎体的体积等基础知识，考查空间想象
能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。

满分12分。

解法一：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为,OA OC D =为AC 的中点，
所以AC DO ⊥
又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO AC ⊥ 因为DO
PO O =，
所以AC ⊥平面PDO
（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，
所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1 又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为1
2112
⨯⨯= 又因为三棱锥P ABC -的高1PO =， 故三棱锥P ABC -体积的最大值为11113
3
⨯⨯=
（Ⅲ）在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=，
所以PB ==
同理PC =PB PC BC ==
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，
如图所示。

当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值 又因为,OP PB C P C B ''==， 所以OC '垂直平分PB ， 即E 为PB 中点
从而2OC OE EC ''=+=
=
，
亦即CE OE + 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一
（Ⅲ）在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=，
所以45,OPB PB ∠===PC =所以PB PC BC ==，所以60CPB ∠=
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示。

当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值 所以在OC P '∆中，由余弦定理得：
21221OC '=+-⨯
1122(222=+--
2=+
从而OC '=
=
所以CE OE + 21.本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变化等基础知识，考查运算求解能力、抽象
概括能力、推理论证能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、有限与无限思想、数形结合思想。

满分12分。

解：（Ⅰ）因为2()cos 10cos 222
x x x
f x =+
5cos 5x x =++
10sin()56
x π
=++ 所以函数()f x 的最小正周期2T π= （Ⅱ）（ⅰ）将()f x 的图像向右平移
6
π
个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像。

又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =
（ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >，就是要证明存在无穷
多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5
x >
由
452<知，存在003a π<<，使得04sin 5
a = 由正弦函数的性质可知，当00(,)x a a π∈-时，均有4
sin 5
x > 因为sin y x =的周期为2π，
所以当00(2,2)()x k a k a k Z πππ∈++-∈时，均有4sin 5
x >
因为对任意的整数k ，000(2)(2)213
k a k a a π
ππππ+--+=->
>，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)k x k a k a πππ∈++-， 使得4sin 5
k x >
亦即，存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >
22.本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、
创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想。

满分14分。

解：（Ⅰ）211()1,(0,)x x f x x x x x
-++'=-+=∈+∞
由()0f x '>得20,10
x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x +<<
故()f x 的单调递增区间是1(0,2
+ （Ⅱ）令()()(1),(0,)F x f x x x =--∈+∞ 则有2
1()x F x x
-'= 当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<，
所以()F x 在[1,)+∞上单调递减，
故当1x >时，()(1)0F x F <=，即当1x >时，()1f x x <-
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意
当1k >时，对于1x >，有()1(1)f x x k x <-<-，则()(1)f x k x <-，
从而不存在01x >满足题意
当1k <时，令()()(1),(0,)G x f x k x x =--∈+∞， 则有21(1)1()1x k x G x x k x x
-+-+'=-+-= 由()0G x '=得，2
(1)10x k x -+-+=
解得120,1x x =<=> 当2(1,)x x ∈时，()0G x '>，故()G x 在2[1,)x 内单调递增
从而当2(1,)x x ∈时，()(1)0G x G >=，即()(1)f x k x >- 综上，k 的取值范围是(,1)-∞。