(河北专版)中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练(二)解方程(组)、不等式(组)及其

中档题型训练(二) 解方程(组)、不等式(组)及其应用题
本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式的应用，某某中考往往以解答题的形式出现，属基础题或中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．
方程(组)的解法
【例1】解方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－（x ＋y ）4＝－112，
3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.
【思路分析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法．
【学生解答】原方程组整理得：⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－1，①
－x ＋5y ＝3.②由②得x ＝5y －3.③将③代入①得25y －15－11y ＝－1，
14y ＝14，y ＝1.将y ＝1代入③得x ＝2.∴原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝1.
1．(2016某某中考)解方程：12x ＋2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫54x ＋1＝8＋x.
解：去括号，得12x ＋52x ＋2＝8＋x ，移项，得12x ＋5
2x －x ＝8－2，合并同类项，得2x ＝6，系数化为1，得x ＝
3.
2．(2016某某中考)解方程：x 2
＋2x ＝3. 解：原方程可化为(x ＋1)2
＝4， 所以x ＋1＝±2， 所以x 1＝－3，x 2＝1.
3．(2015甘孜中考)解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x －3y ＝1，①
x ＋2y ＝6.②
解：②－①，得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，
y ＝1.
4．(2016宿迁中考)解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①
3x ＋4y ＝－1.②
解：①×2＋②得5x ＝5， 所以x ＝1，
把x ＝1代入①得y ＝－1，
所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1，y ＝－1.
5．解方程：x x －1－1＝3
x 2＋x －2
.
解：去分母，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3， 去括号，得x 2
＋2x －x 2
－x ＋2＝3.
解得x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的增根， ∴原分式方程无解．
解不等式(组)
【例2】(2016某某九中二模)解不等式组： ⎩⎪⎨⎪
⎧9x ＋5<8x ＋7，①43
x ＋2>1－2
3x.②并写出其整数解． 【思路分析】先求不等式组的解集，在解集中找整数解．
【学生解答】解：解不等式①得x<2.解不等式②得x>－1
2.把①、②的解集表示在数轴上，故原不等式组的解
集是－1
2
<x<2.其整数解是0，1.
6．(2016某某某某中考一模)解不等式2x －13－9x ＋2
6≤1，并把解集表示在数轴上．
解：去分母，得2(2x －1)－(9x ＋2)≤6， 去括号，得4x －2－9x －2≤6， 移项，得4x －9x≤6＋2＋2， 合并同类项，得－5x≤10， 系数化为1，得x≥－2， 解集在数轴上表示如图：
7．(2016某某中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋5≤3（x ＋2），①2x －1＋3x
2<1.②将不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
解：解不等式①，得x≥－1，解不等式②，得x<3，所以原不等式组的解集是－1≤x<3. 解集在数轴上表示如图：
所以不等式组的非负整数解有0，1，2.
8．(2017预测)已知关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x －a≥0，
3－2x>－1的整数解共有5个，求a 的取值X 围．
解：由⎩
⎪⎨⎪⎧x －a≥0，3－2x>－1得⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，
x<2，∵不等式组有5个整数解，∴a ≤x<2，则知这5个整数解应是－3，－2，－1，
0，1，∴a 的取值X 围是－4<a≤－3.
9．(2017预测)已知关于x ，y 的方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝11a ＋18，2x －3y ＝12a －8的解满足x>0，y>0，某某数a 的取值X 围． 解：解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3a ＋2，y ＝－2a ＋4.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2>0，－2a ＋4>0.
解这个不等式组得－23<a<2.
方程(组)、不等式(组)的应用
【例3】(2016某某中考)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每X 降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票X 数，现在只花费了4 800元．
(1)求每X 门票的原定票价；
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．
【思路分析】根据题意分别建立分式方程模型和一元二次方程模型求解．
【学生解答】解：(1)设每X 门票原定的票价x 元，由题意得：6 000x ＝4 800
x －80，解得x ＝400. 经检验，x ＝
400是原方程的解.
答：每X 门票原定的票价400元；(2)设平均每次降价的百分率为y ，由题意得：400(1－y)2
＝324, 解得y 1，y 2＝1.9(不合题意，舍去). 答：平均每次降价10%.
10．(2016某某中考)李老师家距学校1 900 m ，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23 min ，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20 min ，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4 min .
(1)求李老师步行的平均速度；
(2)请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．
解：(1)设李老师步行的平均速度为x m /min ，骑电瓶车的平均速度为5x m /min ，由题意得1 900x －1 900
5x
＝20，，x ＝76是原分式方程的解，且符合题意．
答：李老师步行的平均速度为76 m /min ；
(2)能．理由：由(1)可知李老师走回家需要的时间为
1 9002×76＝12.5(min )，骑电瓶车到学校的时间为1 900
76×5
＝5(min )，则李老师从发现忘带手机到学校所用的时间为12.5＋5＋4＝21.5(min )，21.5<23.
答：李老师能按时上班．
11．(2016某某二中一模)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m 的住房墙，另外三边用25 m 长的建筑材料围成，为方便进出， 在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门. 所围矩形猪舍的长、 宽分别为多少时，猪舍面积为80 m 2?
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则矩形猪舍的另一边长为(26－2x)m ，依题意，得x(26－2x)＝80，化简，得x 2
－13x ＋40＝0，解这个方程得x 1＝5，x 2＝8，当x ＝5时，26－2x ＝16>12(舍去)，当x ＝8时，26－2x ＝10<12.
答：所建矩形猪舍的长为10 m ，宽为8 m .
12．(2016某某中考)学校准备购进一批节能灯，已知1只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需26元；3只A 型节能灯和2只B 型节能灯共需29元．
(1)一只A 型节能灯和一只B 型节能灯的售价各是多少元？
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A 型节能灯的数量不多于B 型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
解：(1)设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝26，
3x ＋2y ＝29.解得
⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝5，y ＝7.所以一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元；(2)设购进A 型节能灯m 只，总费用为w 元．依题意得w ＝5m ＋7(50－m)＝－2m ＋350，∵k ＝－2<0，∴当m 取最大值时w 有最小值．又∵m≤3(50－m)，∴m ≤37.5.而m 为正整数，∴当m ＝37时，w 最小，13只B 型节能灯．
13．(2016眉山中考)“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.
(1)求今年6月份A 型车每辆销售价多少元；(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A 、
B 两种型号车的进货和销售价格如表：
解：(1)设去年A 型车每辆x 元，那么今年每辆(x ＋400)元，根据题意得x ＝32 000（1＋25%）
x ＋400，解之得
x ＝1 600, 经检验，x ＝1 600是方程的解．所以x ＋400＝200.
答：今年A 型车每辆2 000元．
(2)设今年7月份进A 型车m 辆，则B 型车(50－m)辆，获得的总利润为y 元，根据题意得50－m≤2m ，解之得m≥162
3，∵y ＝(2 000－1 100)m ＋(2 400－1 400)(50－m)＝－100m ＋50 000, ∴y 随m 的增大而减小，∴当m
＝17时，可以获得最大利润.
答：进货方案是A 型车17辆，B 型车33辆.。