1线性代数 4.2方阵的特征值与特征向量

0 1
00,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 0,
1
所以k(0, 0,1)T (k 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当2 3 1时,解方程(E A)x 0.由
~ 2 1 0
EA 4 2 0
1 0 1 0 1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 2 ,
1
x1 x2
,
E
x
1
x
x3
定义1的等价定义
Ax x (E A)x 0
这是n个未知数 n个方程的齐次线性方程 组，
它有非零解 x的充要条件是系数行列 式
a11 a12
| E A |
a21
a22
a1n
a2n
0.
an1 an2 ann
上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det AE;
2. 求特征方程detE A 0的全部根1,2,
, n,就是A的全部特征值;
3. 对于特征值i ,求齐次方程组
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程2E Ax 0.由
~ 4 1 1
2E A 0 0 0
1 1 1 4 4 0 0 0 ,
性质5.设 是A的特征值, P是A的对应于的特征向量 ,则.
(1)k是kA的特征值. (Ax x kAx kx)
(2)m是Am的特征值.(m Z ).( Ax x Am x m x)
(3)当A可逆时, 1是A1的特征值.
(4) A与AT的特征值相同 .
(5)令B am Am am1Am1 a1A a0E
则Pi为复向量）.
显然，若Pi是A的对应特征值i的特征向量， 则kPi (k 0)也是对应于i的特征向量
1 0 0 重解例1,单位矩阵E 0 1 0,
0 0 1
1 0 0
| E E | 0 1 0 0
0 0 1
得 : 1是E的特征值.
0 0 1 例2,求A 0 1 0的特征值.
4 1 1
0
0
得基础解系为：
1
0
1
4
4
P2 1 ,
P3 0 ,
0
1
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
a
例4、求n阶对称矩阵 A
的特征值与特征向量
a
a
a
解 : A的特征方程为| E A |
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1
| E A |
1
( 2)( 4) 3
所以A的特征值为1 2, 2 4.
当1 2时, 对应的特征向量应满足 (2E A)x 0,
即:
求
2
1
3
2
1
3
x1 x2
0 0
的非零解,
(2E
A)
1 1
11 10
则amm
a m1 m1
a1
a0是B的特征值.
(6)P是kA,
Am
,
A1所对应的特征值k,
m
,
1
的特征向量.
证明 2 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
4.2方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非 零 向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
1 0 0
例1: 单位矩阵E 0 1 0,
0 0 1
知 1是E的特征值.
x
称f () 0,即| E A | 0为A的特征方程,
则知是f () 0的是的n次多项式方程, 根的个数有n个(含重根)
2.对f () 0的n个特征根 i (i 1,2,..., n)求对应
的特征向量的方法 ,即求解齐次线性方程组
(i E A)x 0的通解k11 knrnr , k j 0
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
因为,如果设x同时是A的属于特征值1 ,2的
1 2 的特征向量,即有
a
a
( a)n 0
得A的特征值为 1 2 n a,是n重 根，
对应的齐次方程组：0x1 0,0x2 0,,0xn 0
因为方程组的系数矩阵为零矩阵，所以任意 n个线性无关的向量都是它的基础解系，取
初始单位向量为基础解系，
1 0
0
1
0
,
2
1
,
n
0
0
0
1
于是A的全部特征向量为
3当A可逆时, 0, 由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
(4) A与AT的特征值相同 .
设是A的特征值，则| E A | 0,从而 | (E A)T | 0 | E AT | 0,即也是
AT的特征值。
也是A的对应于的特征向量(其中ki为常数,i 1,2,...,s)
即属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
定理1 设1 ,2 ,,m是方阵A的m个特征值, p1 , p2 , , pm依次是与之对应的特征向量.如果1 ,2 ,,m
各不相等,则 p1 , p2 ,, pm 线性无关.
E Ax 0 有非零解的 值 , 即满足方程
A E 0的都是矩阵 A的特征值.
a11 a12
3. E A 0
a21
a22
a1n
a2n
0
an1 an2 ann
是的 n次多项式方程
记 f E A ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
证明 设有常数 x1, x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0,
即 1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有 1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解
A的特征多项式为
1 1 0
E A 4 3 0 ( 2)( 1)2
1 0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当1 2时,解方程(2E A)x 0.由
~ 3 1 0
2E A 4 1 0
1 0
k 1,2,,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1
1
m1 1
x1
p1
,
x2
p2
,,
xm
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
特征方程，其左端| E A | 是的n次多项式，记作
f (),称为方阵A的特征多项式.
显然,特征方程的根就是方阵A的特征值,特征方程的 根的个数就是方程的次数(重根按重数计算),所以n 阶方阵有n个特征根(k重根也称为k重特征根,按k个 计算).
设i为方阵A的一个特征值，则由方程(i E A)x 0 可求得非零解x Pi , 那么Pi就是A的对应特征值i的 特征向量（若i为实数，则Pi取实向量；若i为复数，
c11 c2 2 cn n
a11
a22
记住: 对角矩阵A
ann
或上(下)三角阵的特征值为它们的主对角元.
单位矩阵的特征值为1, 且其对应于1的特征向量
为任一非零n维向量.
二、特征值和特征向量的性质
性质1. 设P1, P2,Ps都是方阵A的对应于某一特征值
的特征向量, 那么它们的任何非零线性组合 k1P1 k2P2 ks Ps
01
解得 x1 x2 ,
得 : (1E A)x 0的基础解系为11.
所以对应于1 2的特征向量为k11, k 0.
当2 4时,
由(2
E
A)
4
1
3
4
1
3
1 0
10 ,
得x1 x2, (2E A)x 0的基础解系为 11. 所以对应于2 4的特征向量为k 11, k 0.
例２
即 xj pj 0 j 1,2,,m.但 pj 0,故 x j 0 j 1,2,,m.
所以向量组 p1, p2 ,, pm 线性无关.
性质3.设 n阶方阵A aij 的特征值为1, 2,,
n ,则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann;
(2) 12 n A .
iE Ax 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.
1 0 0
0 1 1 0 解 :| E A | 0 1 0 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1 0 ( 1)(2 1) 0
0 0 2 1
得 : 1,2 1, 3 1是A的特征值
说明
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的. 2. n阶方阵A的特征值 ,就是使齐次线性方程组
1
所以k
2
,
(k
0)是对应于2
3
1的全部特征值向量
1
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
2 1 1 解 E A 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程组 E Ax 0.由