北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第5章平面向量及其应用、复数 第3节 平面向量的数量积及其应用

1
答案:(1)
2
(2)-
3
3
解析:(1)∵单位向量 a,b 的夹角为 60°,∴a·
b=1×1×cos
∵a-kb 与 b 垂直,∴(a-kb)·
b=a·
b-kb
2
(2)(a-b)·
b=a·
b-1=0,∴sin −
π
3
3
cos
2
π
π
=1,又- <θ3
3
1
θ+2sin
<
1
= -k=0,则实数
2
θ-1=0,
第五章
第三节 平面向量的数量积及其应用
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数
量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量
积判断两个平面向量的垂直关系.
正切值为(
A. 3
C.
2
2
)
B.1
D. 2
(2) 若向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为
(
)
A.
C.
11
2
21
5
B.
D.
33
6
3
6
答案:(1)B (2)D
解析:(1)由题意知a+b=(m+1,3),又(a+b)⊥c,
∴3(m+1)-12=0,可得m=3.
=x2-cos2θ+1-sin2θ=x2∈[0,1].故选 A.
(2)因为向量m=(2k,k+1)与向量n=(4,1)共线,所以2k-4(k+1)=0,得k=-2,
所以m·
n=8k+k+1=9k+1=-17.
考点二
平面向量数量积的应用(多考向探究)
考向1平面向量的垂直问题
例2(1)(2022全国甲,文13)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则
D.7+2 3
答案:(1)B (2)B
解析:(1)向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,
所以a·
b=6-2m=0,解得m=3,所以b=(1,3),a-2b=(4,-8),
所以|a-2b|=
42
2
+ (-8) =4 5.
(2)由已知可得|a|=2,|b|=1,则 a·
b=|a||b|cos 30°= 3,
b=0,又λa+b=(λ-1,2λ+1),
∴(λ-1,2λ+1)·
(-1,1)=0,整理,得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故选A.
规律方法 平面向量垂直问题的两个类型
若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件
利用坐标运算证明两个
计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐
向量的垂直问题
标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可
7
7
+ 10 =(6,0)+10(-6,8)=(5 , 5 ),
9 28
51 28
− =( 5 ,- 5 ), =(-5,- 5 ).
所以 · =
28 2
9
51
=13.故选
)
)+((×
5
5
5
C.
3
CE=10FC,即
7
FE=10FC.
规律方法 求非零向量a,b的数量积的三种方法
(2)(2022山西太原二模)已知向量a,b满足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|= 14 ,则向
量a与向量b的夹角的余弦值为
.
答案:(1)C
2
(2)
3
解析:(1)由题意得
9+3+16
c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故
||×5
=
3+
,解得
||×1
t=5.
故选 C.
通过坐标运算求解
对点训练 1(1)(2022 山东潍坊期末)已知正方形 ABCD 的边长为 2,MN 是它的
内切圆的一条弦,点 P 为正方形四条边上的动点,当弦 MN 的长度最大时, ·
的取值范围是(
)
A.[0,1]
B.[0, 2]
C.[1,2]
D.[-1,1]
(2)(2022河南洛阳一模)若向量m=(2k,k+1)与向量n=(4,1)共线,则
∴b=(3,1).
设 θ 为 a,b 的夹角,由 cos
π
∴θ= 4 ,则向量
·
θ=||||
=
5
5× 10
=
2
,θ∈[0,π],
2
a,b 夹角的正切值为 1.
(2)由题设知(a-b)·
(2a+3b)=2a2+a·
b-3b2=0,而|a|=2,|b|= 3,
设 θ 为 a,b 的夹角,∴2 3cos θ-1=0,故 cos
|+3
|
的最小值为
.
答案:(1)D (2)5
解析:(1)由已知可得|a-b| =a -2a·
b+b =2-2a·
b=1,则
2
2
2
1
a·
b=2,
2
因此,|2a+b|= (2 + ) = 42 + 4· + 2 = 7.
(2)建立平面直角坐标系如图所示,则 A(2,0),
设 P(0,y),C(0,b),则 B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问
题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一
些实际问题.
衍生考点
核心素养
1.平面向量数
量积的运算
1.直观想象
2.平面向量数
2.数学抽象
量积的应用
3.数学运算
3.平面向量的
综合应用
强基础 固本增分
1.向量的夹角
定义:已知两个非零向量 a 和 b,如图所示,作=a, =b,则∠AOB=θ
m·n=
.
答案:(1)A
(2)-17
解析:(1)建立如图所示的平面直角坐标系.当弦MN的长度最大时,MN是圆
的直径.
不妨设M(cos θ,sin θ),P(x,-1),x∈[-1,1],则N(-cos θ,-sin θ).
=(cos θ-x,sin θ+1),=(-cos θ-x,-sin θ+1),所以 ·
所以|+3|= 25 + (3-4)2 (0≤y≤b),
所以当
3
y= b
4
时,|+3|取得最小值 5.
规律方法 求平面向量模的两种方法
公式法
几何法
利用|a|= · 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为
数量积运算
利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或
定义法
或得出它们之间的关系,由 cos
·
θ= 求得
||||
若已知 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2),设 θ 为 a 与 b 的夹角,则 cos
坐标法
θ=
1 2 +1 2
12 +12 · 22 +22
,θ∈[0,π]
对点训练4(1) 已知a=(1,2),b=(m,1),c=(3,-4),若(a+b)⊥c,则向量a,b夹角的
b=1×3cos<a,b>=1×3× =1,则
3
(2a+b)·
b=2a·
b+|b|2=2+9=11.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(12,0),B(0,0),C(0,8),F(6,0).
又 CE=3,CB=8,AB=12,则 CF=则 = 则Fra bibliotek =2
+
2 =10,即
9 28
已知两个向量的垂直关 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系
系,求解相关参数的值
式,进而求解参数
对点训练2(1) 已知单位向量a,b的夹角为60°,a-kb与b垂直,则实数
k=
.
(2) 设θ∈(0,π),向量a=
tan θ=
.
3 1
−
,
2 2
,b=(cos θ,sin θ),若(a-b)⊥b,则
几何表示
坐标表示
模
|a|= ·
|a|= 12 + 12
夹角
cos
·
θ=||||
a⊥b 的充要条件
a·b=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
cos θ=
1 2 +1 2
12 +12 22 +22
x1x2+y1y2=0
|x1x2+y1y2|≤ (12 + 12 )(22 + 22 )
(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>.
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角
微点拨当θ=0°时,两向量a,b共线且同向;当θ=90°时,两向量a,b相互垂直,记
作a⊥b;当θ=180°时,两向量a,b共线但反向.
2.平面向量的数量积
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量 |a||b|cos θ
2π
5π
,∴θ= ,tan
3
6
θ=-
3
.
3
1
60°=2.
1
k= .
2
考向2平面向量模的问题
例3(1) 已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=(
A.3
B. 3
C.7
D. 7
)
(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的
动点,则
m=
.
(2)(2022江西赣州二模)已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,则λ的值为
(
)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3
答案:(1)- 4
(2)A
3
解析:(1)因为a⊥b,则a·
b=m+3m+3=0,解得m=- 4 .
(2)∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b,∴(λa+b)·
3
θ= .
6
本 课 结 束
所以|a+ 3b|2=(a+ 3b)2=|a|2+2 3a·
b+3|b|2=4+6+3=13,
则|a+ 3b|= 13.
考向3平面向量的夹角问题
例4(1)(2022新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,
则实数t=(
A.-6
)
B.-5 C.5
D.6
三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解
对点训练3(1) 已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则|a-2b|=(
A.8
B.4 5
C.10
D.8 2
)
(2)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 30°,且 a=(1, 3),b 为单位向量,则
|a+ 3b|=(
)
A.1
B. 13
C. 21
(2)∵|a+2b|= 14,∴(a+2b)2=14,即 a2+4b2+4a·
b=1+9+4a·
b=14,∴a·
b=1.
设向量 a 与 b 的夹角为 θ,
∴cos
·
θ=
||||
=
2
.
3
规律方法 求平面向量夹角的两种方法
当 a,b 是非坐标形式,求 a 与 b 的夹角 θ 时,需求出 a·b 及|a|,|b|
(2a+b)·b=
1
的夹角的余弦值为 ,且|a|=1,|b|=3,则
3
.
(2)(2022 山东淄博三模)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,F 为 AB 的中
点,CE=3,CB=8,AB=12,则 · =(
A.-15
C.13
答案:(1)11 (2)C
B.-13
D.15
)
1
解析:(1)由题得,a·
微点拨当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
常用结论
平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
研考点 精准突破
考点一
平面向量数量积的运算
例 1(1)(2022 全国甲,理 13)设向量 a,b
微思考(a·b)c一定等于a(b·c)吗?
提示:不一定.这是由于(a·
b)·
c表示一个与c共线的向量,a·
(b·
c)表示一个与a
共线的向量,而c与a不一定共线.即向量数量积的运算不满足乘法结合律.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
叫作a与b的数
定义
量积,记作a·b
|a|cos θ
|b|cos θ
叫作向量a在b方向上的射影,
叫作向
射影
量b在a方向上的射影
几何
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积
意义
微点拨零向量与任意向量的数量积为0;射影和两向量的数量积都是数量,
不是向量.
微思考 两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?
直接法
几何法
坐标法
若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得
数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重
合,再计算
根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量
分别表示出向量a,b,然后根据平面向量的数量积的定义进行计
算求解
若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出a,b的坐标,
提示:不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
3.向量数量积的运算律
交换律
分配律
数乘结合律
a·b=b·a
(a+b)·c=a·c+b·c
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
微点拨实数运算满足消去律:若ab=ca,a≠0,则b=c.而在向量数量积的运算
中,若a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律.