北京市石景山区2019-2020学年第一学期髙三期末试卷数学

而用11个元素的集合 A {1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024} 的非空子集的元
素之和可以表示1,2,3,,2046,2047 共 2047 个正整数.
因此当 S A 2020 时，n 的最小值为 11. 当 S A 2020 时， n 的最小值为 11.记 S10 a1 a2 a10
高三数学答案第 3页（共 6页）
20.（本小题 14 分） 解：（Ⅰ） f (x) ex a ，
……………1 分
当 a 0 时， f (x) 0 恒成立，所以 f (x) 在 R 上单调递增， ……………3 分
当 a 0 时，令 f (x) 0 ，解得 x ln a .
当 x 变化时， f (x), f (x) 的变化情况如下表：
22xx))
2
所以函 数2222fssiinxn((22的xx最小44正)) 周期 T 2π π .
2
由 2kπ π 2x π 2kπ+ 3π ,k Z ，
2
4
2
解得 kπ π x kπ+ 5π ,k Z .
8
8
所以函数
f
x 的单调递减区间 kπ
π 8
,kπ+
5π 8
,k
Z
GM = GP + PM = GP + l PA ， 所以 GM = (2l,-4,2 3(1 - l)) .
……………11 分
π
3
所以 sin =| cos < GM , m >=|
，
6
2 4l2 - 6l + 7
整理得 2l2 - 3l + 2 = 0 ，无解，
所以，不存在这样的点 M .
…………13 分 ………14 分
……………4 分
（Ⅱ）如图，以 O 点为原点分别以 OA 、 OG 、 OP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空
间直角坐标系.
则 O(0,0,0), A(2,0,0), B(2,4,0),C(-2,4,0), D(-2,0,0),G(0,4,0), P(0,0,2 3) ，
E(-1,2, 3), F (-1,0, 3)
……………10 分
则 S10 a11 2020 并且 S10 1 a11 .
事实上若 S10 1 a11 ，2020 S10 a11 2a11 ，则 a11 1010 ，S10 a11 1010 ， 所以 m 1010 时无法用集合 A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符.
于是 2020
设平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为q ，
|m×n| 1
所以 cosq =
=.
| m || n | 2
π 所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 .
3
……………9 分
π （Ⅲ）假设线段 PA 上存在点 M ，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 ，
6
设 PM = l PA ,l Î[0,1] ，
1 sin2
4
.
5
所以
f
4 5
3 5
4 5
1 2
28 25
1 2
=
31 50
.
（Ⅱ） f x cos xsin x cos x 1 cos x sin x cos2 x 1
11 22
ssiinn
22xx
11
ccooss 22
22xx
21212
11 22
((ssiinn
22xx
ccooss
高三数学答案第 2页（共 6页）
19.（本小题 14 分）
（Ⅰ）证明:因为△ PAD 是正三角形， O 是 AD 的中点，所以 PO ^ AD .
又因为 CD ^ 平面 PAD ， PO Ì 平面 PAD ，所以 PO ^ CD .
AD Ç CD = D ， AD，CD Ì 平面 ABCD ，
所以 PO ^ 面 ABCD .
（Ⅲ）设每盘游戏得分为 Y .
由（Ⅰ）知， Y 的分布列为：
Y 12 15
120
P 125
5
1
216 12
216
Y 的数学期望为 EY 12 125 15 5 120 1 5 .
216
12
216 36
……12 分
这表明，获得分数 Y 的期望为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
……………13 分
0)
C30(1
1)3 6
125 216
，
P( X
1)
C31
1 (1 6
1)2 6
75 216
，
P( X
2)
C32
(
1 6
)2
(1
1) 6
15 216
，
P( X
3)
C33
(
1 6
)3
1 216
，
……………5 分
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
125 25
5
1
P
216 72
72
216
……………6 分
…………8 分
所以
2+x1
8k(2k 1) 4k 2 1
，所以
x1
8k 2 8k 4k 2 1
2
，同理
x2
8k 2 +8k 4k 2 1
2
，
所以
x1
x2
16k
，
4k 2 1
…………10 分
由 y1 kx1 2k 1， y2 kx2 2k 1 ，
有
y1
y2
k (x1
x2 )
4k
8k
，
4k 2 1
x
(, ln a) ln a
(ln a, )
f (x)
–
0
+
f (x)
减
极小值
增
所以 a 0 时， f (x) 在 (, ln a) 上单调递减，在 (ln a, ) 上单调递增. …5 分
（Ⅱ）令 x 0 ，得 y 1 ，则 A0,1 ，
………… 6 分
因为 f x ex 3 ，所以 f 0 1 3 2 ，
【若有不同解法，请酌情给分】
高三数学答案第 6页（共 6页）
，从而
a1, a2 ,, an
成等差数列.
所以“a1,Fra biblioteka2,, an
成等差数列”的充要条件是“
SA
1 2
n(n
1)
”.
……8 分
（Ⅲ）由于含有 n 个元素的非空子集个数有 2n 1，故当 n 10 时， 210 1 1023 ，
此时 A 的非空子集的元素之和最多表示1023 个不同的整数 m ，不符合要求.
（Ⅱ）设“第 i 盘游戏获得 15 分”为事件 Ai(i＝1，2)，则
P( A1)
P( A2 )
P(X
1) P(X
2)
90 216
5 12
.
……………8 分
所以“两盘游戏中至少有一次获得
15
分”的概率为 1
P(
A1)
P(
A2
)
95 144
因此，玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为 95 . ……………10 分 144
SA
1
2
3
n
1 2
n(n
1)
.
……………6 分
充分性：由条件知 a1 a2 an , 且均为正整数，可得 ai i(i 1,2,3,, n),
故
SA
1
2
3
n
1 2
n(n
1)
，当且仅当 ai
i(i
1,2,3,, n)
时，上式
等号成立.
于是当
SA
1 2
n(n
1) 时，ai
i(i
1,2,3,, n)
所以在 A 点处的切线方程为 y 1 2(x 0) ，即 y 2x 1.
（Ⅲ）证明：令 g x f (x) (x2 3x + 1) = ex x2 1 ，
…………7 分 ………9 分
则 g x ex 2x .
令 h x ex 2x ，则 h x ex 2 ，
当 0 x ln2 时， h x 0 ， h x 单调递减，
2 S A ，由 S A 的定义及 a1 a2 an 均为整数，必有 2 A ， a2 2 .
……………4 分
（Ⅱ）必要性：由“ a1, a2 ,, an 成等差数列”及 a1 1, a2 2
得 ai i(i 1,2,, n) 此时 A {1,2,3,, n} 满足题目要求
从而
S10
a11
2a11
1 ，得
a11
2021 2
，
a11
N*
，所以 a11
1010 .
当 a11 1010 时 A {1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010} 满足题意
所以当 S A 2020 时， n 的最小值为 11，此时 an 的最大值1010 . ……13 分
EF = (0,-2,0), EG = (1,2,- 3) ，
设平面 EFG 的法向量为 m = (x, y, z),
ïì- 2 y = 0, í ïîx + 2 y - 3z = 0,
令 z = 1，则 m = ( 3,0，1) ，
……………6 分
又平面 ABCD 的法向量 n = (0,0,1) ，……………7 分
当 x ln2 时， h x 0 ， h x 单调递增；
…………11 分
所以 h x h ln2 eln2 2ln2 2 2ln2 0 ，即 g x 0 恒成立.
所以 g x 在 , 上单调递增，所以 g x g 0 1 0 1 0 ，………13 分
所以 ex x2 1 0 ，即当 x 0 时， f x x2 3x 1 恒成立． …………14 分
.
……………2 分 ……………5 分
……………8 分 ……………9 分
……………11 分 ……………13 分
高三数学答案第 1页（共 6页）
18. （本小题 13 分）
解：（Ⅰ） X 可能的取值为 0 ，1， 2 ， 3 .
……………1 分
每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 p 1 . 6
P(X
11． 160 ；
12． 1 ；
13． 5 ；
14．①③ ② 或②③ ①；
15. 1 ； 4
16. ①② ．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
17．（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）因为 0 ，且 sin 3 ，
2
5
所以 cos
高三数学答案第 4页（共 6页）
21.（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）由椭圆
C
:
x2 a2
y2 2
1过点 P(2,1) ，
可得
4 a2
1 2
1，解得
a2
8．
所以 c2 a2 b2 8 2 6 ，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1，离心率 e 6 3 ．
82
22 2
…………2 分 …………3 分 …………5 分
（Ⅱ）直线 AB 与直线 OP 平行．
…………6 分
证明如下：由题意，设直线 PA : y 1 k(x 2) ， PB : y 1 k(x 2) ，
设点 A（x1, y1) ， B（x2 , y2 ) ，
x2 y2 1
由 8 2
得
y kx 2k 1
（4k 2 1)x2 8k(1 2k)x 16k 2 16k 4 0 ，
因为
A 在第四象限，所以 k
0 ，且
A 不在直线 OP
上，所以 kAB
y1 x1
y2 x2
1
，
2
又 kOP
1 2
，故 kAB
kOP
，所以直线
AB
与直线 OP
平行．
…………13 分
高三数学答案第 5页（共 6页）
22. （本题 13 分）
解:（Ⅰ）由条件知1 SA ，必有1 A ，又 a1 a2 an 均为整数， a1 1.……2 分
石景山区 2019-2020 学年第一学期高三期末
数学试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B B D A C D C
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．