福建省莆田市高二数学下学期期中试题 文(2)

福建省莆田市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.）
1.设复数z 满足(1)4z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2i D ．2i -
2.椭圆22214x y a +=与双曲线22
12x y a -=有相同的焦点，则a =（ ）
A.1-
B.1
C.1±
D.2
3．已知a ＞0，﹣1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＜ab ＜ab 2
B ．ab ＜a ＜ab 2
C ．ab ＜ab 2
＜a
D ．ab 2
＜a ＜ab
4. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y 关于x 的线性回归方程3
5.07.0+=∧
x y ，则表中m 的值为( )
A.15.3
B.3
C. 4
D. 5.4 5.设函数()1
(0)f x x b x b b
=++->，则函数()f x 能取得（ ）
A ．最小值为2,
B ．最大值为2
C ．最小值为-2
D ．最大值为-2 6．若正实数y x ,满足0822=-++xy y x ，则y x 2+的最小值为（ ） A ． 3
B ． 4
C ．
9
2
D ．
112
7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 、15、… 这样的数称
为“三角形数”，而把1、4、9、16 、25、… 这样的数称为“正方形数”． 从下图中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ）
4=1+3 9=3+6 16=6+10
A. 13316+=
B. 16925+=
C. 261036+=
D. 282149+=
8．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，
5
还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（ ）
A ．甲丙丁戊乙
B ．甲丁丙乙戊
C ．甲乙丙丁戊
D ．甲丙戊乙丁
9. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为4，则输出y 的值 是
( )
A.－3
B. －2
C. －1
D. 0
10．函数y=x 2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C. D ．
11. 若()f x 为奇函数，且0x 是()x
y f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -
一定是其零点的函数是（ ） A ．()1x
y f x e
-=-⋅- B ．()1x y f x e =⋅+ C ．()1x y f x e =⋅- D ．()1x y f x e =-⋅+
12．已知F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，
()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
12 B ．1
2
C 1
D 1 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13. 已知复数i
i z +-=331，_
z 是z 的共轭复数，则_
z 的模等于 .
14.若关于x 的不等式2
50x a -≤的正整数解是1，2，3，则实数a 的取值范围是 . 15.观察以下三个不等式：
①2
2
2
2
2
2
2
)534231()543)(321(⨯+⨯+⨯≥++++；
②2222222
(7910)(6811)(76981011)++++≥⨯+⨯+⨯；
③2
2
2
2
2
2
2
)2016201790309920()20169099)(20173020(⨯+⨯+⨯≥++++ 若R z y x z y x ∈-=++,,,72时，则2
2
2
)1()2()1(+++++z y x 的最小值为 。

16．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 公里． 三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为
y =，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
（1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11
||||
OA OB +.
18. 已知函数()|||3|f x x x =+-. （1）求不等式()62
x f <的解集；
（2）若0k >且直线5y kx k =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围.
19. 随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
（Ⅱ）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至多有1人年龄在[55,65）的概率. 参考数据如下：附临界值表：
7.879
2K 的观测值：()
()()()()
2
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++（其中n a b c d =+++）
20. 已知函数()()ln f x x x a x =+-，其中a 为常数． （1）当1a =-时，求()f x 的极值；
（2）若()f x 是区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的单调递减函数，求实数a 的取值范围．
21. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，其左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，
△AB F 1的周长为8，且△A F 1F 2的面积最大时，△A F 1F 2为正三角形。

(1)求椭圆E 的方程；
(2)若MN 是椭圆E 经过 原点的弦，MN||AB ，求证：为定值
22. 已知函数1
()x f x e
ax -=+，a R ∈.
（1）讨论函数()f x 的单调区间； （2）求证：1
x e x -≥；
（3）求证：当2a ≥-时，[1,)x ∀∈+∞，()ln 1f x x a +≥+恒成立.
高二 数学（文科） 1-5.BBCBA 6-10.BDDBA 11-12.BC 13.1 14. [)4580， 15.
2
3
16.900 17.（1）曲线1C 的普通方程为2
2
(2)(2)1x y -+-=， 则1C 的极坐标方程为2
4cos 4sin 70ρρθρθ--+=， 由于直线2C 过原点，且倾斜角为
3
π
，故其极坐标为()3R πθρ=∈
（或tan θ=）
（2）由24cos 4sin 70
3ρρθρθπ
θ⎧--+=⎪⎨=
⎪⎩
得：2
2)70ρρ-+=
，故122ρρ+=，127ρρ=，
∴121211||||2
||||||||7
OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===
.
18.（1）由()62x
f <，即|
||3|622
x x
+-<， 得：3236x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0
2
36
x
x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩， 解得：39x -<<，∴不等式()62
x
f <的解集为(3,9)-.
（2）作出函数23,0()3,0323,3x x f x x x x -+≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
的图象，如图所示，
∵直线(5)y k x =+经过定点(5,0)A -，
∴当直线(5)y k x =+经过点(0,3)B 时，35k =， ∴当直线(5)y k x =+经过点(3,3)C 时，3
8
k =，
∴当33
(,]85
k ∈时，直线(5)y k x =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形.
19.（Ⅰ）解：根据条件得22⨯列联表：
的人数……3分
根据列联表所给的数据代入公式得到：
2
2
50(1032710)9.979 6.63520303713
k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ……5分
所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关; ……6分 （Ⅱ）解：按照分层抽样方法可知：
[55,65）（岁）抽取：5
62105⨯
=+（人）
； [25,35）（岁）抽取：10
64105
⨯=+（人） ……8分
解：在上述抽取的6人中, 年龄在[55,65）（岁）有2人，年龄[25,35）（岁）有4人。

年龄在[55,65）（岁）记为(,)A B ；年龄在[25,35）（岁）记为(,,,)a b c d ， 则从6人中任取3名的所有情况为:
(,,)A B a 、(,,)A B b 、(,,)A B c 、(,,)A B d 、(,,)A a b 、(,,)A a c 、(,,)A a d 、(,,)A b c 、(,,)A b d 、(,,)A c d 、(,,)B a b 、(,,)B a c 、(,,)B a d 、(,,)B b c 、(,,)B b d 、(,,)B c d 、(,,)a b c (,,)a b d (,,)a c d (,,)b c d 共20种情况， ……9分
其中至多有一人年龄在[55,65）岁情况有：(,,)a b c (,,)a b d (,,)a c d (,,)b c d 共4种情况。

……10分
记至少有一人年龄在[55,65）岁为事件A ，则P （A ）=4/20=1/5 ……11分 ∴至少有一人年龄在[55,65）岁之间的概率为1/5。

……12分
20.解析：（1）当1a =-时，()()()()2211121'210x x x x f x x x x x x
+---=--==>，所以()f x 在区间 ()0,1 内单调递减， 在()1,+∞内单调递增 ，于是 ()f x 有极小值()10f =， 无极大值.
（2）易知()1'2f x x a x =+-
在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内小于等于0即()'10f ≤，解得实数a 的取值范围是(],1-∞-.
21.解：（I ）由已知A ，B 在椭圆上，可得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|=|BF 2|=2a ， 又△A BF 1的周长为8，所以|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|=|BF 2|=4a=8，即a=2， 由椭圆的对称性可得，△AF 1F 2为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点， 则a=2c ，即c=1，b 2
=a 2
﹣c 2
=3，
则椭圆C 的方程为
+
=1；
（Ⅱ）证明：若直线l 的斜率不存在，即l ：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得
=4；
若直线l 的斜率存在，设直线l ：y=k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），
代入椭圆方程
+
=1，可得（3+4k 2
）x 2
﹣8k 2
x+4k 2
﹣12=0，
有x 1+x 2=，x 1x 2=，
|AB|=•=，
由y=kx 代入椭圆方程，可得x=±，
|MN|=2•=4，
即有=4．
综上可得为定值4．
22. （1）'1
()x f x e
a -=+，
（ⅰ）当0a ≥时，'
()0f x >，函数()f x 在R 上单调递增； （ⅱ）当0a <时，令'
()0f x =，则ln()1x a =-+， 当'
()0f x >，即ln()1x a >-+时，函数()f x 单调递增； 当'()0f x <，即ln()1x a <-+时，函数()f x 单调递减.
综上，当0a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是
(ln()1,)a -++∞，单调递减区间是(,ln()1)a -∞-+.
（2）证明：令1a =-，由（1）可知，函数1
()x f x e x -=-的最小值为(1)0f =，∴10x e x --≥，
即1
x e
x -≥.
（3）证明：()ln 1f x x a +≥+恒成立与()ln 10f x x a +--≥恒成立等价， 令()()ln 1g x f x x a =+--，即1
()(1)ln 1x g x e
a x x -=+-+-，则'11
()x g x e a x
-=+
+， 当2a ≥-时，'
1
11()20x g x e a x a x a a x x x -=+
+≥++≥+=+≥（或令11
()x x e x
ϕ-=+，则'121()x x e x
ϕ-=-
在[1,)+∞上递增，∴''
()(1)0x ϕϕ≥=，∴()x ϕ在[1,)+∞上递增，∴()(1)2x ϕϕ≥=，∴'()0g x ≥）
∴()g x 在区间[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=， ∴()ln 1f x x a +≥+恒成立.。