高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评1 Word版含答案

学业分层测评（一）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1
B ．23＋1
C ．2 6
D ．2＋2 3
【解析】 由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b sin 60°，
∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×322
2
＝2 6. 【答案】 C
2．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
【解析】 ∵sin B ＝b sin A a ＝42×3243
＝22， ∴∠B ＝45°或135°.
但当∠B ＝135°时，不符合题意，
所以∠B ＝45°，故选C.
【答案】 C
3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )
A ．1∶2∶3
B ．1∶3∶2
C ．2∶3∶1
D ．3∶1∶2
【解析】 设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ， 则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，
可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°
＝1
2∶
3
2∶1＝1∶3∶2.
【答案】 B
4．在△ABC中，若3b＝23a sin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为() A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，
则3b＝23a·sin B可化为：
3sin B＝23sin A·sin B.
∵0°<∠B<180°，
∴sin B≠0，
∴sin A＝
3 2，
∴∠A＝60°或120°，
又cos A＝cos C，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
【答案】 C
二、填空题
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为
最小边，由正弦定理
b
sin B＝
c
sin C得b＝
c sin B
sin C＝
1×
2
2
3
2
＝
6
3.
【答案】
6 3
6．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，
sin B＝1
2，C＝
π
6，则b＝________.
【解析】在△ABC中，∵sin B＝1
2，0<B<π，∴B＝
π
6或B＝
5
6π.
又∵B＋C<π，C＝π
6，∴B＝π6，
∴A＝π－π
6－
π
6＝
2
3π.
∵
a
sin A＝
b
sin B，∴b＝
a sin B
sin A＝1.
【答案】 1
7．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B＝________. 【解析】由正弦定理得3sin A＝2sin B·sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝
3 2.
又0<B<180°，
∴B＝60°或120°.
【答案】60°或120°三、解答题
8．在△ABC中，已知
a
cos A＝
b
cos B＝
c
cos C，试判断△ABC的形状. 【导学号：
05920059】
【解】令
a
sin A＝k，
由正弦定理得a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C.
代入已知条件，得sin A
cos A＝
sin B
cos B＝
sin C
cos C，
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．
9．在△ABC中，∠A＝60°，sin B＝1
2，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．
【解】由正弦定理得
a
sin A＝
b
sin B，
即b＝a·sin B
sin A＝
3×
1
2
sin 60°＝ 3.
由于∠A＝60°，则∠B<120°，
又sin B＝1 2，
∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝a sin C
sin A＝2 3.
[能力提升]
1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若
3a＝2b，则2sin2B－sin2A
sin2A的值为()
A.1
9 B.
1
3C．1 D．
7
2
【解析】∵
a
sin A＝
b
sin B，∴
sin B
sin A＝
b
a.
∵3a＝2b，∴b
a＝
3
2.
∴sin B
sin A＝
3
2.
∴2sin2B－sin2A
sin2A＝2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sin B
sin A
2－1＝2×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫3
2
2－1
＝9
2－1＝
7
2.
【答案】 D
2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A．a>b sin A B．a＝b sin A C．a<b sin A D．a≥b sin A
【解析】由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B，∴a sin B＝b sin A，在△ABC中，0<sin
B≤1，故a sin B≤a，∴a≥b sin A．故选D.
【答案】 D
3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，B＝π
4，________，
求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.(试在横
线上将条件补充完整)
【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A ＝b sin B ，
得b ＝a sin B sin A ＝3sin π4
sin π6＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C ＝π，
B ＝π4，A ＝π6，知
C ＝7π12，再运用正弦定理，得c ＝32＋62
. 【答案】 b ＝6或c ＝32＋62
4．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．
【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .
由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B .
∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.
在△ABC 中，0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π.
∴∠A －∠B ＝0即∠A ＝∠B ，∴△ABC 为等腰三角形.。